Kvantový obvod - Quantum circuit

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Říjen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie kvantové informace, a kvantový obvod je Modelka pro kvantový výpočet ve kterém je výpočet posloupností kvantové brány, což jsou reverzibilní transformace na a kvantově mechanické analogový z n-bit Registrovat. Tato analogická struktura se označuje jako n-qubit Registrovat. Grafické znázornění prvků kvantového obvodu je popsáno pomocí varianty Penrosova grafická notace.

Oboustranné klasické logické brány

Elementární logické brány klasického počítače jiného než NENÍ brána, nejsou reverzibilní. Tak například pro A brána jeden nemůže vždy obnovit dva vstupní bity z výstupního bitu; například pokud je výstupní bit 0, nemůžeme z toho zjistit, zda jsou vstupní bity 0,1 nebo 1,0 nebo 0,0.

Reverzibilní brány v klasických počítačích jsou však snadno konstruovány pro bitové řetězce libovolné délky; navíc jsou ve skutečnosti praktického zájmu, protože nevratné brány musí vždy zvyšovat fyzickou hodnotu entropie. Reverzibilní brána je reverzibilní funkce na n-bitová data, která se vracejí n-bitová data, kde an n-bitová data jsou a tětiva bitů X₁,X₂, ...,X_n délky n. Sada n-bitová data jsou prostor {0,1}ⁿ, který se skládá ze 2ⁿ řetězce 0 a 1.

Přesněji: an n-bitová vratná brána je a bijektivní mapování F ze sady {0,1}ⁿ z n-bitová data na sebe. Příklad takové vratné brány F je mapování, které na své vstupy používá pevnou permutaci. Z důvodů praktického inženýrství se obvykle zkoumá brány pouze pro malé hodnoty n, např. n=1, n= 2 nebo n= 3. Tyto brány lze snadno popsat pomocí tabulek.

Kvantové logické brány

Definovat kvantové brány nejprve musíme určit kvantovou náhradu n-bitový údaj. The kvantovaná verze klasické n-bitový prostor {0,1}ⁿ je Hilbertův prostor

${ displaystyle H _ { operatorname {QB} (n)} = ell ^ {2} ( {0,1 } ^ {n}).}$

Toto je podle definice prostor funkcí se složitou hodnotou na {0,1}ⁿ a je přirozeně vnitřní produktový prostor. Tento prostor lze také považovat za sestávající z lineárních superpozic klasických bitových řetězců. Všimněte si, že H_{QB (n)} je vektorový prostor nad komplexním počtem dimenze 2ⁿ. Prvky tohoto prostoru se nazývají n- qubits.

Používání Dirac ket zápis, pokud X₁,X₂, ...,X_n je tedy klasický bitový řetězec

${ displaystyle | x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n} rangle quad}$

je speciální n-qubit odpovídající funkci, která mapuje tento klasický bitový řetězec na 1 a mapuje všechny ostatní bitové řetězce na 0; tyto 2ⁿ speciální n- volají se qubits stavy výpočetní báze. Všechno n-qubits jsou komplexní lineární kombinace těchto stavů výpočetní báze.

Kvantové logické brány jsou na rozdíl od klasických logických bran vždy reverzibilní. Jeden vyžaduje speciální druh reverzibilní funkce, jmenovitě a unitární mapování, to znamená lineární transformace komplexu vnitřní produktový prostor který zachovává Hermitovský vnitřní produkt. An n-qubitová (reverzibilní) kvantová brána je a jednotné mapování U z vesmíru H_{QB (n)} z n- qubits na sebe.

Obvykle nás zajímají pouze brány pro malé hodnoty n.

Reverzibilní n-bitová klasická logická brána vede k reverzibilitě n-bitová kvantová brána takto: ke každému reverzibilnímu n-bitová logická brána F odpovídá kvantové bráně Ž_F definováno takto:

${ displaystyle W_ {f} (| x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n} rangle) = | f (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n} ) rangle.}$

Všimněte si, že Ž_F permutuje stavy výpočetní báze.

