Holevosova věta - Holevos theorem - Wikipedia

Holevova věta je důležitá omezující věta v kvantové výpočty, interdisciplinární obor fyzika a počítačová věda. Někdy se tomu říká Holevo je svázaný, protože zakládá horní hranice na množství informací, které lze o a kvantový stav (přístupné informace). To bylo publikováno Alexander Holevo v roce 1973.

Přístupné informace

Pokud jde o několik konceptů v teorii kvantové informace, přístupné informace je nejlépe pochopit, pokud jde o komunikaci dvou stran. Představujeme tedy dvě strany, Alice a Bob. Alice má klasický náhodná proměnná X, který může nabývat hodnot {1, 2, ..., n} s odpovídajícími pravděpodobnostmi {p₁, p₂, ..., p_n}. Alice pak připraví a kvantový stav, zastoupená matice hustoty ρ_X vybráno ze sady {ρ₁, ρ₂, ... ρ_n} a dává tento stav Bobovi. Bobovým cílem je najít hodnotu X, a za tímto účelem provede a měření na stát ρ_X, získání klasického výsledku, který označujeme Y. V této souvislosti množství přístupných informací, tj. Množství informací, které může Bob získat o proměnné X, je maximální hodnota vzájemné informace Já(X : Y) mezi náhodnými proměnnými X a Y přes všechna možná měření, která Bob může udělat.^[1]

V současné době neexistuje žádný známý vzorec pro výpočet přístupných informací. Existuje však několik horních mezí, z nichž nejznámější je vazba Holevo, která je uvedena v následující větě.^[1]

Výrok věty

Nechť {ρ₁, ρ₂, ..., ρ_n} být množina smíšených států a nechat ρ_X být jedním z těchto stavů nakreslených podle rozdělení pravděpodobnosti P = {p₁, p₂, ..., p_n}.

Pak pro každé měření popsané v POVM elementy {E_Y} a hrál na ${ displaystyle rho = součet _ {X} p_ {X} rho _ {X}}$, množství přístupných informací o proměnné X znát výsledek Y měření je shora omezeno takto:

${ displaystyle I (X: Y) leq S ( rho) - součet _ {i} p_ {i} S ( rho _ {i})}$

kde ${ displaystyle rho = součet _ {i} p_ {i} rho _ {i}}$ a ${ displaystyle S ( cdot)}$ je von Neumannova entropie.

Množství na pravé straně této nerovnosti se nazývá Informace o společnosti Holevo nebo Holevo χ Množství:

${ displaystyle chi: = S ( rho) - součet _ {i} p_ {i} S ( rho _ {i})}$.

Důkaz

Důkaz lze předložit pomocí tří kvantových systémů, tzv ${ displaystyle P, Q, M}$. ${ displaystyle P}$ lze intuitivně považovat za příprava, ${ displaystyle Q}$ lze považovat za kvantový stav připravený Alicí a daný Bobovi a ${ displaystyle M}$ lze považovat za Bobův měřicí přístroj.

Složený systém ${ displaystyle P otimes Q otimes M}$ na začátku je ve stavu

${ displaystyle rho ^ {PQM}: = součet _ {x} p_ {x} | x rangle langle x | otimes rho _ {x} otimes | 0 rangle langle 0 |}$

Alicin stát ${ displaystyle P}$ lze považovat za Alici, která má tu hodnotu ${ displaystyle x}$ pro náhodnou proměnnou ${ displaystyle X}$. Pak stav přípravy je smíšený stav popsal matice hustoty ${ displaystyle sum _ {x} p_ {x} | x rangle langle x |}$a kvantový stav daný Bobovi je ${ displaystyle sum _ {x} p_ {x} rho _ {x}}$a Bob měřicí zařízení je v jeho počáteční nebo zbytek Stát ${ displaystyle | 0 rangle}$Využití známých výsledků kvantové teorie informace^{[je zapotřebí objasnění ]} lze to ukázat

${ displaystyle S (P '; M') leq S (P; Q)}$

který, po nějaké algebraické manipulaci, může být prokázáno, že je ekvivalentní s tvrzením věty.^[1]

Připomínky a poznámky

V podstatě to vazba Holevo dokazuje n qubits, i když mohou „nést“ větší množství (klasických) informací (díky kvantové superpozici), množství klasických informací, které lze vyvolány, tj. přístupné, může být jen do n klasický (nekvantově kódovaný) bity. To je překvapivé, a to ze dvou důvodů: (1) kvantové výpočty jsou tak často výkonnější než klasické výpočty, že výsledky, které ukazují, že jsou stejně dobré nebo nižší než běžné techniky, jsou neobvyklé, a (2) protože ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ komplexní čísla kódovat qubits, které představují pouhé n bity.

Poznámky pod čarou

Viz také

• Superhusté kódování

Reference

• Holevo, Alexander S. (1973). "Meze pro množství informací přenášených kvantovým komunikačním kanálem". Problémy přenosu informací. 9: 177–183.
• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). Kvantové výpočty a kvantové informace. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-63235-5. OCLC  43641333. (viz strana 531, pododdíl 12.1.1 - rovnice (12.6))
• Wilde, Mark M. (2011). „Od klasické po kvantovou Shannonovu teorii“. arXiv:1106.1445v2 [kvant. ph ].CS1 maint: ref = harv (odkaz). Viz zejména oddíl 11.6 a následující. Holevova věta je prezentována jako cvičení 11.9.1 na straně 288.