Korekce kvantové chyby - Quantum error correction

Korekce kvantové chyby (QEC) se používá v kvantové výpočty chránit kvantová informace z chyb způsobených dekoherence a další kvantový šum. Kvantová korekce chyb je nezbytná, má-li se dosáhnout kvantového výpočtu odolného vůči chybám, který si poradí nejen se šumem uložených kvantových informací, ale také s chybnými kvantovými hradly, chybnou kvantovou přípravou a chybnými měřeními.

Klasický oprava chyb zaměstnává nadbytek. Nejjednodušším způsobem je informace uložit několikrát a - pokud se později zjistí, že tyto kopie nesouhlasí - stačí hlasovat většinou; např. Předpokládejme, že kopírujeme trochu třikrát. Předpokládejme dále, že hlučná chyba poškodí tříbitový stav, takže jeden bit je roven nule, ale další dva jsou rovny jednomu. Pokud předpokládáme, že hlučné chyby jsou nezávislé a vyskytují se s určitou pravděpodobností p, je s největší pravděpodobností chybou jednobitová chyba a přenášená zpráva jsou tři. Je možné, že dojde k dvojbitové chybě a přenášená zpráva se bude rovnat třem nulám, ale tento výsledek je méně pravděpodobný než výše uvedený výsledek.

Kopírování kvantových informací není možné kvůli věta o klonování. Zdá se, že tato věta představuje překážku pro formulaci teorie kvantové korekce chyb. Ale je to možné šíření informace o jednom qubit do velmi zapleteného stavu několika (fyzický) qubits. Peter Shor poprvé objevil tuto metodu formulování a kód opravující kvantovou chybu ukládáním informací jednoho qubitu do vysoce zapleteného stavu devíti qubitů. Kód opravující kvantovou chybu chrání kvantovou informaci před chybami v omezené formě.

Kódy pro klasickou opravu chyb používají a měření syndromu diagnostikovat, která chyba poškodí kódovaný stav. Poté chybu zvrátíme použitím korekční operace založené na syndromu. Korekce kvantové chyby také využívá měření syndromu. Provádíme multi-qubitové měření, které neruší kvantové informace v kódovaném stavu, ale načte informace o chybě. Měření syndromu může určit, zda byl qubit poškozen, a pokud ano, který. A co víc, výsledek této operace ( syndrom) nám říká nejen to, který fyzický qubit byl ovlivněn, ale také, jakým z několika možných způsobů byl ovlivněn. Ten je na první pohled protiintuitivní: Protože hluk je libovolný, jak může být účinek hluku jednou z mála odlišných možností? Ve většině kódů je efekt buď trochu převrácený, nebo znaménko ( fáze ) otočit, nebo obojí (odpovídá Pauliho matice X, Z, a Y). Důvodem je, že měření syndromu má projektivní účinek a kvantové měření. Takže i když byla chyba způsobená šumem libovolná, lze ji vyjádřit jako a superpozice z základ operace - chybový základ (který je zde dán Pauliho maticemi a identita ). Měření syndromu „nutí“ qubita „rozhodnout se“ pro určitou „Pauliho chybu“, aby „se stalo“, a syndrom nám říká, které, abychom mohli nechat stejného operátora Pauliho znovu působit na poškozený qubit, aby se vrátil účinek chyby.

Měření syndromu nám říká co nejvíce o chybě, která se stala, ale nic vůbec o hodnota který je uložen v logickém qubitu - protože jinak by měření zničilo všechny kvantová superpozice tohoto logického qubitu s ostatními qubity v kvantový počítač.

Bitový flip kód

The opakovací kód funguje v klasickém kanálu, protože klasické bity se snadno měří a opakují. To přestane platit pro kvantový kanál, ve kterém kvůli věta o klonování, již není možné opakovat jeden qubit třikrát. Abychom to překonali, použijeme jinou metodu, například tzv tříbitový bitový flip kód, musí být použito. Tato technika používá zapletení a syndromu a je výkonově srovnatelný s opakovacím kódem.

Zvažte situaci, ve které chceme přenést stav jediného qubitu ${ displaystyle vert psi rangle}$ přes hlučný kanál ${ displaystyle { mathcal {E}}}$. Předpokládejme navíc, že ​​tento kanál s pravděpodobností převrátí stav qubitu ${ displaystyle p}$, nebo ji ponechá beze změny. Akce ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ na obecný vstup ${ displaystyle rho}$ lze tedy psát jako ${ displaystyle { mathcal {E}} ( rho) = (1-p) rho + p X rho X}$.

