Kvantový konvoluční kód - Quantum convolutional code

Kvantové blokové kódy jsou užitečné v kvantové výpočty a v kvantová komunikace. Kódovací obvod pro velký blokový kód má obvykle vysokou složitost, i když ty pro moderní kódy mají nižší složitost.

Kvantová konvoluční teorie kódování nabízí jiné paradigma pro kódování kvantových informací. Konvoluční struktura je užitečná pro a kvantová komunikace scénář, kdy odesílatel vlastní proud qubits odeslat do přijímače. Kódovací obvod pro kvantový konvoluční kód má mnohem menší složitost než kódovací obvod potřebný pro velký blokový kód. Má také opakující se vzorec, takže stejná fyzická zařízení nebo stejné rutiny mohou manipulovat s proudem kvantové informace.

Kvantové konvoluční stabilizační kódy si těžce půjčují ze struktury jejich klasické protějšky. Kvantové konvoluční kódy jsou podobné, protože některé z qubitsů se vracejí zpět do opakovaného kódovacího unitáře a dávají kódu paměťovou strukturu jako u klasického konvolučního kódu. Kvantové kódy obsahují online kódování a dekódování qubitů. Tato funkce poskytuje kvantovým konvolučním kódům jak jejich nízkou složitost kódování a dekódování, tak jejich schopnost opravit větší soubor chyb než blokový kód s podobnými parametry.

Definice

Kód kvantového konvolučního stabilizátoru působí na a Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}},}$ což je počítatelně nekonečný tenzorový produkt dvourozměrného qubit Hilbertovy prostory indexováno přes celá čísla ≥ 0 ${ displaystyle left {{ mathcal {H}} _ {i} right } _ {i in mathbb {Z} ^ {+}}}$ :

{ displaystyle { mathcal {H}} = { displaystyle bigotimes limity _ {i = 0} ^ { infty}} { mathcal {H}} _ {i}.}

Sekvence ${ displaystyle mathbf {A}}$ z Pauliho matice ${ displaystyle left {A_ {i} right } _ {i in mathbb {Z} ^ {+}}}$ , kde

{ displaystyle mathbf {A} = { displaystyle bigotimes limity _ {i = 0} ^ { infty}} A_ {i},}

může působit na státy v ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ . Nechat ${ displaystyle Pi ^ { mathbb {Z} ^ {+}}}$ označuje množinu všech Pauliho sekvencí. Podpora ${ displaystyle left ( mathbf {A} right)}$ Pauliho sekvence ${ displaystyle mathbf {A}}$ je sada indexů položek v ${ displaystyle mathbf {A}}$ které se nerovnají identitě. Váha sekvence ${ displaystyle mathbf {A}}$ je velikost ${ displaystyle left vert { text {supp}} left ( mathbf {A} right) right vert}$ její podpory. Zpoždění del ${ displaystyle left ( mathbf {A} right)}$ sekvence ${ displaystyle mathbf {A}}$ je nejmenší index pro položku, která se nerovná identitě. Stupeň deg ${ displaystyle left ( mathbf {A} right)}$ sekvence ${ displaystyle mathbf {A}}$ je největší index pro položku, která se nerovná identitě. Například následující Pauliho sekvence

{ displaystyle { begin {pole} {cccccccc} I & X & I & Y & Z & I & I & cdots end {array}},}

má podporu ${ displaystyle left {1,3,4 right }}$ , váha tři, zpoždění jedna a stupeň čtyři. Sekvence má konečnou podporu, pokud je její váha konečná. Nechat ${ displaystyle F ( Pi ^ { mathbb {Z} ^ {+}})}$ označuje množinu Pauliho sekvencí s konečnou podporou. Následující definice kvantového konvolučního kódu využívá sadu ${ displaystyle F ( Pi ^ { mathbb {Z} ^ {+}})}$ v jeho popisu.

Sazba ${ displaystyle k / n}$ -konvoluční stabilizační kód s ${ displaystyle 0 leq k leq n}$ je dojíždějící sada ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ ze všech ${ displaystyle n}$ - qubitové posuny základní generátorové soustavy ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0}}$ . Základní generátorová soustava ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0}}$ má ${ displaystyle n-k}$ Pauliho sekvence konečné podpory:

{ displaystyle { mathcal {G}} _ {0} = left { mathbf {G} _ {i} in F ( Pi ^ { mathbb {Z} ^ {+}}): 1 leq i leq nk right }.}

Délka omezení ${ displaystyle nu}$ kódu je maximální stupeň generátorů v ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0}}$ . Rámec kódu se skládá z ${ displaystyle n}$ qubits.