Obzvláště důležitá je řízená brána NOT (také nazývaná CNOT brána) Ž_CNOT definováno na kvantovaném 2 qubit. Další příklady kvantových logických bran odvozených od klasických jsou Toffoli brána a Fredkinova brána.

Hilbert-prostorová struktura qubitů však umožňuje mnoho kvantových bran, která nejsou indukována klasickými. Například relativní fázový posun je brána 1 qubit daná vynásobením unitární maticí:

${ displaystyle U _ { theta} = { begin {bmatrix} e ^ {i theta} & 0 0 & 1 end {bmatrix}},}$

tak

${ displaystyle U _ { theta} | 0 rangle = e ^ {i theta} | 0 rangle quad U _ { theta} | 1 rangle = | 1 rangle.}$

Reverzibilní logické obvody

Znovu uvažujeme jako první reverzibilní klasický výpočet. Koncepčně neexistuje žádný rozdíl mezi reverzibilním n-bitový obvod a reverzibilní n-bitová logická brána: buď jedna je pouze invertibilní funkce v prostoru n bitová data. Jak však bylo uvedeno v předchozí části, z technických důvodů bychom chtěli mít malý počet jednoduchých vratných bran, které lze sestavit a sestavit jakýkoli reverzibilní obvod.

Abychom vysvětlili tento proces montáže, předpokládejme, že máme reverzibilní n-bitová brána F a reverzibilní m-bitová brána G. Dat je dohromady znamená vyrobit nový obvod připojením nějaké sady k výstupy z F k nějaké sadě k vstupy z G jako na obrázku níže. Na tomto obrázku n=5, k= 3 a m= 7. Výsledný obvod je také reverzibilní a pracuje dál n+m−k bity.

Na toto schéma budeme odkazovat jako na klasická montáž (Tento koncept odpovídá technické definici v průkopnické knize Kitaev uvedené níže). Při sestavování těchto reverzibilních strojů je důležité zajistit, aby byly také reverzibilní mezilehlé stroje. Tato podmínka to zajišťuje středně pokročilí „odpadky“ se nevytvářejí (čistým fyzickým efektem by bylo zvýšení entropie, což je jedna z motivací pro absolvování tohoto cvičení).

Nyní je možné ukázat, že Toffoli brána je univerzální brána. To znamená, že vzhledem k jakékoli reverzibilní klasice n-bitový obvod h, můžeme výše uvedeným způsobem zkonstruovat klasickou sestavu bran Toffoli, abychom vytvořili (n+m) -bitový obvod F takhle

${ displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}, underbrace {0, dots, 0}) = (y_ {1}, ldots, y_ {n}, underbrace {0, ldots, 0})}$

kde jsou m nedostatečně vyvážené nulované vstupy a

${ displaystyle (y_ {1}, ldots, y_ {n}) = h (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$.

Všimněte si, že konečný výsledek má vždy řetězec m nuly jako Ancilla bity. Nikdy se nevyrábí žádný „odpad“, a proto je tento výpočet skutečně takový, který ve fyzickém smyslu nevytváří žádnou entropii. Tato otázka je pečlivě diskutována v Kitaevově článku.

Obecněji řečeno, jakákoli funkce F (bijektivní nebo ne) lze simulovat okruhem bran Toffoli. Je zřejmé, že pokud mapování selže injekční, v určitém okamžiku simulace (například jako poslední krok) musí být vytvořen nějaký „odpad“.

Pro kvantové obvody lze definovat podobné složení bran qubit. To znamená, že je spojeno s jakýmkoli klasická montáž jak je uvedeno výše, můžeme vyrobit reverzibilní kvantový obvod, když místo F máme n- qubitová brána U a místo G máme m- qubitová brána Ž. Viz obrázek níže:

Skutečnost, že tímto způsobem spojuje brány, vede k jednotnému mapování n+m−k prostor qubit lze snadno zkontrolovat. Ve skutečném kvantovém počítači je fyzické spojení mezi branami hlavní výzvou pro inženýry, protože je to jedno z míst, kde dekoherence může nastat.

