Odvození Schwarzschildova řešení - Deriving the Schwarzschild solution

The Schwarzschildovo řešení popisuje vesmírný čas pod vlivem masivního, nerotujícího, sféricky symetrického objektu. Někteří jej považují za jedno z nejjednodušších a nejužitečnějších řešení Einsteinovy ​​rovnice pole.^{[Citace je zapotřebí ]}

Předpoklady a notace

Práce v souřadnicový graf se souřadnicemi ${ displaystyle left (r, theta, phi, t right)}$ s označením 1 až 4 začneme s metrikou v její nejobecnější podobě (10 nezávislých komponent, z nichž každá je hladkou funkcí 4 proměnných). Předpokládá se, že řešení bude sféricky symetrické, statické a vakuové. Pro účely tohoto článku lze tyto předpoklady uvést následovně (přesné definice viz příslušné odkazy):

1. A sféricky symetrický časoprostor je ten, který je neměnný při rotaci a pořizování zrcadlového obrazu.
2. A statický časoprostor je takový, ve kterém jsou všechny metrické komponenty nezávislé na časové souřadnici ${ displaystyle t}$ (aby ${ displaystyle { tfrac { částečné} { částečné t}} g _ { mu nu} = 0}$) a geometrie časoprostoru se při časovém převrácení nezmění ${ displaystyle t rightarrow -t}$.
3. A vakuové řešení je ten, který splňuje rovnici ${ displaystyle T_ {ab} = 0}$. Z Einsteinovy ​​rovnice pole (s nulou kosmologická konstanta ), to znamená, že ${ displaystyle R_ {ab} = 0}$ od té doby uzavírání smluv ${ displaystyle R_ {ab} - { tfrac {R} {2}} g_ {ab} = 0}$ výnosy ${ displaystyle R = 0}$.
4. Metrický podpis zde se používá (+, +, +, -).

Diagnostika metriky

První zjednodušení, které je třeba provést, je diagonalizace metriky. Pod transformace souřadnic, ${ displaystyle (r, theta, phi, t) rightarrow (r, theta, phi, -t)}$, všechny metrické komponenty by měly zůstat stejné. Metrické komponenty ${ displaystyle g _ { mu 4}}$ (${ displaystyle mu neq 4}$) změnit v rámci této transformace jako:

${ displaystyle g _ { mu 4} '= { frac { částečné x ^ { alpha}} { částečné x ^ {' mu}}} { frac { částečné x ^ { beta}} { částečné x ^ {'4}}} g _ { alpha beta} = - g _ { mu 4}}$ (${ displaystyle mu neq 4}$)

Ale jak očekáváme ${ displaystyle g '_ { mu 4} = g _ { mu 4}}$ (metrické komponenty zůstávají stejné), to znamená, že:

${ displaystyle g _ { mu 4} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq 4}$)

Podobně transformace souřadnic ${ displaystyle (r, theta, phi, t) rightarrow (r, theta, - phi, t)}$ a ${ displaystyle (r, theta, phi, t) rightarrow (r, - theta, phi, t)}$ respektive dát:

${ displaystyle g _ { mu 3} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq 3}$)

${ displaystyle g _ { mu 2} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq 2}$)

Dáme-li to dohromady, získáme:

${ displaystyle g _ { mu nu} = , 0}$ (${ displaystyle mu neq nu}$)

a proto musí být metrika ve tvaru:

${ displaystyle ds ^ {2} = , g_ {11} , dr ^ {2} + g_ {22} , d theta ^ {2} + g_ {33} , d phi ^ {2} + g_ {44} , dt ^ {2}}$

kde čtyři metrické komponenty jsou nezávislé na časové souřadnici ${ displaystyle t}$ (podle statického předpokladu).