Nechat ${ displaystyle | psi rangle = alpha _ {0} | 0 rangle + alpha _ {1} | 1 rangle}$ být kvantový stav, který se má přenášet. Bez zavedeného protokolu pro opravu chyb bude vysílaný stav správně přenesen s pravděpodobností ${ displaystyle 1-p}$. Toto číslo však můžeme vylepšit o kódování stav do většího počtu qubitů, takovým způsobem, že chyby v odpovídajících logické qubits lze detekovat a opravit. V případě jednoduchého tříbitového opakovacího kódu kódování spočívá v mapování ${ displaystyle vert 0 rangle rightarrow vert 0_ {L} rangle equiv vert 000 rangle}$ a ${ displaystyle vert 1 rangle rightarrow vert 1_ {L} rangle equiv vert 111 rangle}$. Stav vstupu ${ displaystyle vert psi rangle}$ je zakódován do stavu ${ displaystyle vert psi ' rangle = alpha _ {0} vert 000 rangle + alpha _ {1} vert 111 rangle}$. Toto mapování lze realizovat například pomocí dvou bran CNOT, zapletení systému dvěma pomocnými qubits inicializovanými ve stavu ${ displaystyle vert 0 rangle}$.^[1] Zakódovaný stav ${ displaystyle vert psi ' rangle}$ je to, co nyní prochází hlučným kanálem.

Kanál jedná ${ displaystyle vert psi ' rangle}$ převrácením některé podmnožiny (případně prázdné) jejích qubits. S pravděpodobností se neobjeví žádný qubit ${ displaystyle (1-p) ^ {3}}$, jeden qubit je převrácen s pravděpodobností ${ displaystyle 3p (1-p) ^ {2}}$, dva qubits jsou převráceny s pravděpodobností ${ displaystyle 3p ^ {2} (1-p)}$a všechny tři qubity jsou převráceny s pravděpodobností ${ displaystyle p ^ {3}}$. Všimněte si, že zde je vytvořen další předpoklad o kanálu: předpokládáme to ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ působí stejně a nezávisle na každém ze tří qubitů, ve kterých je nyní kódován stav. Nyní je problém, jak takové chyby detekovat a opravit, aniž by současně došlo k poškození přenášeného stavu.

Předpokládejme to pro jednoduchost ${ displaystyle p}$ je dostatečně malá na to, aby byla pravděpodobnost převrácení více než jednoho qubitu zanedbatelná. Jeden pak může zjistit, zda byl qubit převrácen, bez dotazování na přenášené hodnotydotazem, zda se jeden z qubits liší od ostatních. To odpovídá provedení měření se čtyřmi různými výsledky, což odpovídá následujícím čtyřem projektivním měřením:

Toho lze dosáhnout například měřením ${ displaystyle Z_ {1} Z_ {2}}$ a pak ${ displaystyle Z_ {2} Z_ {3}}$. To odhaluje, které qubits se liší od ostatních, aniž by současně poskytovaly informace o stavu samotných qubits. Pokud výsledek odpovídá ${ displaystyle P_ {0}}$ je získána, není použita žádná korekce, zatímco pokud výsledek odpovídá ${ displaystyle P_ {i}}$ je pozorována, pak je brána Pauli X aplikována na ${ displaystyle i}$-tý qubit. Formálně tento opravný postup odpovídá aplikaci následující mapy na výstup kanálu: Všimněte si, že i když tento postup dokonale koriguje výstup, když kanál zavede nula nebo jedno převrácení, je-li převrácen více než jeden qubit, výstup není správně opraven. Například, pokud je první a druhý qubits převrácen, pak výsledkem bude měření syndromu ${ displaystyle P_ {3}}$, a třetí qubit je otočen, místo prvních dvou. Abychom mohli posoudit výkonnost tohoto schématu opravy chyb pro obecný vstup, můžeme studovat věrnost ${ displaystyle F ( psi ')}$ mezi vstupem ${ displaystyle vert psi ' rangle}$ a výstup ${ displaystyle rho _ { operatorname {out}} equiv { mathcal {E}} _ { operatorname {corr}} ({ mathcal {E}} ( vert psi ' rangle langle psi ' vert))}$. Být stavem výstupu ${ displaystyle rho _ { operatorname {out}}}$ opravte, když není převrácen více než jeden qubit, což se stane s pravděpodobností ${ displaystyle (1-p) ^ {3} + 3p (1-p) ^ {2}}$, můžeme to napsat jako ${ displaystyle [(1-p) ^ {3} + 3p (1-p) ^ {2}] , vert psi ' rangle langle psi' vert + (...)}$, kde tečky označují komponenty ${ displaystyle rho _ { operatorname {out}}}$ vyplývající z chyb, které nebyly řádně opraveny protokolem. Z toho vyplývá, že Tento Věrnost je třeba porovnat s odpovídající věrností získanou, když se nepoužije žádný protokol pro opravu chyb, který byl předtím ukázán jako rovnocenný ${ displaystyle { sqrt {1-p}}}$. Malá algebra pak ukazuje, že věrnost po oprava chyby je větší než oprava bez pro ${ displaystyle p <1/2}$. Všimněte si, že je to v souladu s pracovním předpokladem, který byl vytvořen při odvozování protokolu (z ${ displaystyle p}$ dostatečně malý).

