Fréchetové nerovnosti - Fréchet inequalities

v pravděpodobnostní logika, Fréchetové nerovnosti, také známý jako Nerovnosti Boole – Fréchet, jsou pravidla implicitní v práci George Boole^[1]^[2] a výslovně odvozen Maurice Fréchet^[3]^[4] které určují kombinaci pravděpodobností o logické návrhy nebo Události logicky propojeny v spojky (A operace) nebo disjunkce (NEBO operace) jako v Booleovské výrazy nebo chyba nebo stromy událostí obyčejný v hodnocení rizik, inženýrský design a umělá inteligence. Tyto nerovnosti lze považovat za pravidla o tom, jak svázat výpočty zahrnující pravděpodobnosti bez předpokladu nezávislost nebo ve skutečnosti bez toho, aby závislost předpoklady vůbec. Fréchetské nerovnosti úzce souvisí s Boole – Bonferroni – Fréchetovy nerovnosti a do Fréchet hranice.

Li A_i jsou logické návrhy nebo Události, Fréchetovy nerovnosti jsou

Pravděpodobnost a logická spojka (&)

max (0, P (A₁) + P (A₂) + ... + P (A_n) − (n - 1)) ≤ P (A₁ & A₂ & ... & A_n) ≤ min (P (A₁), P (A₂), ..., P (A_n)),

Pravděpodobnost a logická disjunkce (∨)

max (P (A₁), P (A₂), ..., P (A_n)) ≤ P (A₁ ∨ A₂ ∨ ... ∨ A_n) ≤ min (1, P (A₁) + P (A₂) + ... + P (A_n)),

kde P () označuje pravděpodobnost události nebo tvrzení. V případě, že existují pouze dvě události, řekněme A a B, nerovnosti se zmenšují na

Pravděpodobnost logické spojky (&)

max (0, P (A) + P (B) - 1) ≤ P (A & B) ≤ min (P (A), P (B)),

Pravděpodobnost logické disjunkce (∨)

max (P (A), P (B)) ≤ P (A ∨ B) ≤ min (1, P (A) + P (B)).

Nerovnosti vázaly pravděpodobnosti dvou druhů společných událostí vzhledem k pravděpodobnostem jednotlivých událostí. Například pokud A je „má rakovinu plic" a B je „má mezoteliom", pak A & B je „má jak rakovinu plic, tak mezoteliom" a A ∨ B je „má rakovinu plic nebo mezoteliom nebo obě nemoci", a nerovnosti souvisí s riziky těchto událostí.

Všimněte si, že logické spojky jsou označovány různými způsoby v různých oblastech, včetně AND, &, ∧ a grafických AND-brány. Logické disjunkce jsou rovněž označeny různými způsoby, včetně OR, |, ∨ a graficky NEBO brány. Jsou-li události považovány za sady spíše než logické návrhy, set-teoretický verze nerovností Fréchet jsou

Pravděpodobnost průsečík událostí

max (0, P (A) + P (B) - 1) ≤ P (A ∩ B) ≤ min (P (A), P (B)),

Pravděpodobnost a svaz událostí

max (P (A), P (B)) ≤ P (A ∪ B) ≤ min (1, P (A) + P (B)).

Numerické příklady

Pokud je pravděpodobnost události A P (A) = A = 0,7 a pravděpodobnost události B je P (B) = b = 0,8, pak pravděpodobnost spojení, tj. společná událost A & B, je jistě v intervalu

P (A & B) ∈ [max (0, A + b - 1), min (A, b)]

= [max (0, 0,7 + 0,8-1), min (0,7, 0,8)]

= [0.5, 0.7].

Stejně tak pravděpodobnost disjunkce A ∨ B je určitě v intervalu

P (A ∨ B) ∈ [max (A, b), min (1, A + b)]

= [max (0,7; 0,8), min (1, 0,7 + 0,8)]

= [0.8, 1].

