Teorie reprezentace SL2 (R) - Representation theory of SL2(R)

v matematika, hlavní výsledky týkající se neredukovatelné unitární reprezentace z Lež skupina SL (2,R) jsou kvůli Gelfand a Naimark (1946), V. Bargmann (1947) a Harish-Chandra (1952).

Struktura složité Lieovy algebry

Vybíráme základ H, X, Y pro komplexizaci Lieovy algebry SL (2,R) aby iH generuje Lieovu algebru a kompaktní Cartan podskupina K. (tak zejména unitární reprezentace rozdělené jako součet vlastních prostorů H), a {H,X,Y} je sl₂-trojnásobný, což znamená, že uspokojují vztahy

${displaystyle [H, X] = 2X, quad [H, Y] = - 2Y, quad [X, Y] = H.}$

Jeden způsob, jak toho dosáhnout, je následující:

${displaystyle H = {egin {pmatrix} 0 & -i i & 0end {pmatrix}}}$ odpovídající podskupině K. matic ${displaystyle {egin {pmatrix} cos (heta) & - sin (heta) sin (heta) & cos (heta) konec {pmatrix}}}$

${displaystyle X = {1 nad 2} {egin {pmatrix} 1 & i i & -1end {pmatrix}}}$

${displaystyle Y = {1 přes 2} {egin {pmatrix} 1 & -i -i & -1end {pmatrix}}}$

The Provozovatel kasimíru Ω je definován jako

${displaystyle Omega = H ^ {2} + 1 + 2XY + 2YX.}$

Generuje střed univerzální obalová algebra komplexizované Lieovy algebry SL (2,R). Casimirův prvek působí na jakoukoli neredukovatelnou reprezentaci jako násobení nějakým komplexním skalárním μ². V případě Lieovy algebry sl₂, nekonečně malý znak neredukovatelné reprezentace je specifikováno jedním komplexním číslem.

Střed Z skupiny SL (2,R) je cyklická skupina {Já,-Já} řádu 2, skládající se z matice identity a jejího negativu. Na jakoukoli neredukovatelnou reprezentaci centrum působí buď triviálně, nebo netriviálním charakterem Z, což představuje matici -Já vynásobením -1 v reprezentačním prostoru. Odpovídajícím způsobem se hovoří o triviálním nebo netriviálním ústřední postava.

Ústřední postava a nekonečně malá postava neredukovatelné reprezentace jakékoli redukční Lieovy skupiny jsou důležitými invarianty reprezentace. V případě neredukovatelných přípustných reprezentací SL (2,R), ukázalo se, že obecně existuje přesně jedna reprezentace až do izomorfismu se zadanými středními a nekonečně malými znaky. Ve výjimečných případech existují dvě nebo tři reprezentace s předepsanými parametry, z nichž všechny byly stanoveny.

Konečně-dimenzionální reprezentace

Pro každé nezáporné celé číslo n, skupina SL (2,R) má neredukovatelné zastoupení dimenze n+1, což je jedinečné až do izomorfismu. Tuto reprezentaci lze zkonstruovat v prostoru homogenních polynomů stupně n ve dvou proměnných. Pouzdro n= 0 odpovídá triviální zastoupení. Neredukovatelná konečně-dimenzionální reprezentace nekompaktního jednoduchá Lieova skupina dimenze větší než 1 nikdy není jednotná. Tato konstrukce tedy produkuje pouze jednu jednotnou reprezentaci SL (2,R), triviální reprezentace.

The konečně-dimenzionální teorie reprezentace nekompaktní skupiny SL (2,R) je ekvivalentní s teorie reprezentace SU (2), jeho kompaktní forma, v podstatě proto, že jejich Lieovy algebry mají stejnou složitost a jsou „algebraicky jednoduše spojeny“. (Přesněji řečeno, skupina SU (2) je jednoduše připojena a SL (2,R) není, ale nemá žádná netriviální algebraická centrální rozšíření.) Obecně však nekonečně-dimenzionální v případě, že neexistuje žádná úzká korespondence mezi reprezentacemi skupiny a reprezentacemi její Lieovy algebry. Ve skutečnosti to vyplývá z Peter – Weylova věta že všechny neredukovatelné reprezentace kompaktní Lieovy skupiny SU (2) jsou konečně-rozměrné a jednotné. Situace s SL (2,R) je zcela odlišný: má nekonečně trojrozměrné neredukovatelné reprezentace, z nichž některá jsou jednotná a některá nikoli.

