Witting polytope - Witting polytope

Witting polytope
Schläfliho symbol	3{3}3{3}3{3}3
Coxeterův diagram
Buňky	240 3{3}3{3}3
Tváře	2160 3{3}3
Hrany	2160 3{}
Vrcholy	240
Petrie polygon	30-gon
van Oss polygon	90 3{4}3
Shephardova skupina	L4 = 3[3]3[3]3[3]3, objednat 155 520
Duální mnohostěn	Self-dual
Vlastnosti	Pravidelný

Ve 4-dimenzionálním komplexu geometrie, Witting polytope je pravidelný složitý mnohostěn, pojmenovaný jako: ₃{3}₃{3}₃{3}₃, a Coxeterův diagram . Má 240 vrcholů, 2160 ₃{} hrany, 2160 ₃{3}₃ tváře a 240 ₃{3}₃{3}₃ buňky. Je to samo-duální. Každý vrchol patří k 27 hranám, 72 plochám a 27 buňkám, což odpovídá Pytlovina mnohostěn vrchol obrázek.

Symetrie

Jeho symetrie o ₃[3]₃[3]₃[3]₃ nebo , objednat 155 520.^[1] Má 240 kopií , objednejte 648 v každé buňce.^[2]

Struktura

The konfigurační matice je:^[3]${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 240 & 27 & 72 & 27 3 & 2160 & 8 & 8 8 & 8 & 2160 & 3 27 & 72 & 27 & 240 end {smallmatrix}} right]}$

Počet vrcholů, hran, ploch a buněk je vidět v úhlopříčce matice. Ty se počítají podle pořadí skupiny děleného podle pořadí podskupiny odstraněním určitých komplexních odrazů, které jsou níže znázorněny X. Počet prvků k-ploch je vidět v řadách pod úhlopříčkou. Počet prvků na vrcholovém obrázku atd. Je uveden v řádcích nad číslicemi.

L4		k-tvář	Fk	F0	F1	F2	F3	k-postava	Poznámky
L3		( )	F0	240	27	72	27	3{3}3{3}3	L4/ L.3 = 216*6!/27/4! = 240
L2L1		3{ }	F1	3	2160	8	8	3{3}3	L4/ L.2L1 = 216*6!/4!/3 = 2160
		3{3}3	F2	8	8	2160	3	3{ }
L3		3{3}3{3}3	F3	27	72	27	240	( )	L4/ L.3 = 216*6!/27/4! = 240

Souřadnice

Jeho 240 vrcholů má souřadnice v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {4}}$:

kde ${ displaystyle omega = { tfrac {-1 + i { sqrt {3}}} {2}}, lambda, nu, mu = 0,1,2}$.

Posledních 6 bodů tvoří šestihran díry na jednom ze svých 40 průměrů. Je jich 40 hyperplanes obsahují centrální ₃{3}₃{4}₂, postavy se 72 vrcholy.

Witting konfigurace

Coxeter to pojmenoval Alexander Witting za to, že Witting konfigurace ve složitém projektivním 3prostoru:^[4]

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 40 & 12 & 12 2 & 240 & 2 12 & 12 & 40 end {smallmatrix}} right]}$ nebo ${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 40 & 9 & 12 4 & 90 & 4 12 & 9 & 40 end {smallmatrix}} right]}$

Konfigurace Witting souvisí s konečným prostorem PG (3,2²), skládající se z 85 bodů, 357 linií a 85 letadel.^[5]

Související skutečný mnohostěn

Jeho 240 vrcholů je sdíleno se skutečným 8rozměrným polytopem 4₂₁, . Jeho 2160 3-hran je někdy nakresleno jako 6480 jednoduchých hran, což je o něco méně než 6720 hran 4₂₁. Rozdíl 240 tvoří 40 centrálních šestiúhelníků ve 4₂₁ jejichž hrany nejsou zahrnuty v ₃{3}₃{3}₃{3}₃.^[6]

Plást Wittingových polytopů

Pravidelný Wittingův polytop má ještě jednu další fázi jako a 4-rozměrný plástev, . Má Wittingův polytop jako své fazety i vrcholnou postavu. Je sebe-duální a jeho duální se shoduje sám se sebou.^[7]

Hyperplánové sekce tohoto plástu zahrnují trojrozměrné plástve .

Plást Wittingových polytopů má skutečné zastoupení jako 8rozměrný polytop 5₂₁, .

Své f-vektor Počty prvků jsou v poměru: 1, 80, 270, 80, 1.^[8] The konfigurační matice pro plástev je:

L5		k-tvář	Fk	F0	F1	F2	F3	F4	k-postava	Poznámky
L4		( )	F0	N	240	2160	2160	240	3{3}3{3}3{3}3	L5/ L.4 = N
L3L1		3{ }	F1	3	80N	27	72	27	3{3}3{3}3	L5/ L.3L1 = 80N
L2L2		3{3}3	F2	8	8	270N	8	8	3{3}3	L5/ L.2L2 = 270N
L3L1		3{3}3{3}3	F3	27	72	27	80N	3	3{}	L5/ L.3L1 = 80N
L4		3{3}3{3}3{3}3	F4	240	2160	2160	240	N	( )	L5/ L.4 = N

Poznámky

Reference

• Coxeter, H. S. M. a Moser, W. O. J .; Generátory a vztahy pro jednotlivé skupiny (1965), zejména s. 67–80.
• Coxeter, H. S. M.; Pravidelné složité polytopy, Cambridge University Press, druhé vydání (1991). s. 132–5, 143, 146, 152.
• Coxeter, H. S. M. a Shephard, G.C .; Portréty rodiny složitých polytopů, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), str. 239–244 [1]