Tyto intervaly jsou v kontrastu s výsledky získanými z pravidel pravděpodobnost za předpokladu nezávislosti, kde je pravděpodobnost spojení P (A & B) = A × b = 0,7 × 0,8 = 0,56 a pravděpodobnost disjunkce je P (A ∨ B) = A + b − A × b = 0.94.

Když jsou mezní pravděpodobnosti velmi malé (nebo velké), Fréchetovy intervaly jsou silně asymetrické ohledně analogických výsledků za nezávislosti. Předpokládejme například, že P (A) = 0,000002 = 2 × 10⁻⁶ a P (B) = 0,000003 = 3 × 10⁻⁶. Potom Fréchetovy nerovnosti říkají, že P (A a B) je v intervalu [0, 2 × 10⁻⁶] a P (A ∨ B) je v intervalu [3 × 10⁻⁶, 5×10⁻⁶]. Pokud jsou A a B nezávislé, je pravděpodobnost A & B 6 × 10⁻¹² což je poměrně velmi blízko spodní meze (nuly) Fréchetova intervalu. Podobně je pravděpodobnost A ∨ B 4,999994 × 10⁻⁶, který je velmi blízko horní hranici Fréchetova intervalu. To je to, co ospravedlňuje aproximaci vzácných událostí^[5] často se používá v teorie spolehlivosti.

Důkazy

Důkazy jsou základní. Připomeňme, že P (A ∨ B) = P (A) + P (B) - P (A & B), což znamená P (A) + P (B) - P (A ∨ B) = P (A & B). Protože všechny pravděpodobnosti nejsou větší než 1, známe P (A ∨ B) ≤ 1, což znamená, že P (A) + P (B) - 1 ≤ P (A & B). Protože všechny pravděpodobnosti jsou také kladné, můžeme podobně říci 0 ≤ P (A & B), takže max (0, P (A) + P (B) - 1) ≤ P (A & B). To dává dolní mez spojky.

Chcete-li získat horní hranici, připomeňte si, že P (A & B) = P (A|B) P (B) = P (B|A) P (A). Protože P (A|B) ≤ 1 a P (B|A) ≤ 1, známe P (A & B) ≤ P (A) a P (A & B) ≤ P (B). Proto P (A & B) ≤ min (P (A), P (B)), což je horní hranice.

Nejlepší možná povaha těchto hranic vyplývá z pozorování, že jsou realizovány určitou závislostí mezi událostmi A a B. Srovnatelné hranice pro disjunkci jsou odvozeny podobně.

Rozšíření

Pokud jsou pravděpodobnostmi vstupu rozsahy intervalů, Fréchetovy vzorce stále fungují jako a analýza hranic pravděpodobnosti.Hailperin^[2] považoval za problém vyhodnocení pravděpodobnostních booleovských výrazů zahrnujících mnoho událostí ve složitých spojkách a disjunkcích.^[6]^[7] navrhli použití nerovností v různých aplikacích umělé inteligence a rozšířili pravidla tak, aby odpovídala různým předpokladům o závislosti mezi událostmi. Nerovnosti lze také zobecnit na jiné logické operace, včetně sudých modus ponens.^[6]^[8] Když jsou pravděpodobnosti vstupu charakterizovány rozdělení pravděpodobnosti, analogické operace, které zobecňují logické a aritmetické konvoluce bez předpokladů o závislosti mezi vstupy, lze definovat na základě souvisejícího pojmu Fréchet hranice.^[7]^[9]^[10]