Jsou tu také věty o univerzálnosti pro určité sady známých bran; taková věta o univerzálnosti existuje například pro dvojici skládající se z brány brány s jednou qubitovou fází U_θ výše (pro vhodnou hodnotu θ), spolu s 2-qubitem CNOT brána Ž_CNOT. Věta o univerzálnosti pro kvantový případ je však o něco slabší než ta pro klasický případ; tvrdí pouze, že jakýkoli reverzibilní n-qubitový obvod může být přibližný libovolně dobře obvody sestavenými z těchto dvou základních bran. Všimněte si, že existují nespočetně mnoho možných fázových bran s jednou qubitem, jedna pro každý možný úhel θ, takže nemohou být všechny reprezentovány konečným obvodem konstruovaným z {U_θ, Ž_CNOT}.

Kvantové výpočty

Doposud jsme neukázali, jak se kvantové obvody používají k provádění výpočtů. Protože mnoho důležitých numerických problémů se redukuje na výpočet jednotkové transformace U v prostoru konečných rozměrů (oslavovaný diskrétní Fourierova transformace je ukázkovým příkladem), dalo by se očekávat, že by mohl být navržen nějaký kvantový obvod k provedení transformace U. V zásadě je třeba pouze připravit n qubit state ψ jako vhodná superpozice stavů výpočetní báze pro vstup a měření výstupu Uψ. Bohužel s tím existují dva problémy:

• Jeden nemůže měřit fázi ψ v jakémkoli stavu výpočetní báze, takže neexistuje způsob, jak přečíst úplnou odpověď. To má povahu měření v kvantové mechanice.
• Neexistuje způsob, jak efektivně připravit vstupní stav ψ.

To nezabrání tomu, aby kvantové obvody pro diskrétní Fourierovu transformaci byly použity jako mezikroky v jiných kvantových obvodech, ale použití je jemnější. Ve skutečnosti jsou kvantové výpočty pravděpodobnostní.

Nyní poskytujeme matematický model, jak mohou kvantové obvody simulovatpravděpodobnostní ale klasické výpočty. Zvažte r-qubitový obvod U s registrovaným prostorem H_{QB (r)}. U je tedy jednotná mapa

${ displaystyle H _ { operatorname {QB} (r)} rightarrow H _ { operatorname {QB} (r)}.}$

Abychom mohli tento obvod spojit s klasickým mapováním na bitstrings, specifikujeme

• An vstupní registr X = {0,1}^m z m (klasické) bity.
• An výstupní registr Y = {0,1}ⁿ z n (klasické) bity.

Náplň X = X₁, ..., X_m klasického vstupního registru se nějakým způsobem inicializuje qubitregister. V ideálním případě by to bylo provedeno pomocí výpočetního základního stavu

${ displaystyle | { vec {x}}, 0 rangle = | x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {m}, underbrace {0, dots, 0} rangle,}$

kde jsou r-m nedostatečně vyvážené nulované vstupy. Tato dokonalá inicializace je nicméně zcela nereálná. Předpokládejme tedy, že inicializace je smíšený stav daný nějakým operátorem hustoty S který se blíží idealizovanému vstupu v nějaké vhodné metrice, např.

${ displaystyle operatorname {Tr} left ({ big |} | { vec {x}}, 0 rangle langle { vec {x}}, 0 | -S { big |} right) leq delta.}$

Podobně prostor výstupního registru souvisí s registrem qubit, a Ycenný pozorovatelný A. Všimněte si, že pozorovatelné v kvantové mechanice jsou obvykle definované mezery opatření oceňovaná projekcí na R; pokud se proměnná stane diskrétní, míra oceněná projekcí se sníží na afamily {E_λ} indexováno u některého parametru λ přesazeno na spočetnou množinu. Podobně, a Y cenný pozorovatelný, může být spojen s rodinou párových ortogonálních projekcí {E_y} indexováno podle prvků Y. takhle

${ displaystyle I = sum _ {y in Y} operatorname {E} _ {y}.}$

Vzhledem ke smíšenému stavu S, odpovídá míra pravděpodobnosti dne Ydána

${ displaystyle operatorname {Pr} {y } = operatorname {Tr} (S operatorname {E} _ {y}).}$