Zjednodušení komponent

Na každém nadpovrch konstantní ${ displaystyle t}$, konstantní ${ displaystyle theta}$ a konstantní ${ displaystyle phi}$ (tj. na každé radiální linii), ${ displaystyle g_ {11}}$ by mělo záviset pouze na ${ displaystyle r}$ (sférickou symetrií). Proto ${ displaystyle g_ {11}}$ je funkce jedné proměnné:

${ displaystyle g_ {11} = A left (r right)}$

Podobný argument byl použit ${ displaystyle g_ {44}}$ ukázat to:

${ displaystyle g_ {44} = B vlevo (r doprava)}$

Na hyperplochy konstanty ${ displaystyle t}$ a konstantní ${ displaystyle r}$, je požadováno, aby metrikou byla metrika 2-koule:

${ displaystyle dl ^ {2} = r_ {0} ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2})}$

Výběr jednoho z těchto hyperplošin (ten s poloměrem ${ displaystyle r_ {0}}$, řekněme), metrické komponenty omezené na tento hyperplocha (kterou označujeme ${ displaystyle { tilde {g}} _ {22}}$ a ${ displaystyle { tilde {g}} _ {33}}$) by se při rotaci neměla měnit ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle phi}$ (opět sférickou symetrií). Porovnání forem metriky na tomto hyperplochu dává:

${ displaystyle { tilde {g}} _ {22} left (d theta ^ {2} + { frac {{ tilde {g}} _ {33}} {{ tilde {g}} _ {22}}} , d phi ^ {2} right) = r_ {0} ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ { 2})}$

což okamžitě přináší:

${ displaystyle { tilde {g}} _ {22} = r_ {0} ^ {2}}$ a ${ displaystyle { tilde {g}} _ {33} = r_ {0} ^ {2} sin ^ {2} theta}$

To je ale nutné k udržení na každém nadpovrchu; proto,

${ displaystyle g_ {22} = , r ^ {2}}$ a ${ displaystyle g_ {33} = , r ^ {2} sin ^ {2} theta}$

Alternativní intuitivní způsob, jak to vidět ${ displaystyle g_ {22}}$ a ${ displaystyle g_ {33}}$ musí být stejné jako u plochého časoprostoru je to, že protažení nebo stlačení pružného materiálu sféricky symetrickým způsobem (radiálně) nezmění úhlovou vzdálenost mezi dvěma body.

Metriku lze tedy dát ve formě:

${ displaystyle ds ^ {2} = A left (r right) dr ^ {2} + r ^ {2} , d theta ^ {2} + r ^ {2} sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} + B vlevo (r vpravo) dt ^ {2}}$

s ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ dosud neurčené funkce ${ displaystyle r}$. Všimněte si, že pokud ${ displaystyle A}$ nebo ${ displaystyle B}$ je v určitém okamžiku rovna nule, metrika by byla jednotné číslo v tom bodě.

Výpočet symbolů Christoffel

Pomocí výše uvedené metriky najdeme Christoffel symboly, kde jsou indexy ${ displaystyle (1,2,3,4) = (r, theta, phi, t)}$. Znamení ${ displaystyle '}$ označuje celkovou derivaci funkce.

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {1} = { begin {bmatrix} A '/ left (2A right) & 0 & 0 & 0 0 & -r / A & 0 & 0 0 & 0 & -r sin ^ {2} theta / A & 0 0 & 0 & 0 & -B '/ left (2A right) end {bmatrix}}}$

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {2} = { begin {bmatrix} 0 & 1 / r & 0 & 0 1 / r & 0 & 0 & 0 0 & 0 & - sin theta cos theta & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} }$

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {3} = { begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 / r & 0 0 & 0 & cot theta & 0 1 / r & cot theta & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {bmatrix}} }$

${ displaystyle Gamma _ {ik} ^ {4} = { začátek {bmatrix} 0 a 0 a 0 a B '/ doleva (2B doprava) 0 a 0 a 0 & 0 0 a 0 a 0 & 0 B' / doleva (2B doprava) & 0 a 0 a 0 konec {bmatrix}}}$

Hledání polních rovnic k nalezení A (r) a B (r)

Určit ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$, rovnice vakuového pole jsou zaměstnáni:

${ displaystyle R _ { alpha beta} = , 0}$

Proto:

${ displaystyle { Gamma _ { beta alfa, rho} ^ { rho}} - Gamma _ { rho alpha, beta} ^ { rho} + Gamma _ { rho lambda} ^ { rho} Gamma _ { beta alpha} ^ { lambda} - Gamma _ { beta lambda} ^ { rho} Gamma _ { rho alpha} ^ { lambda} = 0 ,,}$

kde se čárka používá k započtení indexu, který se používá pro derivát. Pouze tři z těchto rovnic jsou netriviální a po zjednodušení se stanou:

${ displaystyle 4A'B ^ {2} -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A = 0 ,,}$

${ displaystyle rA'B + 2A ^ {2} B-2AB-rB'A = 0 ,,}$

${ displaystyle -2rB''AB + rA'B'B + rB '^ {2} A-4B'AB = 0}$

(čtvrtá rovnice je spravedlivá ${ displaystyle sin ^ {2} theta}$ krát druhá rovnice), kde prvočíslo znamená r derivace funkcí. Odečtením první a třetí rovnice vznikne:

${ displaystyle A'B + AB '= 0 Rightarrow A (r) B (r) = K}$

kde ${ displaystyle K}$ je nenulová reálná konstanta. Střídání ${ displaystyle A (r) B (r) , = K}$ do druhé rovnice a uklizení dává:

${ displaystyle rA '= A (1-A)}$

který má obecné řešení:

${ displaystyle A (r) = left (1 + { frac {1} {Sr}} right) ^ {- 1}}$

pro nějakou nenulovou skutečnou konstantu ${ displaystyle S}$. Metrika pro statické, sféricky symetrické vakuové řešení má tedy nyní tvar:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 + { frac {1} {Sr}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2 } + sin ^ {2} theta d phi ^ {2}) + K left (1 + { frac {1} {Sr}} right) dt ^ {2}}$

Všimněte si, že časoprostor představovaný výše uvedenou metrikou je asymptoticky plochá, tj. jako ${ displaystyle r rightarrow infty}$, metrika se blíží metodě Minkowského metrika a časoprostorové potrubí se podobá potrubí Minkowského prostor.

Pomocí aproximace slabého pole k nalezení K. a S

Tento diagram poskytuje cestu k nalezení Schwarzschildova řešení pomocí aproximace slabého pole. Rovnost na druhém řádku dává G₄₄ = -C² + 2GM/r, za předpokladu, že požadované řešení degeneruje do Minkowského metriky, když se pohyb stane daleko od černé díry (r přístupy k pozitivnímu nekonečnu).

Geodetika metriky (získána kde ${ displaystyle ds}$ musí být v určitém limitu (např. směrem k nekonečné rychlosti světla) souhlasit s řešením newtonovského pohybu (např. Lagrangeovy rovnice ). (Metrika musí také být omezena na Minkowského prostor když zmizí hmota, kterou představuje.)

${ displaystyle 0 = delta int { frac {ds} {dt}} dt = delta int (KE + PE_ {g}) dt}$

(kde ${ displaystyle KE}$ je kinetická energie a ${ displaystyle PE_ {g}}$ je potenciální energie způsobená gravitací) Konstanty ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle S}$ jsou plně určeny nějakou variantou tohoto přístupu; z aproximace slabého pole jeden dospěje k výsledku:

${ displaystyle g_ {44} = K left (1 + { frac {1} {Sr}} right) cca -c ^ {2} + { frac {2Gm} {r}} = - c ^ {2} left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right)}$

kde ${ displaystyle G}$ je gravitační konstanta, ${ displaystyle m}$ je hmotnost gravitačního zdroje a ${ displaystyle c}$ je rychlost světla. Bylo zjištěno, že:

${ displaystyle K = , - c ^ {2}}$ a ${ displaystyle { frac {1} {S}} = - { frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$

Proto:

${ displaystyle A (r) = left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right) ^ {- 1}}$ a ${ displaystyle B (r) = - c ^ {2} left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right)}$

