Kvantovou informaci s nejvyšší rychlostí lze odeslat přes hlučný kvantový kanál
V teorii kvantová komunikace, kvantová kapacita je nejvyšší sazba kvantová informace lze sdělit mnoha nezávislými způsoby použití šumu kvantový kanál od odesílatele k příjemci. Rovná se také nejvyšší sazbě zapletení lze generovat přes kanál a dopředná klasická komunikace to nemůže zlepšit. Věta o kvantové kapacitě je pro teorii důležitá kvantová korekce chyb, a obecněji pro teorii kvantový výpočet. Věta dávající dolní mez kvantové kapacity jakéhokoli kanálu je hovorově známá jako věta LSD, po autorech Lloyd,[1] Shor,[2] a Devetak[3] který to dokázal s rostoucími standardy přísnosti.
Hašování směřující k Pauliho kanálům
Věta LSD uvádí, že soudržné informace a kvantový kanál je dosažitelná rychlost pro spolehlivou kvantovou komunikaci. Pro Pauli kanál, soudržné informace má jednoduchou formu[Citace je zapotřebí ] a důkaz, že je to možné, je obzvláště jednoduchý. My[SZO? ] dokázat teorém pro tento speciální případ využitím náhodného kódy stabilizátorů a oprava pouze pravděpodobných chyb, které kanál produkuje.
Teorém (hašování vázáno). Existuje stabilizátor kvantový kód opravující chyby který dosáhne limitu hashování
pro kanál Pauli v následující podobě:

kde
a
je entropie tohoto pravděpodobnostního vektoru.
Důkaz. Zvažte opravu pouze typických chyb. To znamená zvážit definicitypická sada chyb takto:

kde
je nějaká posloupnost skládající se z písmen
a
je pravděpodobnost, že kanál IID Pauli vydá nějakou chybu tenzorového produktu
. Tato typická sada se skládá z pravděpodobných chyb v tom smyslu

pro všechny
a dostatečně velký
. Podmínky pro opravu chyb[4] pro kód stabilizátoru
v tomto případě to tak je
je opravitelná sada chyb, pokud

pro všechny páry chyb
a
takhle
kde
je normalizátor z
. Zvažujeme také očekávání pravděpodobnosti chyby při náhodném výběru kódu stabilizátoru.
Postupujte následovně:

První rovnost následuje podle definice -
je funkce indikátoru rovna jedné, pokud
je neopravitelný pod
a jinak rovna nule. Následuje první nerovnost, protože opravujeme pouze typické chyby, protože sada atypických chyb má zanedbatelnou hmotnost pravděpodobnosti. Druhá rovnost následuje výměnou očekávání a součtu. Následuje třetí rovnost, protože očekávání funkce indikátoru je pravděpodobnost, že dojde k události, kterou vybere. Pokračujeme, máme





![leq 2 ^ {{2n left [H left ({ mathbf {p}} right) + delta right]}} 2 ^ {{- n left [H left ({ mathbf {p }} right) + delta right]}} 2 ^ {{- left (nk right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66ef32a3a3c843db144c53d693171fbb1678c69)
![= 2 ^ {{- n left [1-H left ({ mathbf {p}} right) -k / n-3 delta right]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d18ea4d6e07d8514ca12d5e74afba673ceacaf)
První rovnost vyplývá z podmínek opravy chyb pro kód kvantového stabilizátoru, kde
je normalizátorem
. První nerovnost následuje ignorováním jakékoli potenciální degenerace v kódu - považujeme chybu za neopravitelnou, pokud leží v normalizátoru
a pravděpodobnost může být pouze větší, protože
. Druhá rovnost následuje po uvědomění, že pravděpodobnosti pro kritérium existence a sjednocení událostí jsou ekvivalentní. Druhá nerovnost následuje uplatněním sjednocené vazby. Třetí nerovnost vyplývá ze skutečnosti, že pravděpodobnost pro pevný operátor
nerovná se dojíždění identity s operátory stabilizátoru náhodného stabilizátoru může být horní hranice takto:

Důvodem je, že náhodná volba kódu stabilizátoru je ekvivalentní operátorům fixace
, ...,
a provedení rovnoměrně náhodného Cliffordova unitáře. Pravděpodobnost, s níž pevný operátor dojíždí
, ...,
je pak jen počet operátorů neidentity v normalizátoru (
) děleno celkovým počtem neidentitujících operátorů (
). Po použití výše uvedené hranice pak využijeme následující hranice typičnosti:
![forall a ^ {{n}} in T _ {{ delta}} ^ {{{ mathbf {p}} ^ {{n}}}}: Pr left {E _ {{a ^ {{ n}}}} right } leq 2 ^ {{- n left [H left ({ mathbf {p}} right) + delta right]}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88fa7ba4f41c8d44846ab7dc2942ac7e2ed45044)
![left vert T _ {{ delta}} ^ {{{{ mathbf {p}} ^ {{n}}}} right vert leq 2 ^ {{n left [H left ({ mathbf {p}} right) + delta right]}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a1fc1a4da120eb26ec23eeb19bd9a79c291a41)
Dospěli jsme k závěru, že pokud sazba
, očekávání pravděpodobnosti chyby se stane libovolně malé, takže existuje alespoň jedna volba stabilizačního kódu se stejnou vazbou na pravděpodobnost chyby.
Viz také
Reference