Komutativní magma - Commutative magma

v matematika, existují magmas to jsou komutativní ale ne asociativní. Jednoduchý příklad takového magmatu lze odvodit z dětské hry o kámen, nůžky, papír. Z takových magmat vznikají neasociativní algebry.

Komutativní neasociativní magma odvozené ze hry kámen, papír a nůžky

Nechat ${displaystyle M: = {r, p, s}}$ , stojící za gesty „skála“, „papír“ a „nůžky“, a zvážit binární operace ${displaystyle cdot: M imes M o M}$ odvozeno z pravidel hry takto:

Pro všechny

{displaystyle x, yin M}

:

Li ${displaystyle xeq y}$ a ${displaystyle x}$ bije ${displaystyle y}$ tedy ve hře ${displaystyle xcdot y = ycdot x = x}$
${displaystyle xcdot x = x}$ Tj. každý ${displaystyle x}$ je idempotentní.

Takže například:

${displaystyle rcdot p = pcdot r = p}$ "papír bije kámen";
${displaystyle scdot s = s}$ "nůžky kravata s nůžkami".

To má za následek Cayleyho stůl:

{displaystyle {egin {array} {c | ccc} cdot & r & p & s hline r & r & p & r p & p & p & s s & r & s & odeslat {pole}}}

Podle definice magma ${displaystyle (M, cdot)}$ je komutativní, ale je také neasociativní, jak ukazuje:

{displaystyle rcdot (pcdot s) = rcdot s = r}

ale

{displaystyle (rcdot p) cdot s = pcdot s = s}

tj.

{displaystyle rcdot (pcdot s) eq (rcdot p) cdot s}

Další příklady

„znamenat " úkon ${displaystyle xoplus y = (x + y) / 2}$ na racionální čísla (nebo jakýkoli komutativní číselný systém uzavřený rozdělením) je také komutativní, ale ne obecně asociativní, např.

{displaystyle -4oplus (0oplus +4) = - 4oplus + 2 = -1}

ale

{displaystyle (-4oplus 0) oplus + 4 = -2oplus + 4 = + 1}

Obecně platí, že průměrné operace studoval v topologii nemusí být asociativní.

Konstrukce aplikovaná v předchozí části na nůžky na kámen a papír se snadno vztahuje na varianty hry s jinými počty gest, jak je popsáno v části Variace, pokud jsou dva hráči a podmínky jsou mezi nimi symetrické; abstraktněji lze použít na všechny trichotomický binární relace (jako „beaty“ ve hře). Výsledné magma bude asociativní, pokud je vztah tranzitivní, a proto je (přísný) celková objednávka; jinak, pokud je konečný, obsahuje řízené cykly (jako kámen-papír-nůžky-kámen) a magma je neasociativní. Chcete-li to vidět, zvažte kombinaci všech prvků v cyklu v opačném pořadí, tj. Tak, aby každý kombinovaný prvek porazil předchozí; výsledkem je poslední prvek kombinovaný, zatímco asociativita a komutativita by znamenaly, že výsledek závisí pouze na množině prvků v cyklu.

Spodní řádek v Karnaughův diagram výše poskytuje více příkladů operací definovaných na celá čísla (nebo nějaký komutativní prsten ).

Odvozené komutativní neasociativní algebry

Pomocí příkladu nůžek na kámen a papír lze sestrojit komutativní neasociativní algebra nad polem ${displaystyle K}$ : vzít ${displaystyle A}$ být trojrozměrný vektorový prostor přes ${displaystyle K}$ jehož prvky jsou zapsány ve formě

{displaystyle (x, y, z) = xr + yp + zs,}

pro ${displaystyle x, y, zin K}$ . Je definováno sčítání vektorů a skalární násobení součástka -wise, a vektory se vynásobí pomocí výše uvedených pravidel pro násobení prvků ${displaystyle r, p, s}$ Sada

{displaystyle {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}}

tj.

{displaystyle {r, p, s}}

tvoří a základ pro algebru ${displaystyle A}$ . Stejně jako dříve, vektorové násobení v ${displaystyle A}$ je komutativní, ale nikoli asociativní.

Stejný postup lze použít k odvození z jakéhokoli komutativního magmatu ${displaystyle M}$ komutativní algebra ${displaystyle K}$ na ${displaystyle K ^ {M}}$ , která bude neasociativní, pokud ${displaystyle M}$ je.