Schwarzschildova metrika tedy může být nakonec napsána ve formě:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta d phi ^ {2}) - c ^ {2} left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} vpravo) dt ^ {2}}$

Všimněte si, že:

${ displaystyle { frac {2Gm} {c ^ {2}}} = r_ {s}}$

je definice Schwarzschildův poloměr pro objekt hmotnosti ${ displaystyle m}$, takže Schwarzschildova metrika může být přepsána alternativní formou:

${ displaystyle ds ^ {2} = left (1 - { frac {r_ {s}} {r}} right) ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta d phi ^ {2}) - c ^ {2} left (1 - { frac {r_ {s}} {r}} right) dt ^ {2}}$

což ukazuje, že metrika se blíží jednotnému číslu horizont událostí (to znamená, ${ displaystyle r rightarrow r_ {s}}$). Metrická singularita není fyzická (i když v ní existuje skutečná fyzická singularita ${ displaystyle r = 0}$), jak lze prokázat pomocí vhodné transformace souřadnic (např Souřadnicový systém Kruskal – Szekeres ).

Ve zvláštních případech alternativní derivace pomocí známé fyziky

Schwarzschildovu metriku lze také odvodit pomocí známé fyziky pro kruhovou oběžnou dráhu a dočasně stacionární hmotu bodu.^[1] Začněte s metrikou koeficienty, které jsou neznámými koeficienty ${ displaystyle r}$:

${ displaystyle -c ^ {2} = left ({ds over d tau} right) ^ {2} = A (r) left ({dr over d tau} right) ^ {2 } + r ^ {2} left ({d phi over d tau} right) ^ {2} + B (r) left ({dt over d tau} right) ^ {2} .}$

Nyní použijte Euler-Lagrangeova rovnice na integrál délky oblouku ${ displaystyle {J = int _ { tau _ {1}} ^ { tau _ {2}} { sqrt {- left ({ text {d}} s / { text {d}} tau right) ^ {2}}} , { text {d}} tau.}}$ Od té doby ${ displaystyle ds / d tau}$ je konstantní, integrand lze nahradit ${ displaystyle ({ text {d}} s / { text {d}} tau) ^ {2},}$ protože rovnice E-L je přesně stejná, pokud je integrand vynásobena libovolnou konstantou. Aplikování rovnice E-L na ${ displaystyle J}$ s upravenými výnosy integrandu:

${ displaystyle { begin {array} {lcl} A '(r) { dot {r}} ^ {2} + 2r { dot { phi}} ^ {2} + B' (r) { tečka {t}} ^ {2} & = & 2A '(r) { dot {r}} ^ {2} + 2A (r) { ddot {r}} 0 & = & 2r { dot {r} } { dot { phi}} + r ^ {2} { ddot { phi}} 0 & = & B '(r) { dot {r}} { dot {t}} + B (r ) { ddot {t}} end {pole}}}$

kde tečka označuje diferenciaci vzhledem k ${ displaystyle tau.}$

Na kruhové dráze ${ displaystyle { dot {r}} = { ddot {r}} = 0,}$ takže první výše uvedená rovnice E-L je ekvivalentní

${ displaystyle 2r { dot { phi}} ^ {2} + B '(r) { dot {t}} ^ {2} = 0 Leftrightarrow B' (r) = - 2r { dot { phi}} ^ {2} / { dot {t}} ^ {2} = - 2r (d phi / dt) ^ {2}.}$

Keplerův třetí zákon pohybu je

${ displaystyle { frac {T ^ {2}} {r ^ {3}}} = { frac {4 pi ^ {2}} {G (M + m)}}.}$

Na kruhové oběžné dráze tečka ${ displaystyle T}$ rovná se ${ Displaystyle 2 pi / (d phi / dt),}$ naznačující

