Kód stabilizátoru - Stabilizer code

Teorie kvantová korekce chyb hraje významnou roli v praktické realizaci a inženýrstvíkvantové výpočty a kvantová komunikace zařízení. První kódy pro kvantovou korekci jsou nápadně podobné klasické blokové kódy v provozu a výkonu. Kvantové kódy opravující chyby obnovují hlučný,oddělený kvantový stav do čistého kvantového stavu. Astabilizátor připojuje se kvantový kód pro opravu chyb ancilla qubits na qubits, které chceme chránit. Jednotný kódovací obvod otočí globální stav do podobného prostoru většího Hilbertův prostor. Toto velmi zapletený, kódovaný stav opravuje lokální hlučné chyby. Kvantový kód opravující chyby dělá kvantový výpočet a kvantová komunikace praktické tím, že umožňuje odesílateli a příjemci simulovat bezhlučný qubitový kanál s daným a hlučný qubitový kanál jehož šum odpovídá konkrétnímu modelu chyby.

Teorie stabilizátorů kvantová korekce chyb umožňuje importovat someclassical binární nebo kvartérní kódy pro použití jako kvantový kód. Při importu klasického kódu však musí splňovat dvojí obsahující (nebo samoortogonalita) omezení. Vědci našli mnoho příkladů klasických kódů, které toto omezení splňují, ale většina klasických kódů ne. Přesto je stále užitečné importovat klasické kódy tímto způsobem (podívejte se, jak formalizmus stabilizátoru podporovaného zapletením překonává tuto obtíž).

Matematické pozadí

Formalizmus stabilizátoru využívá jeho prvků Skupina Pauli ${displaystyle Pi}$ při formulování kvantových kódů opravujících chyby. Sada ${displaystyle Pi = left {I, X, Y, Zight}}$ se skládá z Pauli operátoři:

{displaystyle Iequiv {egin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1end {bmatrix}}, Xequiv {egin {bmatrix} 0 & 1 1 & 0end {bmatrix}}, Yequiv {egin {bmatrix} 0 & -i i & 0end {bmatrix}}, Zequiv {egin { bmatrix} 1 & 0 0 & -1end {bmatrix}}.}

Výše uvedené operátory jednají na jednom qubit --- stav reprezentovaný vektorem v dvourozměrnémHilbertův prostor. Provozovatelé v ${displaystyle Pi}$ mít vlastní čísla ${displaystyle pm 1}$ a buď dojíždět nebo proti dojíždění. Sada ${displaystyle Pi ^ {n}}$ skládá se z ${displaystyle n}$ -složit tenzorové výrobky zPauli operátoři:

{displaystyle Pi ^ {n} = left {{egin {array} {c} e ^ {iphi} A_ {1} otimes cdots otimes A_ {n}: for all jin left {1, ldots, night} A_ {j} in Pi, phi vlevo {0, pi / 2, pi, 3pi / 2ight} konec {pole}} vpravo}.}

Prvky ${displaystyle Pi ^ {n}}$ jednat o kvantový registr z ${displaystyle n}$ qubits. Weoccasionally vynechat tenzorový produkt symboly, co následuje, aby

{displaystyle A_ {1} cdots A_ {n} ekviv A_ {1} další cdots jiné časy A_ {n}.}

The ${displaystyle n}$ -složit Skupina Pauli ${displaystyle Pi ^ {n}}$ hraje důležitou roli jak pro kódovací obvod, tak pro postup korekce chyb kódu kvantového stabilizátoru ${displaystyle n}$ qubits.