Kvantové hranice Fréchet

Je zajímavé, že podobné hranice platí i v Kvantová mechanika v případě oddělitelné kvantové systémy a to zapletený státy tyto hranice porušují.^[11] Zvažte složený kvantový systém. Zejména se zaměřujeme na složený kvantový systém AB vytvořený dvěma konečnými subsystémy označenými jako A a B. Předpokládejme, že víme matice hustoty subsystému A, tj., ${ displaystyle rho ^ {A}}$ to je stopově jedna pozitivní určitá matice v ${ displaystyle mathbb {C} _ {h} ^ {n krát n}}$ (prostor Hermitovské matice dimenze ${ displaystyle n krát n}$ ) a matice hustoty subsystému B označeno jako ${ displaystyle rho ^ {B}.}$ Můžeme myslet na ${ displaystyle rho ^ {A}}$ a ${ displaystyle rho ^ {B}}$ jako marginální subsystémů A a B. Ze znalostí těchto marginálních chceme odvodit něco o kloub ${ displaystyle rho ^ {AB}}$ v ${ displaystyle mathbb {C} _ {h} ^ {nm krát nm}.}$ Omezujeme naši pozornost na kloub ${ displaystyle rho ^ {AB}}$ to jsou oddělitelný. Matice hustoty ve složeném systému je oddělitelná, pokud existuje ${ displaystyle p_ {k} geq 0, { rho _ {1} ^ {k} }}$ a ${ displaystyle { rho _ {2} ^ {k} }}$ což jsou smíšené stavy příslušných subsystémů tak, že

{ displaystyle rho ^ {AB} = součet _ {k} p_ {k} rho _ {1} ^ {k} otimes rho _ {2} ^ {k}}

kde

{ displaystyle sum _ {k} p_ {k} = 1.}

v opačném případě ${ displaystyle rho ^ {AB}}$ se nazývá zapletený stav.

Pro oddělitelné matice hustoty ${ displaystyle rho ^ {AB}}$ v ${ displaystyle mathbb {C} _ {h} ^ {nm krát nm}}$ následující Fréchet jako hranice platí:

{ displaystyle { begin {cases} rho ^ {AB} leq rho ^ {A} otimes I_ {m} rho ^ {AB} leq I_ {n} otimes rho ^ {B } [6pt] rho ^ {AB} geq rho ^ {A} otimes I_ {m} + I_ {n} otimes rho ^ {B} -I_ {nm} rho ^ { AB} gneq 0 end {cases}}}

Nerovnosti jsou maticové nerovnosti, ${ displaystyle otimes}$ označuje tenzorový produkt a ${ displaystyle I_ {x}}$ the matice identity dimenze ${ displaystyle x}$ . Je zřejmé, že výše uvedené nerovnosti jsou strukturně analogické s klasickými Fréchetovými mezemi logické konjunkce. Je také třeba si všimnout, že když matice ${ displaystyle rho ^ {A}, rho ^ {B}}$ a ${ displaystyle rho ^ {AB}}$ jsou omezeny na úhlopříčku, získáme klasické Fréchetovy hranice.

Horní mez je v Kvantové mechanice známá jako kritérium redukce pro matice hustoty; to bylo poprvé prokázáno^[12] a nezávisle formuloval.^[13] Dolní mez byla získána v^[11]^{:Věta A.16} který poskytuje Bayesovskou interpretaci těchto hranic.

Numerické příklady

Pozorovali jsme, když matice ${ displaystyle rho ^ {A}, rho ^ {B}}$ a ${ displaystyle rho ^ {AB}}$ jsou úhlopříčné, získáme klasické Fréchetovy hranice. Chcete-li to ukázat, zvažte opět předchozí numerický příklad:

{ displaystyle { begin {aligned} rho ^ {A} & = { text {diag}} (p_ {a}, p _ { bar {a}}) = { text {diag}} (0,7, 0.3) rho ^ {B} & = { text {diag}} (p_ {b}, p _ { bar {b}}) = { text {diag}} (0,8,0,2) end { zarovnaný}}}

pak máme:

{ displaystyle { begin {aligned} rho ^ {AB} & = { text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a { bar {b}}}, p _ {{bar {a} } b}, p _ {{ bar {a}} { bar {b}}}) leqslant rho ^ {A} otimes I_ {2} = { text {diag}} (0,7,0,7,0,3 , 0,3) rho ^ {AB} & = { text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a { bar {b}}}, p _ {{bar {a}} b}, p _ {{ bar {a}} { bar {b}}}) leqslant I_ {2} otimes rho ^ {B} = { text {diag}} (0,8,0,2,0,8,0,2) rho ^ {AB} & = { text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a { bar {b}}}, p _ {{ bar {a}} b}, p _ {{ bar {a}} { bar {b}}}) geqslant rho ^ {A} otimes I_ {2} + I_ {2} otimes rho ^ {B} -I_ {4} = { text {diag}} (0,5, -0,1,0,1, -0,5) rho ^ {AB} & = { text {diag}} (p_ {ab}, p_ {a { bar {b}}}, p _ {{ bar {a}} b}, p _ {{ bar {a}} { bar {b}}}) geqslant 0 end {zarovnáno}}}

což znamená:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} 0,5 & leqslant p_ {ab} leqslant 0,7 0 & leqslant p_ {a { bar {b}}} leqslant 0,2 0,1 & leqslant p _ {{ bar {a}} b} leqslant 0,3 0 & leqslant p _ {{ bar {a}} { bar {b}}} leqslant 0,2 end {zarovnáno}}}

Stojí za to zdůraznit zapletený státy porušují výše uvedené Fréchetovy hranice. Vezměme si například zapletenou matici hustoty (kterou nelze oddělit):

{ displaystyle rho ^ {AB} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}},}

který má mezní hodnotu

{ displaystyle rho ^ {A} = rho ^ {B} = { text {diag}} vlevo ({ tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {2}} vpravo ).}

Zapletené stavy nelze oddělit a lze to snadno ověřit

{ displaystyle { begin {cases} rho ^ {A} otimes I_ {m} - rho ^ {AB} ngeqslant 0 I_ {n} otimes rho ^ {B} - rho ^ { AB} ngeqslant 0 end {cases}}}

protože výsledné matice mají jednu zápornou vlastní hodnotu.

Další příklad porušení pravděpodobnostních mezí poskytuje slavný Bellova nerovnost: zapletené státy vykazují formu stochastický závislost silnější než nejsilnější klasická závislost: a ve skutečnosti porušují Fréchet jako hranice.

Viz také

Reference

^ Boole, G. (1854). Vyšetřování zákonů myšlení, na nichž jsou založeny matematické teorie logiky a pravděpodobnosti. Walton a Maberly, Londýn. Viz Booleovy „hlavní“ a „vedlejší“ limity konjunkce na straně 299.
^ ^A ^b Hailperin, T. (1986). Booleova logika a pravděpodobnost. Severní Holandsko, Amsterdam.
^ Fréchet, M. (1935). Généralisations du théorème des probabilités totales. Fundamenta Mathematicae 25: 379–387.
^ Fréchet, M. (1951). Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Annales de l'Université de Lyon. Sekce A: Mathématiques et astronomie 9: 53–77.
^ Collet, J. (1996). Několik poznámek k aproximaci vzácných událostí. Transakce IEEE na spolehlivost 45: 106–108.
^ ^A ^b Wise, B.P., a M. Henrion (1986). Rámec pro srovnání nejistých odvozovacích systémů s pravděpodobností. Nejistota v umělé inteligenci, editoval L.N. Kanal a J.F.Lemmer, Elsevier Science Publishers, B.V. North-Holland, Amsterdam.
^ ^A ^b Williamson, R.C. (1989). Pravděpodobnostní aritmetika. Disertační práce, University of Queensland.
^ Wagner, C.G. (2004). Modus tollens pravděpodobný. British Journal for the Philosophy of Science 55: 747–753.
^ Weisstein, Eric W. Fréchet hranice. MathWorld - webový zdroj Wolfram.
^ Rüschendorf, L. (1991). Fréchetovy hranice a jejich aplikace. Stránky 151–187 in Pokroky v rozdělení pravděpodobnosti s danými okraji, matematika a její aplikace 67, editoval G. Dall'Aglio, S. Kotz a G. Salinetti, Kluwer, Dordrecht.
^ ^A ^b Benavoli, A .; Facchini, A .; Zaffalon, M. (10. října 2016). „Kvantová mechanika: Bayesiánská teorie zobecněná na prostor hermitovských matic“. Fyzický přehled A. 94 (4): 1–27. arXiv:1605.08177. Bibcode:2016PhRvA..94d2106B. doi:10.1103 / PhysRevA.94.042106.
^ M. Horodecki a P. Horodecki (1999). "Kritérium redukce oddělitelnosti a limity pro třídu destilačních protokolů". Phys. Rev.A. 59: 4206. arXiv:quant-ph / 9708015. Bibcode:1999PhRvA..59.4206H. doi:10.1103 / PhysRevA.59.4206.
^ N. Cerf; et al. (1999). Msgstr "Kritérium redukce oddělitelnosti". Phys. Rev.A. 60: 898. arXiv:quant-ph / 9710001. Bibcode:1999PhRvA..60..898C. doi:10.1103 / PhysRevA.60.898.

