Lanczosův tenzor - Lanczos tensor

The Lanczosův tenzor nebo Lanczosův potenciál je hodnost 3 tenzor v obecná relativita který generuje Weylův tenzor.^[1] Poprvé byl představen Cornelius Lanczos v roce 1949.^[2] Teoretický význam Lanczosova tenzoru spočívá v tom, že slouží jako měřicí pole pro gravitační pole stejným způsobem, že analogicky elektromagnetický čtyř potenciál generuje elektromagnetické pole.^[3][4]

Definice

Lanczosův tenzor lze definovat několika různými způsoby. Nejběžnější moderní definice je prostřednictvím Weyl-Lanczosových rovnic, které ukazují generování Weylova tenzoru z Lanczosova tenzoru.^[4] Tyto rovnice, uvedené níže, dal Takeno v roce 1964.^[1] Způsob, jakým Lanczos původně představil tenzor, byl jako Lagrangeův multiplikátor^[2][5] o omezujících podmínkách studovaných v EU variační přístup k obecné relativitě.^[6] Podle jakékoli definice Lanczosův tenzor H vykazuje následující symetrie:

${ displaystyle H_ {abc} + H_ {bac} = 0, ,}$

${ displaystyle H_ {abc} + H_ {bca} + H_ {cab} = 0.}$

Lanczosův tenzor existuje vždy ve čtyřech rozměrech^[7] ale nezobecňuje se na vyšší dimenze.^[8] To zdůrazňuje zvláštnost čtyř dimenzí.^[3] Všimněte si dále, že plné Riemannův tenzor nelze obecně odvodit z derivátů samotného Lanczosova potenciálu.^[7][9] The Einsteinovy ​​rovnice pole musí poskytnout Ricciho tenzor dokončit součásti Ricciho rozklad.

The Přímé pole má dynamiku transformace měřidla podobnou dynamice Lanczosova tenzoru. Pole Curtright však existuje v libovolných rozměrech> 4D.^[10]

Weyl-Lanczosovy rovnice

Weyl-Lanczosovy rovnice vyjadřují Weylův tenzor zcela jako deriváty Lanczosova tenzoru:^[11]

${ displaystyle C_ {abcd} = H_ {abc; d} + H_ {cda; b} + H_ {bad; c} + H_ {dcb; a} + (H ^ {e} {} _ {(ac); e} + H _ {(a | e |} {} ^ {e} {} _ {; c)}) g_ {bd} + (H ^ {e} {} _ {(bd); e} + H_ { (b | e |} {} ^ {e} {} _ {; d)}) g_ {ac} - (H ^ {e} {} _ {(reklama); e} + H _ {(a | e | } {} ^ {e} {} _ {; d)}) g_ {bc} - (H ^ {e} {} _ {(bc); e} + H _ {(b | e |} {} ^ { e} {} _ {; c)}) g_ {ad} - { frac {2} {3}} H ^ {ef} {} _ {f; e} (g_ {ac} g_ {bd} -g_ {ad} g_ {bc})}$

kde ${ displaystyle C_ {abcd}}$ je Weylův tenzor, středník označuje kovarianční derivace a označují dolní závorky symetrizace. Ačkoli výše uvedené rovnice lze použít k definování Lanczosova tenzoru, ukazují také, že není jedinečný, ale spíše má měřit svobodu pod afinní skupina.^[12] Li ${ displaystyle Phi ^ {a}}$ je libovolný vektorové pole, pak jsou Weyl-Lanczosovy rovnice neměnné pod transformací měřidla

${ displaystyle H '_ {abc} = H_ {abc} + Phi _ {[a} g_ {b] c}}$

kde naznačené závorky udávají antisymetrizace. Často vhodnou volbou je Lanczosův algebraický rozchod, ${ displaystyle Phi _ {a} = - { frac {2} {3}} H_ {ab} {} ^ {b},}$ který nastavuje ${ displaystyle H '_ {ab} {} ^ {b} = 0.}$ Měřidlo lze dále omezit pomocí diferenciálního měřidla Lanczos ${ displaystyle H_ {ab} {} ^ {c} {} _ {; c} = 0}$. Tyto volby měřidla redukují Weyl-Lanczosovy rovnice do jednodušší formy

