The podmínka harmonických souřadnic je jedním z několika podmínky souřadnic v obecná relativita , které umožňují řešit Einsteinovy rovnice pole . Říká se, že souřadnicový systém splňuje podmínku harmonických souřadnic, pokud každá z funkcí souřadnic X α (považováno za skalární pole) vyhovuje d'Alembertova rovnice . Paralelní pojem a harmonický souřadnicový systém v Riemannova geometrie je souřadnicový systém, jehož souřadnicové funkce splňují Laplaceova rovnice . Od té doby d'Alembertova rovnice je zobecnění Laplaceovy rovnice na časoprostor, jeho řešení se také nazývají „harmonická“.
Motivace Zákony fyziky lze vyjádřit obecně neměnnou formou. Jinými slovy, skutečný svět se nestará o naše souřadnicové systémy. Abychom však mohli rovnice vyřešit, musíme se zaměřit na konkrétní souřadný systém. A podmínka souřadnic vybere jeden (nebo menší soubor) takových souřadnicových systémů. Kartézské souřadnice použité ve speciální relativitě uspokojují d'Alembertovu rovnici, takže harmonický souřadnicový systém je nejbližší aproximací dostupnou v obecné relativitě k setrvačnému referenčnímu rámci ve speciální relativitě.
Derivace Obecně relativita, musíme použít kovarianční derivace místo parciální derivace v d'Alembertově rovnici dostaneme:
0 = ( X α ) ; β ; y G β y = ( ( X α ) , β , y − ( X α ) , σ Γ β y σ ) G β y . {displaystyle 0 = left (x ^ {alpha} ight) _ {; eta; gamma} g ^ {eta gamma} = left (left (x ^ {alpha} ight) _ {, eta, gamma} -left (x ^ {alpha} ight) _ {, sigma} Gamma _ {eta gamma} ^ {sigma} ight) g ^ {eta gamma} ,.} Protože souřadnice X α není ve skutečnosti skalární, nejde o tenzorovou rovnici. To znamená, že není obecně neměnný. Podmínky souřadnic však nesmí být obecně neměnné, protože mají vybírat (pracovat pouze pro) určité souřadnicové systémy a ne jiné. Protože částečná derivace souřadnice je Kroneckerova delta , dostaneme:
0 = ( δ β , y α − δ σ α Γ β y σ ) G β y = ( 0 − Γ β y α ) G β y = − Γ β y α G β y . {displaystyle 0 = left (delta _ {eta, gamma} ^ {alpha} -delta _ {sigma} ^ {alpha} Gamma _ {eta gamma} ^ {sigma} ight) g ^ {eta gamma} = left (0- Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} ight) g ^ {eta gamma} = - Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} g ^ {eta gamma} ,.} A tak zrušením znaménka mínus dostaneme podmínka harmonických souřadnic (také známý jako de Donder rozchod po Théophile de Donder [1]
0 = Γ β y α G β y . {displaystyle 0 = Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} g ^ {eta gamma} ,.} Tato podmínka je zvláště užitečná při práci s gravitačními vlnami.
Alternativní forma Zvažte kovarianční derivaci hustota převrácené hodnoty metrického tenzoru:
0 = ( G μ ν − G ) ; ρ = ( G μ ν − G ) , ρ + G σ ν Γ σ ρ μ − G + G μ σ Γ σ ρ ν − G − G μ ν Γ σ ρ σ − G . {displaystyle 0 = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {; ho} = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, ho} + g ^ {sigma u} Gamma _ {sigma ho} ^ {mu} {sqrt {-g}} + g ^ {mu sigma} Gamma _ {sigma ho} ^ {u} {sqrt {-g}} - g ^ {mu u} Gamma _ {sigma ho} ^ {sigma} {sqrt {-g}} ,.} Poslední termín − G μ ν Γ σ ρ σ − G {displaystyle -g ^ {mu u} Gamma _ {sigma ho} ^ {sigma} {sqrt {-g}}} − G {displaystyle {sqrt {-g}}} − G ; ρ = 0 {displaystyle {sqrt {-g}} _ {; ho} = 0!} G ; ρ μ ν = 0 {displaystyle g _ {; ho} ^ {mu u} = 0!} − G , ρ = − G Γ σ ρ σ . {displaystyle {sqrt {-g}} _ {, ho} = {sqrt {-g}} Gama _ {sigma ho} ^ {sigma} ,.}
Smluvením ν s ρ a aplikací podmínky harmonických souřadnic na druhý člen získáme:
0 = ( G μ ν − G ) , ν + G σ ν Γ σ ν μ − G + G μ σ Γ σ ν ν − G − G μ ν Γ σ ν σ − G = ( G μ ν − G ) , ν + 0 + G μ α Γ α β β − G − G μ α Γ β α β − G . {displaystyle {egin {aligned} 0 & = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, u} + g ^ {sigma u} Gamma _ {sigma u} ^ {mu} {sqrt {-g}} + g ^ {mu sigma} Gamma _ {sigma u} ^ {u} {sqrt {-g}} - g ^ {mu u} Gamma _ {sigma u} ^ {sigma} {sqrt {- g}}, & = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, u} + 0 + g ^ {mu alpha} Gamma _ {alpha eta} ^ {eta} {sqrt {-g}} - g ^ {mu alpha} Gamma _ {eta alpha} ^ {eta} {sqrt {-g}} ,. konec {zarovnáno}}} Dostaneme tedy, že alternativní způsob vyjádření podmínky harmonických souřadnic je:
0 = ( G μ ν − G ) , ν . {displaystyle 0 = left (g ^ {mu u} {sqrt {-g}} ight) _ {, u} ,.} Více variant forem Pokud někdo vyjádří symbol Christoffel z hlediska metrického tenzoru, dostane
0 = Γ β y α G β y = 1 2 G α δ ( G y δ , β + G β δ , y − G β y , δ ) G β y . {displaystyle 0 = Gamma _ {eta gamma} ^ {alpha} g ^ {eta gamma} = {frac {1} {2}} g ^ {alpha delta} left (g_ {gamma delta, eta} + g_ {eta delta , gamma} -g_ {eta gamma, delta} ight) g ^ {eta gamma} ,.} Vyřazení faktoru G α δ {displaystyle g ^ {alfa delta},}
G α β , y G β y = 1 2 G β y , α G β y . {displaystyle g_ {alpha eta, gamma}, g ^ {eta gamma} = {frac {1} {2}} g_ {eta gamma, alpha}, g ^ {eta gamma} ,.} V kontextu linearizovaná gravitace , je to k nerozeznání od těchto dalších forem:
h α β , y G β y = 1 2 h β y , α G β y ; G α β , y η β y = 1 2 G β y , α η β y ; h α β , y η β y = 1 2 h β y , α η β y . {displaystyle {egin {aligned} h_ {alpha eta, gamma}, g ^ {eta gamma} & = {frac {1} {2}} h_ {eta gamma, alpha}, g ^ {eta gamma},; g_ {alpha eta, gamma}, eta ^ {eta gamma} & = {frac {1} {2}} g_ {eta gamma, alpha}, eta ^ {eta gamma},; h_ {alfa eta, gamma}, eta ^ {eta gamma} & = {frac {1} {2}} h_ {eta gamma, alpha}, eta ^ {eta gamma} ,. end {zarovnáno}}} Poslední dva jsou však odlišnou podmínkou souřadnic, když přejdete do druhého řádu dovnitř h .
Vliv na vlnovou rovnici Zvažte například vlnovou rovnici aplikovanou na elektromagnetický vektorový potenciál:
0 = A α ; β ; y G β y . {displaystyle 0 = A_ {alfa; eta; gamma} g ^ {eta gamma} ,.} Vyhodnoťme pravou stranu:
A α ; β ; y G β y = A α ; β , y G β y − A σ ; β Γ α y σ G β y − A α ; σ Γ β y σ G β y . {displaystyle A_ {alfa; eta; gamma} g ^ {eta gamma} = A_ {alfa; eta, gama} g ^ {eta gama} -A_ {sigma; eta} Gamma _ {alfa gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} -A_ {alpha; sigma} Gamma _ {eta gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} ,.} Pomocí podmínky harmonických souřadnic můžeme vyloučit termín nejvíce vpravo a poté pokračovat v hodnocení následovně:
A α ; β ; y G β y = A α ; β , y G β y − A σ ; β Γ α y σ G β y = A α , β , y G β y − A ρ , y Γ α β ρ G β y − A ρ Γ α β , y ρ G β y − A σ , β Γ α y σ G β y − A ρ Γ σ β ρ Γ α y σ G β y . {displaystyle {egin {aligned} A_ {alpha; eta; gamma} g ^ {eta gamma} & = A_ {alpha; eta, gama} g ^ {eta gama} -A_ {sigma; eta} Gamma _ {alfa gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} & = A_ {alpha, eta, gamma} g ^ {eta gamma} -A_ {ho, gamma} Gamma _ {alpha eta} ^ { ho} g ^ {eta gamma} -A_ {ho} Gamma _ {alfa eta, gamma} ^ {ho} g ^ {eta gamma} -A_ {sigma, eta} Gamma _ {alfa gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} -A_ {ho} Gamma _ {sigma eta} ^ {ho} Gamma _ {alpha gamma} ^ {sigma} g ^ {eta gamma} ,. end {aligned}}} Viz také Reference ^ [John Stewart (1991), „Advanced General Relativity“, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44946-4 ] P.A.M.Dirac (1975), Obecná teorie relativity , Princeton University Press, ISBN 0-691-01146-X, kapitola 22 externí odkazy 