Flipový kód značky

Převrácené bity jsou jediným druhem chyby v klasickém počítači, ale existuje další možnost chyby u kvantových počítačů, znaménkový převrácení. Přes přenos v kanálu relativní znaménko mezi ${ displaystyle | 0 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle}$ může dojít k převrácení. Například qubit ve státě ${ displaystyle | - rangle = (| 0 rangle - | 1 rangle) / { sqrt {2}}}$ může mít svůj znak otočený na ${ displaystyle | + rangle = (| 0 rangle + | 1 rangle) / { sqrt {2}}.}$

Původní stav qubitu

${ displaystyle | psi rangle = alpha _ {0} | + rangle + alpha _ {1} | - rangle}$

bude změněn do stavu

${ displaystyle | psi ' rangle = alpha _ {0} | {+} {+} {+} rangle + alpha _ {1} | {-} {-} {-} rangle.}$

Na Hadamardově základě se bitové převrácení stanou převrácenými znaménky a znaménkové převrácení se změní na bitové převrácení. Nechat ${ displaystyle E _ { text {fáze}}}$ být kvantovým kanálem, který může způsobit maximálně jednofázové převrácení. Poté se může bitový flipový kód shora obnovit ${ displaystyle | psi rangle}$ transformací na hadamardský základ před a po přenosu skrz ${ displaystyle E _ { text {fáze}}}$.

Shorův kód

Chybový kanál může vyvolat buď bitové převrácení, převrácení znaménka (tj. Fázové převrácení), nebo obojí. Je možné opravit oba typy chyb pomocí jednoho kódu a právě to dělá Shorův kód. Ve skutečnosti Shorův kód opravuje libovolné chyby s jedním qubitem.

Nechat ${ displaystyle E}$ být kvantovým kanálem, který může libovolně poškodit jeden qubit. 1., 4. a 7. qubits jsou pro flip kód znaménka, zatímco tři skupiny qubits (1,2,3), (4,5,6) a (7,8,9) jsou navrženy pro bit flip kód. S Shorovým kódem, stav qubit ${ displaystyle | psi rangle = alpha _ {0} | 0 rangle + alpha _ {1} | 1 rangle}$ bude přeměněn na produkt 9 qubitů ${ displaystyle | psi ' rangle = alpha _ {0} | 0_ {S} rangle + alpha _ {1} | 1_ {S} rangle}$, kde

${ displaystyle | 0_ {S} rangle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} (| 000 rangle + | 111 rangle) otimes (| 000 rangle + | 111 rangle) otimes (| 000 rangle + | 111 rangle)}$

${ displaystyle | 1_ {S} rangle = { frac {1} {2 { sqrt {2}}}} (| 000 rangle - | 111 rangle) otimes (| 000 rangle - | 111 rangle) otimes (| 000 rangle - | 111 rangle)}$

Pokud se u qubitu stane chyba převrácení bitů, provede se analýza syndromu u každé sady stavů (1,2,3), (4,5,6) a (7,8,9), poté chybu opravte .

Pokud jsou tříbitová flipová skupina (1,2,3), (4,5,6) a (7,8,9) považována za tři vstupy, může být obvod kódu Shor redukován jako flip kód znaménka. To znamená, že Shorův kód může také opravit chybu překlopení znaménka pro jeden qubit.^[2]

Shorův kód také může korigovat jakékoli libovolné chyby (bit flip a sign flip) na jeden qubit. Pokud je chyba modelována unitární transformací U, která bude působit na qubit ${ displaystyle | psi rangle}$, pak ${ displaystyle U}$ lze popsat ve formuláři

${ displaystyle U = c_ {0} I + c_ {1} sigma _ {x} + c_ {2} sigma _ {y} + c_ {3} sigma _ {z}}$

kde ${ displaystyle c_ {0}}$,${ displaystyle c_ {1}}$,${ displaystyle c_ {2}}$, a ${ displaystyle c_ {3}}$ jsou složité konstanty, I je identita a Pauliho matice jsou dány

