Pytlovina mnohostěn - Hessian polyhedron

Pytlovina mnohostěn
Ortografická projekce (trojúhelníkové 3 hrany ohraničené černými hranami)
Schläfliho symbol	3{3}3{3}3
Coxeterův diagram
Tváře	27 3{3}3
Hrany	72 3{}
Vrcholy	27
Petrie polygon	Dodekagon
van Oss polygon	12 3{4}2
Shephardova skupina	L3 = 3[3]3[3]3, objednávka 648
Duální mnohostěn	Self-dual
Vlastnosti	Pravidelný

v geometrie, Pytlovina mnohostěn je pravidelný komplexní mnohostěn ₃{3}₃{3}₃, , v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$. Má 27 vrcholů, 72 ₃{} hrany a 27 ₃{3}₃ tváře. Je to samo-duální.

Coxeter to pojmenoval Ludwig Otto Hesse pro sdílení Hessianská konfigurace ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 9 a 4 3 a 12 end {smallmatrix}} right]}$ nebo (9₄12₃), 9 bodů ležících po třech na dvanácti řádcích, přičemž každý bod má čtyři řádky.^[1]

Své komplexní reflexní skupina je ₃[3]₃[3]₃ nebo , objednávka 648, nazývaná také a Hesenská skupina. Má 27 kopií , pořadí 24, u každého vrcholu. Má 24 odrazů řádu 3. Své Číslo coxeteru je 12, se stupni základních invariantů 3, 6 a 12, které lze vidět v projektivní symetrii polytopů.

The Witting polytope, ₃{3}₃{3}₃{3}₃, obsahuje pytlovinu mnohostěn as buňky a vrcholové postavy.

Má skutečné zastoupení jako 2₂₁ polytop, , ve 4-dimenzionálním prostoru, sdílení stejných 27 vrcholů. 216 hran dovnitř 2₂₁ lze vidět jako 72 ₃{} hrany reprezentované jako 3 jednoduché hrany.

Souřadnice

Jeho 27 vrcholům lze zadat souřadnice ${ displaystyle mathbb {C} ^ {3}}$: pro (λ, μ = 0,1,2).

(0, ω^λ, −ω^μ)

(−ω^μ, 0, ω^λ)

(ω^λ, −ω^μ,0)

kde ${ displaystyle omega = { tfrac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}}}$.

Jako konfigurace

Hessianský mnohostěn s trojúhelníkovými 3 hranami ohraničenými černými hranami, s jedním obličejem ohraničeným modře.

Jeden z 12 polygonů Van Oss, 3{4}2, v hesenské mnohostěnu

Jeho symetrie je dána vztahem ₃[3]₃[3]₃ nebo , objednávka 648.^[2]

The konfigurační matice pro ₃{3}₃{3}₃ je:^[3]

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 27 & 8 & 8 3 & 72 & 3 8 & 8 & 27 end {smallmatrix}} right]}$

Počet prvků k-face (f-vektory ) lze odečíst po úhlopříčce. Počet prvků každé k-plochy je v řadách pod úhlopříčkou. Počet prvků každé k-figury je v řádcích nad úhlopříčkou.

L3		k-tvář	Fk	F0	F1	F2	k- obr	Poznámky
L2		( )	F0	27	8	8	3{3}3	L3/ L.2 = 27*4!/4! = 27
L1L1		3{ }	F1	3	72	3	3{ }	L3/ L.1L1 = 27*4!/9 = 72
L2		3{3}3	F2	8	8	27	( )	L3/ L.2 = 27*4!/4! = 27

snímky

Jedná se o 8 symetrických ortografických projekcí, některé s překrývajícími se vrcholy, zobrazenými barvami. Zde je 72 trojúhelníkových hran vykresleno jako 3 samostatné hrany.

Coxeterovo letadlo pravopisné projekce

E6 [12]	Aut (E6) [18/2]	D5 [8]	D4 / A2 [6]
(1 = červená, 3 = oranžová)	(1)	(1,3)	(3,9)
B6 [12/2]	A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
(1,3)	(1,3)	(1,2)	(1,4,7)

Související komplexní mnohostěn

Double Hessian mnohostěn
Schläfliho symbol	2{4}3{3}3
Coxeterův diagram
Tváře	72 2{4}3
Hrany	216 {}
Vrcholy	54
Petrie polygon	Octadecagon
van Oss polygon	{6}
Shephardova skupina	M3 = 3[3]3[4]2, objednávka 1296
Duální mnohostěn	Rektifikovaný pytlovitý mnohostěn, 3{3}3{4}2
Vlastnosti	Pravidelný

The Pytlovina mnohostěn lze chápat jako alternaci , = . Tento dvojitý pytlovitý mnohostěn má 54 vrcholů, 216 jednoduchých hran a 72 tváře. Jeho vrcholy představují spojení vrcholů a jeho dvojí .