${ displaystyle left ({d phi over dt} right) ^ {2} = GM / r ^ {3}}$

od bodové hmotnosti ${ displaystyle m}$ je zanedbatelný ve srovnání s hmotou centrálního těla ${ displaystyle M.}$ Tak ${ displaystyle B '(r) = - 2 GM / r ^ {2}}$ a integraci těchto výnosů ${ displaystyle B (r) = 2 GM / r + C,}$ kde ${ displaystyle C}$ je neznámá konstanta integrace. ${ displaystyle C}$ lze určit nastavením ${ displaystyle M = 0,}$ v takovém případě je časoprostor plochý a ${ displaystyle B (r) = - c ^ {2}.}$ Tak ${ displaystyle C = -c ^ {2}}$ a

${ displaystyle B (r) = 2GM / rc ^ {2} = c ^ {2} (2GM / c ^ {2} r-1) = c ^ {2} (r_ {s} / r-1). }$

Když je bodová hmota dočasně nehybná, ${ displaystyle { dot {r}} = 0}$ a ${ displaystyle { dot { phi}} = 0.}$ Původní metrická rovnice se stane ${ displaystyle { dot {t}} ^ {2} = - c ^ {2} / B (r)}$ a stane se první rovnice E-L výše ${ displaystyle A (r) = B '(r) { dot {t}} ^ {2} / (2 { ddot {r}}).}$ Když je bodová hmota dočasně nehybná, ${ displaystyle { ddot {r}}}$ je gravitační zrychlení, ${ displaystyle -MG / r ^ {2}.}$ Tak

${ displaystyle A (r) = left ({ frac {-2MG} {r ^ {2}}} right) left ({ frac {-c ^ {2}} {2MG / rc ^ {2 }}} right) left (- { frac {r ^ {2}} {2MG}} right) = { frac {1} {1-2MG / (rc ^ {2})}}} { frac {1} {1-r_ {s} / r}}.}$

Alternativní forma v izotropních souřadnicích

Původní formulace metriky používá anizotropní souřadnice, ve kterých rychlost světla není stejná v radiálním a příčném směru. Arthur Eddington dal alternativní formy v izotropní souřadnice.^[2] Pro izotropní sférické souřadnice ${ displaystyle r_ {1}}$, ${ displaystyle theta}$, ${ displaystyle phi}$, souřadnice ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle phi}$ se nezmění a poté (za předpokladu ${ displaystyle r geq { frac {2Gm} {c ^ {2}}}}$)^[3]

${ displaystyle r = r_ {1} left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2}}$     ,   ${ displaystyle dr = dr_ {1} left (1 - { frac {(Gm) ^ {2}} {4c ^ {4} r_ {1} ^ {2}}} right)}$ , a

${ displaystyle left (1 - { frac {2Gm} {c ^ {2} r}} right) = left (1 - { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2} / left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2}}$

Pak pro izotropní obdélníkové souřadnice ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, ${ displaystyle z}$,

${ displaystyle x = r_ {1} , sin ( theta) , cos ( phi) quad,}$   ${ displaystyle y = r_ {1} , sin ( theta) , sin ( phi) quad,}$   ${ displaystyle z = r_ {1} , cos ( theta)}$

Metrika se poté stane v izotropních obdélníkových souřadnicích:

${ displaystyle ds ^ {2} = vlevo (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} vpravo) ^ {4} (dx ^ {2} + dy ^ {2 } + dz ^ {2}) - c ^ {2} dt ^ {2} left (1 - { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2} / left (1 + { frac {Gm} {2c ^ {2} r_ {1}}} right) ^ {2}}$

Upuštění od statického předpokladu - Birkhoffova věta

Při odvozování Schwarzschildovy metriky se předpokládalo, že metrika byla vakuová, sféricky symetrická a statický. Ve skutečnosti je statický předpoklad silnější, než je požadováno, protože Birkhoffova věta uvádí, že jakékoli sféricky symetrické vakuové řešení Einsteinovy ​​rovnice pole je stacionární; pak získá Schwarzschildovo řešení. Birkhoffova věta má za následek, že žádná pulzující hvězda, která zůstane sféricky symetrická, nemůže generovat gravitační vlny (protože vnější oblast hvězdy musí zůstat statická).

Viz také

• Karl Schwarzschild
• Metrika Kerr
• Reissner – Nordströmova metrika

Reference