${ displaystyle sigma _ {x} = { biggl (} { begin {matrix} 0 & 1 1 & 0 end {matrix}} { biggr)};}$

${ displaystyle sigma _ {y} = { biggl (} { begin {matrix} 0 & -i i & 0 end {matrix}} { biggr)};}$

${ displaystyle sigma _ {z} = { biggl (} { begin {matrix} 1 & 0 0 & -1 end {matrix}} { biggr)}}$

Pokud je U rovno I, pak nedojde k žádné chybě. Li ${ displaystyle U = sigma _ {x}}$, dojde k chybě převrácení. Li ${ displaystyle U = sigma _ {z}}$, dojde k chybě překlopení znaménka. Li ${ displaystyle U = i sigma _ {y}}$ pak dojde k chybě převrácení bitů i převrácení znaménka. Z důvodu linearity z toho vyplývá, že Shorův kód může opravit libovolné chyby 1 qubit.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Bosonické kódy

Bylo učiněno několik návrhů na ukládání chybově opravitelných kvantových informací v bosonických režimech. Na rozdíl od dvouúrovňového systému, a kvantový harmonický oscilátor má nekonečně mnoho energetických úrovní v jediném fyzickém systému. Kódy pro tyto systémy zahrnují kočku,^[3][4][5] Gottesman-Kitaev-Preskill (GKP),^[6] a binomické kódy.^[7][8] Jedním z poznatků, které tyto kódy nabízejí, je využít výhody redundance v rámci jednoho systému namísto duplikování mnoha dvoustupňových qubitů.

Napsáno v Fock nejjednodušší binomické kódování je

${ displaystyle | 0_ {L} rangle = { frac {| 0 rangle + | 4 rangle} { sqrt {2}}}, quad | 1_ {L} rangle = | 2 rangle,}$

kde dolní index L označuje „logicky zakódovaný“ stav. Pokud je dominantním chybovým mechanismem systému stochastická aplikace bosonika spouštěcí operátor ${ displaystyle { hat {a}},}$ odpovídající chybové stavy jsou ${ displaystyle | 3 rangle}$ a ${ displaystyle | 1 rangle,}$ resp. Protože kódová slova zahrnují pouze sudé číslo fotonu a chybové stavy zahrnují pouze liché číslo fotonu, lze chyby detekovat měřením číslo fotonu parita systému.^[7][9] Měření liché parity umožní korekci aplikací vhodné jednotné operace bez znalosti konkrétního logického stavu qubitu. Konkrétní výše uvedený binomický kód však není odolný vůči ztrátě dvou fotonů.

Obecné kódy

Obecně platí, že kvantový kód pro kvantový kanál ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ je podprostor ${ displaystyle { mathcal {C}} subseteq { mathcal {H}}}$, kde ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ je stav Hilbertův prostor, takový, že existuje další kvantový kanál ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ s

${ displaystyle ({ mathcal {R}} circ { mathcal {E}}) ( rho) = rho quad forall rho = P _ { mathcal {C}} rho P _ { mathcal { C}},}$

kde ${ displaystyle P _ { mathcal {C}}}$ je ortogonální projekce na ${ displaystyle { mathcal {C}}}$. Tady ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je známý jako korekční operace.

A nedegenerovaný kód je ten, u kterého různé prvky sady opravitelných chyb produkují lineárně nezávislé výsledky při použití na prvky kódu. Pokud odlišný soubor opravitelných chyb vede k ortogonálním výsledkům, je považován za kód čistý.^[10]

Modely

V průběhu času vědci přišli s několika kódy:

• Peter Shor 9-qubitový kód, neboli Shorův kód, kóduje 1 logický qubit do 9 fyzických qubitů a dokáže opravit libovolné chyby v jediném qubitu.
• Andrew Steane našel kód, který dělá to samé se 7 místo 9 qubitů, viz Steane kód.
• Raymond Laflamme a spolupracovníci našli třídu 5bitových kódů, které dělají totéž a které mají také tu vlastnost, že jsou tolerantní k chybám. 5bitový kód je nejmenší možný kód, který chrání jeden logický qubit před chybami jednoho qubitu.
• Zobecnění toho^{[který? ]} koncept jsou Kódy CSS, pojmenovaní podle svých vynálezců: A. R. Calderbank, Peter Shor a Andrew Steane. Podle kvantové Hammingovy vazby vyžaduje kódování jediného logického qubitu a zajištění libovolné opravy chyb v jediném qubitu minimálně 5 fyzických qubitů.
• Obecnější třídou kódů (zahrnující první) jsou kódy stabilizátorů objeveno uživatelem Daniel Gottesman ([1] ) a A. R. Calderbank, Eric Rains, Peter Shor, a N. J. A. Sloane ([2], [3] ); tito jsou také nazýváni aditivní kódy.
• Dvourozměrné kódy Bacon-Shor jsou skupinou kódů parametrizovaných celými čísly m a n. Ve čtvercové mřížce jsou uspořádány qubity nm.^[11]
• Novější nápad je Alexej Kitaev je topologické kvantové kódy a obecnější myšlenka a topologický kvantový počítač.
• Todd Brun, Igor Devětak, a Min-Hsiu Hsieh také zkonstruoval formalizmus stabilizátoru podporovaného zapletením jako rozšíření standardu formalizátor stabilizátoru který zahrnuje Kvantové zapletení sdílené mezi odesílatelem a příjemcem.

