Wirtingerova prezentace - Wirtinger presentation

v matematika, speciálně v teorie skupin, a Wirtingerova prezentace je konečný prezentace kde jsou vztahy ve formě ${ displaystyle wg_ {i} w ^ {- 1} = g_ {j}}$ kde ${ displaystyle w}$ je slovo v generátorech, ${ displaystyle {g_ {1}, g_ {2}, ldots, g_ {k} }.}$ Wilhelm Wirtinger poznamenal, že doplňky uzlů v 3-prostor mít základní skupiny s prezentacemi tohoto formuláře.

Příprava a definice

A uzel K. je vložení jedné sféry S¹ v trojrozměrném prostoru R³. (Alternativně lze okolní prostor považovat také za tři koule S³, což pro účely prezentace Wirtinger nedělá rozdíl.) Otevřený podprostor, který je doplňkem uzlu, ${ displaystyle S ^ {3} setminus K}$ je uzlovým doplňkem. Své základní skupina ${ displaystyle pi _ {1} (S ^ {3} setminus K)}$ je invariant uzlu v tom smyslu, že ekvivalentní uzly mít izomorfní uzlové skupiny. Je proto zajímavé rozumět této skupině přístupným způsobem.

A Wirtingerova prezentace je odvozen z pravidelné projekce orientovaný uzel. Taková projekce může být zobrazena jako konečný počet (orientovaných) oblouků v rovině, oddělených křížením projekce. Základní skupina je generována smyčkami vinutými kolem každého oblouku. Každé křížení vede k určitému vztahu mezi generátory odpovídajícím obloukům, které se setkávají na křížení.

Wirtingerovy prezentace vysokodimenzionálních uzlů

Obecněji, co-dimenze dva uzly v koule je známo, že mají Wirtingerovy prezentace. Michel Kervaire prokázal, že abstraktní skupina je základní skupinou exteriéru uzlu (v možná výškové sféře) právě tehdy, jsou-li splněny všechny následující podmínky:

The abelianizace skupiny jsou celá čísla.
Druhý homologie skupiny je triviální.
Skupina je konečně prezentovány.
Tato skupina je normální uzavření jednoho generátoru.

Podmínky (3) a (4) jsou v zásadě Wirtingerovy podmínky prezentace, přepracované. Kervaire v dimenzích 5 a větších prokázal, že výše uvedené podmínky jsou nezbytné a dostatečné. Charakterizace skupin uzlů v dimenzi čtyři je otevřeným problémem.

Příklady

Pro trojlístkový uzel lze prezentovat Wirtingerovu prezentaci jako

{ displaystyle pi _ {1} ( mathbb {R} ^ {3} zpětné lomítko { text {trojlístek}}) = langle x, y mid yxy = xyx rangle.}

Viz také

Skupina uzlů

Další čtení

Rolfsen, Dale (1990), Uzly a odkazy, Matematická přednášková série, 7, Houston, TX: Publikovat nebo zahynout, ISBN 978-0-914098-16-4, sekce 3D
Kawauchi, Akio (1996), Přehled teorie uzlů, Birkhäuser, doi:10.1007/978-3-0348-9227-8, ISBN 978-3-0348-9953-6
Hillman, Jonathan (2012), Algebraické invarianty odkazů, Série o uzlech a všem, 52, Světově vědecký, doi:10.1142/9789814407397, ISBN 9789814407397
Livingston, Charles (1993), Teorie uzlů, The Mathematical Association of America