Definice

Pojďme definovat ${displaystyle left [n, kight]}$ stabilizátor kvantový kód opravující chyby ke kódování ${displaystyle k}$ logické qubits do ${displaystyle n}$ fyzické qubits. Míra takového kódu je ${displaystyle k / n}$ . Jeho stabilizátor ${displaystyle {mathcal {S}}}$ je abelian podskupina z ${displaystyle n}$ - složená skupina Pauli ${displaystyle Pi ^ {n}}$ . ${displaystyle {mathcal {S}}}$ neobsahuje operátora ${displaystyle -I ^ {vícekrát}}$ . Současně ${displaystyle +1}$ -vlastní prostor provozovatelů představuje kódový prostor. Thecodespace má rozměr ${displaystyle 2 ^ {k}}$ abychom mohli kódovat ${displaystyle k}$ qubits do toho. Thestabilizer ${displaystyle {mathcal {S}}}$ má minimální zastoupení ve smyslu ${displaystyle n-k}$ nezávislé generátory

{displaystyle left {g_ {1}, ldots, g_ {n-k} | forall iin left {1, ldots, n-kight}, g_ {i} in {mathcal {S}} ight}.}

Generátory jsou nezávislé v tom smyslu, že žádný z nich není produktem jiných dvou (až a globální fáze ). Provozovatelé ${displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {n-k}}$ fungovat stejně jako a paritní kontrolní matice dělá pro klasiku lineární blokový kód.

Podmínky opravy chyb stabilizátoru

Jedním ze základních pojmů v teorii kvantové korekce chyb je, že stačí opravit a oddělený chyba nastavena pomocí Podpěra, podpora v Skupina Pauli ${displaystyle Pi ^ {n}}$ . Předpokládejme, že chyby ovlivňující anenkódovaný kvantový stav jsou podmnožinou ${displaystyle {mathcal {E}}}$ z Skupina Pauli ${displaystyle Pi ^ {n}}$ :

{displaystyle {mathcal {E}} podmnožina Pi ^ {n}.}

Protože ${displaystyle {mathcal {E}}}$ a ${displaystyle {mathcal {S}}}$ jsou obě podmnožiny ${displaystyle Pi ^ {n}}$ , chyba ${displaystyle Ein {mathcal {E}}}$ který ovlivňuje buď enkodovaný kvantový stav dojíždí nebo anticommutes s jakýmkoli zvláštním zbožím ${displaystyle g}$ v ${displaystyle {mathcal {S}}}$ . Chyba ${displaystyle E}$ je opravitelný, pokud se shoduje s prvkem ${displaystyle g}$ v ${displaystyle {mathcal {S}}}$ . Chyba anticommuting ${displaystyle E}$ je zjistitelný pomocí měření každý prvek ${displaystyle g}$ v ${displaystyle {mathcal {S}}}$ a výpočet syndromu ${displaystyle mathbf {r}}$ identifikace ${displaystyle E}$ . Syndrom je binární vektor ${displaystyle mathbf {r}}$ s délkou ${displaystyle n-k}$ jejichž prvky určují, zda je chyba ${displaystyle E}$ s každým dojíždí nebo dojíždí ${displaystyle gin {mathcal {S}}}$ . Chyba ${displaystyle E}$ který dojíždí s každým prvkem ${displaystyle g}$ v ${displaystyle {mathcal {S}}}$ je opravitelný, pouze pokud je v ${displaystyle {mathcal {S}}}$ . Poškozuje kódovaný stav, pokud se připojuje ke každému prvku ${displaystyle {mathcal {S}}}$ ale nelže ${displaystyle {mathcal {S}}}$ . Takže kompaktně shrneme podmínky opravy chyb stabilizátoru: kód astabilizéru může opravit jakékoli chyby ${displaystyle E_ {1}, E_ {2}}$ v ${displaystyle {mathcal {E}}}$ -li

{displaystyle E_ {1} ^ {dagger} E_ {2} otin {mathcal {Z}} vlevo ({mathcal {S}} ight)}

nebo

{displaystyle E_ {1} ^ {dagger} E_ {2} v {mathcal {S}}}

kde ${displaystyle {mathcal {Z}} vlevo ({mathcal {S}} vpravo)}$ je centralizátor z ${displaystyle {mathcal {S}}}$ (tj. podskupina prvků, které dojíždějí se všemi členy ${displaystyle {mathcal {S}}}$ , také známý jako komutant).