Funkce F:X → Y je vypočítán obvodemU:H_{QB (r)} → H_{QB (r)} do ε, pokud a jen pokud pro všechny bitové řetězce X délky m

${ displaystyle left langle { vec {x}}, 0 { big |} U ^ {*} operatorname {E} _ {F (x)} U { big |} { vec {x} }, 0 right rangle = left langle operatorname {E} _ {F (x)} U (| { vec {x}}, 0 rangle) { big |} U (| { vec {x}}, 0 rangle) right rangle geq 1- epsilon.}$

Nyní

${ displaystyle left | operatorname {Tr} (SU ^ {*} operatorname {E} _ {F (x)} U) - left langle { vec {x}}, 0 { big |} U ^ {*} operatorname {E} _ {F (x)} U { big |} { vec {x}}, 0 right rangle right | leq operatorname {Tr} ({ big |} | { vec {x}}, 0 rangle langle { vec {x}}, 0 | -S { big |}) | U ^ {*} operatorname {E} _ {F ( x)} U | leq delta}$

aby

${ displaystyle operatorname {Tr} (SU ^ {*} operatorname {E} _ {F (x)} U) geq 1- epsilon - delta.}$

Teorém. Pokud ε + δ <1/2, pak rozdělení pravděpodobnosti

${ displaystyle operatorname {Pr} {y } = operatorname {Tr} (SU ^ {*} operatorname {E} _ {y} U)}$

na Y lze použít k určení F(X) s libovolně malou pravděpodobností chyby většinovým vzorkováním, pro dostatečně velkou velikost vzorku. Konkrétně vezměte k nezávislé vzorky z rozdělení pravděpodobnosti na Y a vyberte hodnotu, na které se shodne více než polovina vzorků. Pravděpodobnost, že hodnota F(X) je vzorkováno více než k/ 2krát je minimálně

${ displaystyle 1-e ^ {- 2 gamma ^ {2} k},}$

kde γ = 1/2 - ε - δ.

Z toho vyplývá použití Černoff svázán.

Viz také

• Abstraktní indexová notace
• Diagramy momentu hybnosti (kvantová mechanika)
• Stav maticového produktu používá Penrosova grafická notace
• Spin sítě
• Stopový diagram

Reference

• Biham, Eli; Brassard, Gilles; Kenigsberg, Dan; Mor, Tal (2004), „Kvantové výpočty bez zapletení“, Teoretická informatika, 320 (1): 15–33, arXiv:quant-ph / 0306182, doi:10.1016 / j.tcs.2004.03.041, PAN  2060181.
• Freedman, Michael H.; Kitaev, Alexej; Larsen, Michael J.; Wang, Zhenghan (2003), „Topologický kvantový výpočet“, Bulletin of the American Mathematical Society, 40 (1): 31–38, arXiv:quant-ph / 0101025, doi:10.1090 / S0273-0979-02-00964-3, PAN  1943131.
• Hirvensalo, Mika (2001), Kvantové výpočtySérie Natural Computing, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-66783-0, PAN  1931238.
• Kitaev, A. Yu. (1997), „Kvantové výpočty: algoritmy a korekce chyb“, Uspekhi Mat. Nauk (v Rusku), 52 (6(318)): 53–112, Bibcode:1997RuMaS..52.1191K, doi:10.1070 / RM1997v052n06ABEH002155, PAN  1611329.
• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000), Kvantové výpočty a kvantové informace, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-63235-8, PAN  1796805.

externí odkazy

• Q-obvod je balíček maker pro kreslení kvantových obvodových diagramů v LaTeXu.
• Quantum Circuit Simulator (Davy Wybiral) editor kvantového obvodového diagramu a simulátor založený na prohlížeči.
• Hřiště kvantové výpočetní techniky prostředí kvantového skriptování založené na prohlížeči.
• Quirk - hračka s kvantovým obvodem editor kvantového obvodového diagramu a simulátor založený na prohlížeči.