To, že tyto kódy skutečně umožňují kvantové výpočty libovolné délky, je obsahem teorém kvantové prahové hodnoty, nalezeno Michael Ben-Or a Dorit Aharonov, který tvrdí, že můžete opravit všechny chyby, pokud zřetězíte kvantové kódy, jako jsou kódy CSS - tj. překódovat každý logický qubit stejným kódem znovu a tak dále, na logaritmicky mnoha úrovních -pokud chybovost jednotlivce kvantové brány je pod určitou prahovou hodnotou; jako jinak by pokusy o měření syndromu a opravu chyb přinesly více nových chyb, než pro které se opravují.

Od konce roku 2004 odhady této prahové hodnoty naznačují, že by to mohlo být až 1–3%,^[12] za předpokladu, že jich je dostatečně mnoho qubits dostupný.

Experimentální realizace

Došlo k několika experimentálním realizacím kódů založených na CSS. První demonstrace byla s NMR qubits.^[13] Následně byly provedeny ukázky s lineární optikou,^[14] uvězněné ionty,^[15][16] a supravodivé (transmon ) qubits.^[17]

V roce 2016 byla životnost kvantového bitu prodloužena použitím QEC kódu.^[18] Demonstrace opravy chyb byla provedena dne Státy Schrodingerovy kočky kódován v supravodivém rezonátoru a použit a kvantový regulátor schopný provádět operace zpětné vazby v reálném čase, včetně čtení kvantové informace, její analýzy a opravy zjištěných chyb. Práce demonstrovala, jak systém s opravou kvantové chyby dosáhne bodu zvratu, kdy životnost logického qubitu přesáhne dobu životnosti základních složek systému (fyzických qubitů).

Byly také implementovány další kódy opravující chyby, například kód zaměřený na korekci ztráty fotonů, dominantního zdroje chyb ve schématech fotonických qubitů.^[19][20]

Viz také

• Detekce a oprava chyb
• Měkká chyba

Reference

Bibliografie

• Daniel Lidar a Todd Brun, ed. (2013). Oprava kvantové chyby. Cambridge University Press.

• Frank Gaitan (2008). Korekce kvantových chyb a kvantové výpočty odolné proti chybám. Taylor & Francis.

• Freedman, Michael H .; Meyer, David A .; Luo, Feng: Z₂-Systolická svoboda a kvantové kódy. Matematika kvantového výpočtu, 287–320, Výpočet Matematika. Ser., Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL, 2002.
• Freedman, Michael H .; Meyer, David A. (1998). „Projektivní rovina a rovinné kvantové kódy“. Nalezeno. Comput. Matematika. 2001 (3): 325–332. arXiv:quant-ph / 9810055. Bibcode:1998quant.ph.10055F.
• Lassen, Mikael; Sabuncu, Metin; Huck, Alexander; Niset, Julien; Leuchs, Gerd; Cerf, Nicolas J .; Andersen, Ulrik L. (2010). „Kvantová optická koherence může přežít ztráty fotonů pomocí kódu pro korekci kontinuálního proměnného kvantového vymazání“. Fotonika přírody. 4 (1): 10. Bibcode:2010NaPho ... 4 ... 10W. doi:10.1038 / nphoton.2009.243.

externí odkazy

• Knill, E. (2004). "Kvantové výpočty s velmi hlučnými zařízeními". Příroda. 434: 39–44. arXiv:quant-ph / 0410199. Bibcode:2005 Natur.434 ... 39 tis. doi:10.1038 / nature03350. PMID  15744292. S2CID  4420858.
• Průlom v kvantové práci s kontrolou chyb^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• „Topologická kvantová korekce chyb“. Kvantové světlo. University of Sheffield. 28. září 2018 - prostřednictvím Youtube.