[boole54-1] Boole, G. (1854). Vyšetřování zákonů myšlení, na nichž jsou založeny matematické teorie logiky a pravděpodobnosti. Walton a Maberly, Londýn. Viz Booleovy „hlavní“ a „vedlejší“ limity konjunkce na straně 299.

[hailperin86-2] A ^b Hailperin, T. (1986). Booleova logika a pravděpodobnost. Severní Holandsko, Amsterdam.

[frechet35-3] Fréchet, M. (1935). Généralisations du théorème des probabilités totales. Fundamenta Mathematicae 25: 379–387.

[frechet51-4] Fréchet, M. (1951). Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Annales de l'Université de Lyon. Sekce A: Mathématiques et astronomie 9: 53–77.

[5] Collet, J. (1996). Několik poznámek k aproximaci vzácných událostí. Transakce IEEE na spolehlivost 45: 106–108.

[wise&henrion86-6] A ^b Wise, B.P., a M. Henrion (1986). Rámec pro srovnání nejistých odvozovacích systémů s pravděpodobností. Nejistota v umělé inteligenci, editoval L.N. Kanal a J.F.Lemmer, Elsevier Science Publishers, B.V. North-Holland, Amsterdam.

[williamson89-7] A ^b Williamson, R.C. (1989). Pravděpodobnostní aritmetika. Disertační práce, University of Queensland.

[8] Wagner, C.G. (2004). Modus tollens pravděpodobný. British Journal for the Philosophy of Science 55: 747–753.

[9] Weisstein, Eric W. Fréchet hranice. MathWorld - webový zdroj Wolfram.

[10] Rüschendorf, L. (1991). Fréchetovy hranice a jejich aplikace. Stránky 151–187 in Pokroky v rozdělení pravděpodobnosti s danými okraji, matematika a její aplikace 67, editoval G. Dall'Aglio, S. Kotz a G. Salinetti, Kluwer, Dordrecht.

[benavoli2016-11] A ^b Benavoli, A .; Facchini, A .; Zaffalon, M. (10. října 2016). „Kvantová mechanika: Bayesiánská teorie zobecněná na prostor hermitovských matic“. Fyzický přehled A. 94 (4): 1–27. arXiv:1605.08177. Bibcode:2016PhRvA..94d2106B. doi:10.1103 / PhysRevA.94.042106.

[12] M. Horodecki a P. Horodecki (1999). "Kritérium redukce oddělitelnosti a limity pro třídu destilačních protokolů". Phys. Rev.A. 59: 4206. arXiv:quant-ph / 9708015. Bibcode:1999PhRvA..59.4206H. doi:10.1103 / PhysRevA.59.4206.

[13] N. Cerf; et al. (1999). Msgstr "Kritérium redukce oddělitelnosti". Phys. Rev.A. 60: 898. arXiv:quant-ph / 9710001. Bibcode:1999PhRvA..60..898C. doi:10.1103 / PhysRevA.60.898.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]