Kvantový konvoluční kód připouští ekvivalentní definici, pokud jde o zpožďovací transformaci nebo ${ displaystyle D}$ -přeměnit. The ${ displaystyle D}$ -transform zachytí posuny základní generátorové sady ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0}}$ . Pojďme definovat ${ displaystyle n}$ - operátor zpoždění qubit ${ displaystyle D}$ působící na jakoukoli Pauliho sekvenci ${ displaystyle mathbf {A} in Pi ^ { mathbb {Z} ^ {+}}}$ jak následuje:

{ displaystyle D left ( mathbf {A} right) = I ^ { otimes n} otimes mathbf {A.}}

Můžeme psát ${ displaystyle j}$ opakované aplikace ${ displaystyle D}$ jako síla ${ displaystyle D}$ :

{ displaystyle D ^ {j} left ( mathbf {A} right) = I ^ { otimes jn} otimes mathbf {A.}}

Nechat ${ displaystyle D ^ {j} left ({ mathcal {G}} _ {0} right)}$ být množinou posunů prvků ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {0}}$ podle ${ displaystyle j}$ . Pak plný stabilizátor ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ pro konvoluční stabilizační kód je

{ displaystyle { mathcal {G}} = { textstyle bigcup limits _ {j in mathbb {Z} ^ {+}}} D ^ {j} left ({ mathcal {G}} _ {0} vpravo).}

Úkon

Fungování kódu konvolučního stabilizátoru je následující. Protokol začíná tím, že odesílatel kóduje proud qubitů pomocí online kódovacího obvodu, jaký je uveden v (Grassl a Roetteler 2006). Kódovací obvod je online pokud působí na několik bloků qubits najednou. Odesílatel vysílá sadu qubitů, jakmile je první unitární zpracování dokončí. Přijímač měří všechny generátory ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ a opravuje chyby, když přijímá online kódované qubity. Nakonec dekóduje kódované qubity dekódovacím obvodem. Qubits dekódované z tohoto konvolučního postupu by měly být bezchybné a připravené na kvantový výpočet na přijímacím konci.

A konečná hloubka obvod mapuje Pauliho sekvenci s konečnou váhou na sekvenci s konečnou váhou (Ollivier a Tillich 2004). Nemapuje Pauliho sekvenci s konečnou váhou na sekvenci s nekonečnou váhou. Tato vlastnost je důležitá, protože nechceme, aby dekódovací obvod šířil nekorigované chyby do toku informačních qubitů (Johannesson a Zigangirov 1999). Dekódovací obvod konečné hloubky odpovídající stabilizátor ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ existuje podle algoritmu uvedeného v (Grassl a Roetteler 2006).

Příklad

Forney a kol. poskytl příklad kvantového konvolučního kódu s rychlostí 1/3 importem konkrétního klasického kvartérního konvolučního kódu (Forney a Guha 2005). Grassl a Roetteler určili nekatastrofický kódovací obvod pro kvantový konvoluční kód Forney et al. S rychlostí 1/3 (Grassl a Roetteler 2006). Základní stabilizátor a jeho první posun jsou následující:

{ Displaystyle cdots { begin {pole} {| CCC | CCC | CCC | CCC | CCC |} I I I X X X X Z & Y I I I I I I i-i-i-Z & z & z & z & Y x I I I I I I I I I I I I X X X X Z & Y I I I I I I I I I & z & z & z & z & Y a X I I I end {array}} cdots}

Kód se skládá ze všech tříbitových posunů výše uvedených generátorů. Svislé pruhy jsou vizuální pomůckou pro ilustraci posunů základních generátorů o tři qubity. Kód může opravit libovolnou chybu s jedním qubitem v každém druhém rámci.

Rozšíření

Wilde a Brun integrovali teorii kódy stabilizátoru podporované zapletením a kvantové konvoluční kódy v řadě článků (Wilde a Brun 2007a, 2007b, 2008, 2009), které tvoří teorii kvantového konvolučního kódování podporovaného zapletením. Tato teorie předpokládá, že odesílatel a příjemce sdílejí bezhlučný bipartit zapletení které mohou využít k ochraně proudu kvantových informací.

(Wilde 2009), navazující na práci (Ollivier a Tillich 2004) a (Grassl a Roetteler 2006), také ukázali, jak kódovat tyto kódy pomocí obvodů kvantového posuvného registru, přirozeného rozšíření teorie klasiky posuvný registr obvodů.