Své komplexní reflexní skupina je ₃[3]₃[4]₂nebo , objednávka 1296. Má 54 kopií , pořadí 24, u každého vrcholu. Má 24 odrazů řádu 3 a 9 odrazů řádu 2. Své číslo coxeteru je 18, se stupni základních invariantů 6, 12 a 18, které lze vidět v projektivní symetrii polytopů.

Coxeter poznamenal, že tři složité polytopy , , připomínají skutečné čtyřstěn (), krychle (), a osmistěn (). Hessian je analogický se čtyřstěnem, stejně jako kostka je a dvojitý čtyřstěn a osmistěn jako usměrněný čtyřstěn. V obou sadách vrcholy první patří ke dvěma dvojicím dvojice druhé a vrcholy třetí jsou ve středu okrajů druhé.^[4]

Jeho skutečné znázornění 54 vrcholů obsahuje dva 2₂₁ polytopes v symetrických konfiguracích: a . Jeho vrcholy lze také vidět v dvojím mnohostěnu 1₂₂.

Konstrukce

Prvky lze vidět v a konfigurační matice:

M3		k-tvář	Fk	F0	F1	F2	k- obr	Poznámky
L2		( )	F0	54	8	8	3{3}3	M3/ L.2 = 1296/24 = 54
L1A1		{ }	F1	2	216	3	3{ }	M3/ L.1A1 = 1296/6 = 216
M2		2{4}3	F2	6	9	72	( )	M3/ M2 = 1296/18 = 72

snímky

Ortografické projekce

mnohostěn

mnohostěn s jednou tváří, 2{4}3 zvýrazněno modře

mnohostěn s 54 vrcholy, ve dvou 2 alternativních barvách

a , zde zobrazené s červenými a modrými vrcholy tvoří běžnou směs

Usměrněný pytlovitý mnohostěn

Usměrněný pytlovitý mnohostěn
Schläfliho symbol	3{3}3{4}2
Coxeterovy diagramy	nebo .
Tváře	54 3{3}3
Hrany	216 3{}
Vrcholy	72
Petrie polygon	Octadecagon
van Oss polygon	9 3{4}3
Shephardova skupina	M3 = 3[3]3[4]2, objednávka 1296 3[3]3[3]3, objednávka 648
Duální mnohostěn	Double Hessian mnohostěn 2{4}3{3}3
Vlastnosti	Pravidelný

The náprava, zdvojnásobuje symetrii jako běžný složitý mnohostěn s 72 vrcholy, 216 ₃{} hrany, 54 ₃{3}₃ tváře. Jeho vrcholná postava je ₃{4}₂a van oss polygon ₃{4}₃. Je to dvojí dvojitý pytlovitý mnohostěn.^[5]

Má skutečné zastoupení jako 1₂₂ mnohostěn, , sdílení 72 vrcholů. Jeho 216 3-hran lze nakreslit jako 648 jednoduchých hran, což je o 72 méně než 1₂₂720 hran.

nebo má 72 vrcholů, 216 3 hran a 54 3{3}3 tváře

s jednou modrou tváří, 3{3}3 zvýrazněno

s jedním z 9 van oss polygonů, 3{4}3, zvýrazněno

Konstrukce

Tyto prvky lze vidět ve dvou konfigurační matice, pravidelná a kvaziregulární forma.

M₃ = ₃[3]₃[4]₂ symetrie

M3		k-tvář	Fk	F0	F1	F2	k- obr	Poznámky
	( )	F0	72	9	6	3{4}2	M3/ M2 = 1296/18 = 72
L1A1		3{ }	F1	3	216	2	{ }	M3/ L.1A1 = 1296/3/2 = 216
L2		3{3}3	F2	8	8	54	( )	M3/ L.2 = 1296/24 = 54

L₃ = ₃[3]₃[3]₃ symetrie

L3		k-tvář	Fk	F0	F1	F2		k- obr	Poznámky
L1L1		( )	F0	72	9	3	3	3{ }×3{ }	L3/ L.1L1 = 648/9 = 72
L1		3{ }	F1	3	216	1	1	{ }	L3/ L.1 = 648/3 = 216
L2		3{3}3	F2	8	8	27	*	( )	L3/ L.2 = 648/24 = 27
				8	8	*	27

Reference

• Coxeter, H. S. M. a Moser, W. O. J .; Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny (1965), zejména s. 67–80.
• Coxeter, H. S. M.; Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, (1974).
• Coxeter, H. S. M. a Shephard, G.C .; Portréty rodiny složitých polytopů, Leonardo Svazek 25, č. 3/4, (1992), str. 239–244,