${ displaystyle C_ {abcd} = H_ {abc; d} + H_ {cda; b} + H_ {špatné; c} + H_ {dcb; a} + H ^ {e} {} _ {ac; e} g_ {bd} + H ^ {e} {} _ {bd; e} g_ {ac} -H ^ {e} {} _ {ad; e} g_ {bc} -H ^ {e} {} _ {bc ; e} g_ {ad}.}$

Vlnová rovnice

Lanczosův potenciální tenzor splňuje vlnovou rovnici^[13]

${ displaystyle { begin {aligned} Box H_ {abc} = & J_ {abc} & {} - 2 {R_ {c}} ^ {d} H_ {abd} + {R_ {a}} ^ { d} H_ {bcd} + {R_ {b}} ^ {d} H_ {acd} & {} + left (H_ {dbe} g_ {ac} -H_ {dae} g_ {bc} right) R ^ {de} + { frac {1} {2}} RH_ {abc}, end {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle Box}$ je operátor d'Alembert a

${ displaystyle J_ {abc} = R_ {ca; b} -R_ {cb; a} - { frac {1} {6}} vlevo (g_ {ca} R _ {; b} -g_ {cb} R_ {;správně)}$

je známý jako Bavlněný tenzor. Protože bavlněný tenzor závisí pouze na kovarianční deriváty z Ricciho tenzor, je možné jej interpretovat jako určitý druh aktuální hmoty.^[14] Další termíny samočinné vazby nemají žádný přímý elektromagnetický ekvivalent. Tyto podmínky samočinného spojování však nemají vliv na vakuová řešení, kde Ricciho tenzor zmizí a zakřivení je zcela popsáno Weylovým tenzorem. Ve vakuu tedy Einsteinovy ​​rovnice pole jsou ekvivalentní k homogenní vlnová rovnice ${ displaystyle Box H_ {abc} = 0,}$ v dokonalé analogii k rovnici vakuových vln ${ displaystyle Box A_ {a} = 0}$ elektromagnetického čtyř potenciálu. To ukazuje formální podobnost mezi gravitační vlny a elektromagnetické vlny, s Lanczosovým tenzorem vhodným pro studium gravitačních vln.^[15]

V aproximaci slabého pole kde ${ displaystyle g_ {ab} = eta _ {ab} + h_ {ab}}$, vhodný tvar pro Lanczosův tenzor v měřidle Lanczos je^[14]

${ displaystyle 4H_ {abc} přibližně h_ {ac, b} -h_ {bc, a} - { frac {1} {6}} ( eta _ {ac} {h ^ {d}} _ {d , b} - eta _ {bc} {h ^ {d}} _ {d, a}).}$

Příklad

Nejzákladnější netriviální případ pro vyjádření Lanczosova tenzoru je samozřejmě pro Schwarzschildova metrika.^[4] Nejjednodušší, explicitní reprezentace komponent v přirozené jednotky pro Lanczosův tenzor v tomto případě je

${ displaystyle H_ {trt} = { frac {GM} {r ^ {2}}}}$

se všemi ostatními komponentami mizejícími až do symetrií. Tato forma však není v měřidle Lanczos. Nevýhody termínu Lanczosova tenzoru v měřidle Lanczos jsou

${ displaystyle H_ {trt} = { frac {2GM} {3r ^ {2}}}}$

${ displaystyle H_ {r theta theta} = { frac {-GM} {3 (1–2 GM / r)}}}$

${ displaystyle H_ {r phi phi} = { frac {-GM sin ^ {2} theta} {3 (1-2GM / r)}}}$

Dále je možné ukázat, dokonce i v tomto jednoduchém případě, že Lanczosův tenzor nelze obecně redukovat na lineární kombinaci spinových koeficientů Newman – Penroseův formalismus, což svědčí o Lanczosově tenzorové základní povaze.^[11] Podobné výpočty byly použity ke konstrukci libovolné Petrov typu D řešení.^[16]

Viz také

• Bachův tenzor
• Ricciho počet
• Schoutenův tenzor
• tetradic Palatini akce
• Self-dual Palatini akce

Reference

externí odkazy

• Peter O'Donnell, Úvod do dvouspinorů v obecné relativitě. World Scientific, 2003.