Reference

Ollivier, Harold; Tillich, Jean-Pierre (2003). Msgstr "Popis kvantového konvolučního kódu". Dopisy o fyzické kontrole. 91 (17): 177902. arXiv:quant-ph / 0304189. Bibcode:2003PhRvL..91q7902O. doi:10.1103 / PhysRevLett.91.177902. PMID 14611378. S2CID 17261900.
Ollivier, H .; Tillich, J. -P. (2004). "Kvantové konvoluční kódy: Základy". arXiv:quant-ph / 0401134. Bibcode:2004quant.ph..1134O. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Forney, G. David (2005). Msgstr "Jednoduché konvoluční rychlosti a 3/3 kódů pro korekci kvantové chyby v ocasu". Řízení. Mezinárodní symposium o teorii informací, 2005. ISIT 2005. str. 1028–1032. arXiv:quant-ph / 0501099. doi:10.1109 / ISIT.2005.1523495. ISBN 0-7803-9151-9. S2CID 14484674.
David Forney, G. David; Grassl, Markus; Guha, Saikat (2007). "Konvoluční a kvantové kódy pro korekci chyb v ocasu". Transakce IEEE na teorii informací. 53 (3): 865–880. arXiv:quant-ph / 0511016. doi:10.1109 / TIT.2006.890698. S2CID 546490.
M. Grassl a M. Roetteler, „Kvantové konvoluční kódy: kodéry a strukturní vlastnosti“, ve Forty-Fourth Annual Allerton Conference, 2006. Dostupné na http://www.csl.illinois.edu/allerton/archives/allerton06/PDFs/papers/0285.pdf^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
Grassl, Markus; Rotteler, Martin (2006). „Nekatastrofické kodéry a převody kodérů pro kvantové konvoluční kódy“. 2006 IEEE International Symposium on Information Theory. str. 1109–1113. arXiv:quant-ph / 0602129. doi:10.1109 / ISIT.2006.261956. ISBN 1-4244-0505-X. S2CID 1442.
R. Johannesson a K. S. Zigangirov, Základy konvolučního kódování. Wiley-IEEE Press, 1999.
Wilde, Mark M .; Krovi, Hari; Brun, Todd A. (2010). "Konvoluční zapletená destilace". 2010 IEEE International Symposium on Information Theory. 2657–2661. arXiv:0708.3699. doi:10.1109 / ISIT.2010.5513666. ISBN 978-1-4244-7892-7. S2CID 2409176.
Wilde, Mark M .; Brun, Todd A. (2010). "Kvantové konvoluční kódování podporované zapletením". Fyzický přehled A. 81 (4): 042333. arXiv:0712.2223. Bibcode:2010PhRvA..81d2333W. doi:10.1103 / PhysRevA.81.042333. S2CID 8410654.
Wilde, Mark M .; Brun, Todd A. (2010). "Kvantové konvoluční kódování se společným zapletením: Obecná struktura". Kvantové zpracování informací. 9 (5): 509–540. arXiv:0807.3803. doi:10.1007 / s11128-010-0179-9. S2CID 18185704.
Wilde, Mark M. (2008). "Kvantové kódování se zapletením". arXiv:0806.4214. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Wilde, Mark M .; Brun, Todd A. (2009). "Extra sdílené zapletení snižuje nároky na paměť v kvantovém konvolučním kódování". Fyzický přehled A. 79 (3): 032313. arXiv:0812.4449. Bibcode:2009PhRvA..79c2313W. doi:10.1103 / PhysRevA.79.032313. S2CID 67826844.
Wilde, Mark M. (2009). "Obvody kvantového posuvného registru". Fyzický přehled A. 79 (6): 062325. arXiv:0903.3894. Bibcode:2009PhRvA..79f2325W. doi:10.1103 / PhysRevA.79.062325. S2CID 56351003.

Další čtení

Publikace

Houshmand, Monireh; Wilde, Mark M. (2013). „Rekurzivní kvantové konvoluční kodéry jsou katastrofické: jednoduchý důkaz“. Transakce IEEE na teorii informací. 59 (10): 6724–6731. arXiv:1209.0082. doi:10.1109 / TIT.2013.2272932. S2CID 15309497.
Lai, Ching-Yi; Hsieh, Min-Hsiu; Lu, Hsiao-Feng (2016). „Na počítačích Mac Williams Totožnost klasických a kvantových konvolučních kódů ". Transakce IEEE na komunikaci. 64 (8): 3148–3159. arXiv:1404.5012. doi:10.1109 / TCOMM.2016.2585641. S2CID 7123143.
Poulin, David; Tillich, Jean-Pierre; Ollivier, Harold (2007). "Kvantové sériové turbo kódy". arXiv:0712.2888. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Djordjevic, Ivan (2012). Zpracování kvantové informace a korekce kvantové chyby: technický přístup. Akademický tisk. ISBN 9780123854919.
Brun, Todd A. (2013). Lidar, Daniel A .; Brun, Todd A. (eds.). Korekce kvantové chyby. Cambridge University Press. arXiv:1910.03672. ISBN 9780521897877.