Reprezentace hlavních řad

Hlavní technikou konstrukce reprezentací redukční Lieovy skupiny je metoda parabolická indukce. V případě skupiny SL (2,R), existuje konjugace pouze s jedním správným parabolická podskupina, Podskupina Borel horno-trojúhelníkových matic determinantu 1. Indukční parametr indukované reprezentace hlavní řady je (možná nejednotný) znak multiplikativní skupiny reálných čísel, který je určen volbou ε = ± 1 a komplexním číslem μ. Odpovídající reprezentace hlavní řady je označena Já_{ε, μ}. Ukazuje se, že ε je ústřední postava indukované reprezentace a komplexní číslo μ lze identifikovat pomocí nekonečně malý znak přes Harish-Chandra izomorfismus.

Reprezentace hlavní řady Já_{ε, μ} (nebo přesněji jeho modul Harish-Chandra z K.-finitní prvky) připouští základ skládající se z prvků w_j, kde je index j proběhne sudá celá čísla, pokud ε = 1 a lichá celá čísla, pokud ε = -1. Akce X, Y, a H je dáno vzorci

${displaystyle H (w_ {j}) = jw_ {j}}$

${displaystyle X (w_ {j}) = {mu + j + 1 nad 2} w_ {j + 2}}$

${displaystyle Y (w_ {j}) = {mu -j + 1 nad 2} w_ {j-2}}$

Přípustná prohlášení

S využitím skutečnosti, že se jedná o vlastní vektor operátora Casimir a má vlastní vektor pro H, snadno vyplývá, že jakýkoli neredukovatelný přípustné zastoupení je subreprezentace parabolicky indukované reprezentace. (To platí také pro obecnější redukční Lieovy skupiny a je známé jako Casselmanova věta o subreprezentaci.) Neredukovatelné přípustné reprezentace SL (2,R) lze nalézt rozložením reprezentací hlavních řad Já_{ε, μ} na neredukovatelné složky a určování izomorfismů. Dekompozice shrnujeme následovně:

• Já_{ε, μ} je redukovatelný právě tehdy, když μ je celé číslo a ε = - (- 1)^μ. Li Já_{ε, μ} je neredukovatelná, pak izomorfní Já_{ε, −μ}.
• Já_{−1, 0} rozděluje se jako přímý součet Já_{ε, 0} = D₊₀ + D₋₀ dvou neredukovatelných reprezentací, nazývaných limit reprezentací diskrétních řad. D₊₀ má základ w_j pro j≥1 a D₋₀ má základ w_j pro j≤−1,
• Li Já_{ε, μ} je redukovatelný s μ> 0 (takže ε = - (- 1)^μ) pak má jedinečný neredukovatelný kvocient, který má konečnou dimenzi μ a jádro je součtem dvou samostatných reprezentací řady D_{+ μ} + D_−μ. Zastoupení D_μ má základ w_{μ +j} pro j≥1 a D_−μ má základ w_−μ−j pro j≤−1.
• Li Já_{ε, μ} je redukovatelný s μ <0 (takže ε = - (- 1)^μ) pak má jedinečnou neredukovatelnou subreprezentaci, která má konečnou dimenzi -μ, a kvocient je součtem dvou diskrétních reprezentací řady D_{+ μ} + D_−μ.

Toto poskytuje následující seznam neredukovatelných přípustných vyjádření:

• Konečně-rozměrná reprezentace dimenze μ pro každé kladné celé číslo μ, s centrálním znakem - (- 1)^μ.
• Dva limity reprezentací diskrétních řad D₊₀, D₋₀, s μ = 0 a netriviální ústřední postavou.
• Diskrétní reprezentace řady D_μ pro μ nenulové celé číslo s centrálním znakem - (- 1)^μ.^{[pochybný – diskutovat]}
• Dvě rodiny reprezentací neredukovatelné hlavní řady Já_{ε, μ} pro ε ≠ - (- 1)^μ (kde Já_{ε, μ} je izomorfní s Já_{ε, −μ}).