Vztah mezi Skupina Pauli a binární vektory

Jednoduché, ale užitečné mapování existuje mezi prvky ${displaystyle Pi}$ a binárnívektorový prostor ${displaystyle left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2}}$ . Toto mapování poskytuje zjednodušení teorie kvantové korekce chyb. Představuje kvantové kódy binární vektory a binární operace spíše než s Pauli operátoři amaticové operace resp.

Nejprve dáme mapování pro případ jednoho qubitu. Předpokládat ${displaystyle left [Aight]}$ je sada třídy ekvivalence z operátor ${displaystyle A}$ které mají stejné fáze:

{displaystyle left [Aight] = left {eta A | eta v mathbb {C}, vlevo eta ightvert = 1ight}.}

Nechat ${displaystyle left [Pi ight]}$ být souborem bezfázových operátorů Pauli kde ${displaystyle left [Pi ight] = left {left [Aight] | Ain Pi ight}}$ . Definujte mapu ${displaystyle N: left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2} ightarrow Pi}$ tak jako

{displaystyle 00 o I ,,, 01 o X ,,, 11 o Y ,,, 10 o Z}

Předpokládat ${displaystyle u, vin left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2}}$ . Pojďme zaměstnat zkrácenou ruku ${displaystyle u = left (z | xight)}$ a ${displaystyle v = left (z ^ {prime} | x ^ {prime} ight)}$ kde ${displaystyle z}$ , ${displaystyle x}$ , ${displaystyle z ^ {prime}}$ , ${displaystyle x ^ {prime} v mathbb {Z} _ {2}}$ . Příklad, předpokládejme ${displaystyle u = left (0 | 1ight)}$ . Pak ${displaystyle Nleft (uight) = X}$ . Mapa ${displaystyle N}$ vyvolává izomorfismus ${displaystyle left [Night]: left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2} ightarrow left [Pi ight]}$ protože přidání vektorů ${displaystyle left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2}}$ je ekvivalentní násobení operátorů Pauli až do globální fáze:

{displaystyle left [Nleft (u + vight) ight] = left [Nleft (uight) ight] left [Nleft (vight) ight].}

Nechat ${displaystyle odot}$ označit symplektický produkt mezi dvěma prvky ${displaystyle u, vin left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2}}$ :

{displaystyle uodot vequiv zx ^ {prime} -xz ^ {prime}.}

Symplectický produkt ${displaystyle odot}$ dává komutace vztahy prvků ${displaystyle Pi}$ :

{displaystyle Nleft (uight) Nleft (vight) = left (-1ight) ^ {left (uodot vight)} Nleft (vight) Nleft (uight).}

Symlektický produkt a mapování ${displaystyle N}$ tak dát užitečný způsob, jak fráziPauli vztahy, pokud jde o binární algebra Rozšíření výše uvedených definic a mapování ${displaystyle N}$ na více qubitů je přímočará. Nechat ${displaystyle mathbf {A} = A_ {1} několikrát cdots několikkrát A_ {n}}$ označit libovolný prvek ${displaystyle Pi ^ {n}}$ . Podobně můžeme definovat bezfázové ${displaystyle n}$ skupina qubit Pauli ${displaystyle left [Pi ^ {n} ight] = left {left [mathbf {A} ight] | mathbf {A} v Pi ^ {n} ight}}$ kde

{displaystyle left [mathbf {A} ight] = left {eta mathbf {A} | eta v mathbb {C}, vlevo eta ightvert = 1ight}.}

The skupinová operace ${displaystyle ast}$ pro výše uvedenou třídu ekvivalence je následující:

{displaystyle left [mathbf {A} ight] ast left [mathbf {B} ight] equiv left [A_ {1} ight] ast left [B_ {1} ight] otimes cdots otimes left [A_ {n} ight] ast left [B_ {n} ight] = left [A_ {1} B_ {1} ight] otimes cdots otimes left [A_ {n} B_ {n} ight] = left [mathbf {AB} ight].}

Třída ekvivalence ${displaystyle left [Pi ^ {n} ight]}$ tvoří a komutativní skupina v provozu ${displaystyle ast}$ . Zvažte ${displaystyle 2n}$ -dimenzionální vektorový prostor

{displaystyle left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2n} = left {left (mathbf {z, x} ight): mathbf {z}, mathbf {x} vlevo (mathbb {Z} _ { 2} ight) ^ {n} ight}.}

Tvoří komutativní skupinu ${displaystyle (left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2n}, +)}$ bezdomovectví ${displaystyle +}$ definováno jako přidání binárního vektoru. Používáme notaci ${displaystyle mathbf {u} = left (mathbf {z} | mathbf {x} ight), mathbf {v} = left (mathbf {z} ^ {prime} | mathbf {x} ^ {prime} ight)}$ reprezentovat libovolné vektory ${displaystyle mathbf {u, v} vlevo (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2n}}$ resp. Každý vektor ${displaystyle mathbf {z}}$ a ${displaystyle mathbf {x}}$ má prvky ${displaystyle left (z_ {1}, ldots, z_ {n} ight)}$ a ${displaystyle left (x_ {1}, ldots, x_ {n} ight)}$ respektive s podobnými reprezentacemi pro ${displaystyle mathbf {z} ^ {prime}}$ a ${displaystyle mathbf {x} ^ {prime}}$ .v symplektický produkt ${displaystyle odot}$ z ${displaystyle mathbf {u}}$ a ${displaystyle mathbf {v}}$ je

{displaystyle mathbf {u} odot mathbf {vequiv} součet _ {i = 1} ^ {n} z_ {i} x_ {i} ^ {prime} -x_ {i} z_ {i} ^ {prime},}

nebo

{displaystyle mathbf {u} odot mathbf {vequiv} součet _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} odot v_ {i},}

kde ${displaystyle u_ {i} = left (z_ {i} | x_ {i} ight)}$ a ${displaystyle v_ {i} = left (z_ {i} ^ {prime} | x_ {i} ^ {prime} ight)}$ . Pojďme definovat mapu ${displaystyle mathbf {N}: left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2n} ightarrow Pi ^ {n}}$ jak následuje:

{displaystyle mathbf {N} left (mathbf {u} ight) equiv Nleft (u_ {1} ight) otimes cdots otimes Nleft (u_ {n} ight).}

Nechat

{displaystyle mathbf {X} left (mathbf {x} ight) equiv X ^ {x_ {1}} otimes cdots otimes X ^ {x_ {n}} ,,,,,,,, mathbf {Z} left (mathbf { z} ight) equiv Z ^ {z_ {1}} další cdots další časy Z ^ {z_ {n}},}

aby ${displaystyle mathbf {N} vlevo (mathbf {u} ight)}$ a ${displaystyle mathbf {Z} vlevo (mathbf {z} ight) mathbf {X} vlevo (mathbf {x} ight)}$ patří ke stejnémutřída ekvivalence:

{displaystyle left [mathbf {N} left (mathbf {u} ight) ight] = left [mathbf {Z} left (mathbf {z} ight) mathbf {X} left (mathbf {x} ight) ight].}

Mapa ${displaystyle left [mathbf {N} ight]: left (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2n} ightarrow left [Pi ^ {n} ight]}$ je izomorfismus pro hlavní důvod uvedený v předchozím případě:

{displaystyle left [mathbf {N} left (mathbf {u + v} ight) ight] = left [mathbf {N} left (mathbf {u} ight) ight] left [mathbf {N} left (mathbf {v} ight ) večer],}

kde ${displaystyle mathbf {u, v} vlevo (mathbb {Z} _ {2} ight) ^ {2n}}$ . The symplektický produkt zachycuje komutační vztahy všech operátorů ${displaystyle mathbf {N} vlevo (mathbf {u} ight)}$ a ${displaystyle mathbf {N} vlevo (mathbf {v} ight)}$ :

{displaystyle mathbf {Nleft (mathbf {u} ight) N} left (mathbf {v} ight) = left (-1ight) ^ {left (mathbf {u} odot mathbf {v} ight)} mathbf {N} left ( mathbf {v} ight) mathbf {N} vlevo (mathbf {u} ight).}

Výše uvedená binární reprezentace a symplektická algebra jsou užitečné při vytváření vztahu mezi klasickými lineárními oprava chyb a kvantová korekce chyb jasnější.

Porovnáním kódů opravujících kvantovou chybu v tomto jazyce s symplektické vektorové prostory, můžeme vidět následující. A symplektický podprostor odpovídá a přímý součet Pauliho algeber (tj. kódovaných qubitů), zatímco an izotropní podprostor odpovídá souboru stabilizátorů.

Příklad kódu stabilizátoru

Příkladem stabilizačního kódu je pět qubit ${displaystyle left [[5,1,3ight]]}$ kód stabilizátoru. Kóduje to ${displaystyle k = 1}$ logický qubitinto ${displaystyle n = 5}$ fyzické qubits a chrání před libovolným single-qubiterrorem. Má kódovou vzdálenost ${displaystyle d = 3}$ . Jeho stabilizátor se skládá z ${displaystyle n-k = 4}$ Provozovatelé Pauli:

{displaystyle {egin {array} {ccccccc} g_ {1} & = & X & Z & Z & X & I g_ {2} & = & I & X & Z & Z & X g_ {3} & = & X & I & X & Z & Z g_ {4} & = & Z & X & I & X & Zend {array}}}

Výše uvedení operátoři dojíždějí. Proto je kódový prostor simultánním + 1-vlastním prostorem výše uvedených operátorů. Předpokládejme, že v kódovaném kvantovém registru dojde k chybě jednoho qubitu. V sadě je chyba jednoho qubitu ${displaystyle left {X_ {i}, Y_ {i}, Z_ {i} ight}}$ kde ${displaystyle A_ {i}}$ označuje Pauliho chybu na qubitu ${displaystyle i}$ Je jednoduché ověřit, že jakákoli libovolná chyba s jedním qubitem má aunique syndrom. Přijímač opraví jakoukoli chybu s jedním qubitem identifikováním syndromu a provedením nápravné operace.

Reference

D. Gottesman, „Kódy stabilizátorů a korekce kvantové chyby“, quant-ph / 9705052, Caltech Ph.D. teze. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
Shor, Peter W. (10.10.1995). "Schéma pro snížení dekoherence v kvantové paměti počítače". Fyzický přehled A. Americká fyzická společnost (APS). 52 (4): R2493 – R2496. doi:10.1103 / physreva.52.r2493. ISSN 1050-2947.
Calderbank, A. R .; Shor, Peter W. (01.08.1996). "Existují dobré kvantové kódy opravující chyby". Fyzický přehled A. Americká fyzická společnost (APS). 54 (2): 1098–1105. arXiv:quant-ph / 9512032. doi:10.1103 / physreva.54.1098. ISSN 1050-2947.
Steane, A. M. (1996-07-29). "Chyba při opravě kódů v kvantové teorii". Dopisy o fyzické kontrole. Americká fyzická společnost (APS). 77 (5): 793–797. doi:10.1103 / fyzrevlett.77.793. ISSN 0031-9007.
A. Calderbank, E. Rains, P. Shor a N. Sloane, „Korekce kvantové chyby pomocí kódů přes GF (4),“ IEEE Trans. Inf. Theory, sv. 44, s. 1369–1387, 1998. Dostupné na https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006