Vztah s Langlandsovou klasifikací

Podle Langlandsova klasifikace, neredukovatelné přípustné reprezentace jsou parametrizovány určitými temperovanými reprezentacemi Levi podskupin M parabolických podskupin P=MUŽ. Funguje to následovně:

• Diskrétní řady, limit jednotlivých řad a reprezentace jednotných hlavních řad Já_{ε, μ} s μ imaginární jsou již temperovány, takže v těchto případech parabolická podskupina P je SL (2,R) sám.
• Konečně-dimenzionální reprezentace a reprezentace Já_{ε, μ} pro ℜμ> 0, μ není celé číslo nebo ε ≠ - (- 1)^μ jsou neredukovatelné kvocienty reprezentací hlavní řady Já_{ε, μ} pro ℜμ> 0, které jsou indukovány z temperovaných reprezentací parabolické podskupiny P=MUŽ horních trojúhelníkových matic, s A kladné úhlopříčné matice a M střed řádu 2. Pro μ kladné celé číslo a ε = - (- 1)^μ reprezentace hlavní řady má konečně-dimenzionální reprezentaci jako svůj neredukovatelný kvocient a jinak je již neredukovatelná.

Jednotná reprezentace

Neredukovatelné jednotné reprezentace lze nalézt kontrolou toho, které z neredukovatelných přípustných reprezentací připouští invariantní pozitivně určitou hermitovskou formu. To má za následek následující seznam jednotkových reprezentací SL (2,R):

• Triviální reprezentace (jediná konečně-dimenzionální reprezentace v tomto seznamu).
• Dva limit reprezentací diskrétních řad D₊₀, D₋₀.
• The diskrétní řady reprezentace D_k, indexováno nenulovými celými čísly k. Všechny jsou odlišné.
• Dvě rodiny neredukovatelné reprezentace hlavní řady, skládající se z sférické hlavní řady Já_+,iμ indexovány reálnými čísly μ a nesférickou jednotnou hlavní řadou Já_−,iμ indexovány nenulovými reálnými čísly μ. Reprezentace s parametrem μ je izomorfní s reprezentací s parametrem −μ a nejsou mezi nimi žádné další izomorfismy.
• The doplňkové reprezentace sérií Já_{+, μ} pro 0 <| μ | <1. Reprezentace s parametrem μ je izomorfní s reprezentací s parametrem −μ a nejsou mezi nimi žádné další izomorfismy.

Z těchto dvou limitů reprezentací diskrétních řad, reprezentací diskrétních řad a dvou rodin reprezentací hlavních řad jsou temperovaný, zatímco triviální a doplňkové řady reprezentace nejsou zmírněny.

Reference

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

• Bargmann, V. (1947), „Neredukovatelné jednotné reprezentace skupiny Lorentz“, Annals of Mathematics, Druhá série, 48 (3): 568–640, doi:10.2307/1969129, JSTOR  1969129, PAN  0021942
• Gelfand, I .; Neumark, M. (1946), „Jednotná reprezentace skupiny Lorentz“, Acad. Sci. SSSR. J. Phys., 10: 93–94, PAN  0017282.
• Harish-Chandra (1952), „Plancherelův vzorec pro 2 × 2 skutečnou unimodulární skupinu“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 38 (4): 337–342, doi:10.1073 / pnas.38.4.337, JSTOR  88737, PAN  0047055, PMC  1063558, PMID  16589101.
• Howe, Rogere; Tan, Eng-Chye (1992), Nonabelianská harmonická analýza: Aplikace SL (2,R)Universitext, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4613-9200-2, ISBN  0-387-97768-6, PAN  1151617.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teorie reprezentace polojednodušých skupin: Přehled na příkladech (dotisk originálu z roku 1986)Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN  0-691-09089-0, PAN  1880691.
• Kunze, R. A.; Stein, E. M. (1960), „Rovnoměrně ohraničené reprezentace a harmonická analýza skutečné unimodulární skupiny 2 × 2“, American Journal of Mathematics, 82: 1–62, doi:10.2307/2372876, JSTOR  2372876, PAN  0163988.
• Vogan, David A., Jr. (1981), Reprezentace skutečných redukčních Lieových skupinPokrok v matematice, 15, Boston, Massachusetts: Birkhäuser, ISBN  3-7643-3037-6, PAN  0632407.
• Wallach, Nolan R. (1988), Skutečné redukční skupiny. Já Čistá a aplikovaná matematika, 132, Boston, MA: Academic Press, Inc., str.xx + 412, ISBN  0-12-732960-9, PAN  0929683.

Minikurz

Videa SL (2,R) Letní škola v Utahu v červnu 2006 poskytuje úvod na magisterské úrovni: Domovská stránka letní školy v Utahu 2006.

Viz také

• spin (fyzika)
• Teorie reprezentace SU (2)
• Rotační skupina SO (3) # Poznámka k Lieově algebře