Klasický limit - Classical limit

The klasický limit nebo korespondenční limit je schopnost a fyzikální teorie přiblížit nebo „obnovit“ klasická mechanika při uvažování nad speciálními hodnotami jeho parametrů.^[1] Klasický limit se používá u fyzikálních teorií, které předpovídají neklasické chování.

Kvantová teorie

A heuristický postulát zvaný zásada korespondence byl představen kvantová teorie podle Niels Bohr: ve skutečnosti se uvádí, že na klasický limit kvantových systémů jako na hodnotu by měl platit nějaký druh argumentu kontinuity Planckova konstanta normalizované působením těchto systémů se stává velmi malým. Často k tomu přistupují „kvazi-klasické“ techniky (srov. Aproximace WKB ).^[2]

Přísněji,^[3] matematická operace zapojená do klasických limitů je a skupinová kontrakce, aproximace fyzických systémů, kde je příslušná akce mnohem větší než Planckova konstanta ħ, takže „parametr deformace“ ħ/S lze účinně považovat za nulu (srov. Weyl kvantování.) Typicky tedy kvantové komutátory (ekvivalentně Věrné závorky ) snížit na Poissonovy závorky,^[4] v skupinová kontrakce.

v kvantová mechanika, kvůli Heisenberg princip nejistoty, an elektron nikdy nemůže být v klidu; vždy musí mít nenulovou hodnotu Kinetická energie, výsledek nebyl nalezen v klasické mechanice. Pokud například vezmeme v úvahu něco velmi velkého ve vztahu k elektronu, jako je baseball, princip neurčitosti předpovídá, že to ve skutečnosti nemůže mít nulovou kinetickou energii, ale nejistota v kinetické energii je tak malá, že se baseball může efektivně jevit v klidu , a proto se zdá, že se řídí klasickou mechanikou. Obecně platí, že pokud se v kvantové mechanice uvažuje o velkých energiích a velkých objektech (ve vztahu k velikosti a energetickým úrovním elektronu), bude se výsledek jevit jako poslušný klasické mechanice. Typický čísla povolání jsou obrovské: makroskopický harmonický oscilátor s ω = 2 Hz, m = 10 g a maximum amplituda X₀ = 10 cm, má S ≈ E/ω ≈ mωx²
₀/2 ≈ 10⁻⁴ kg · m²/ s = .n, aby n ≃ 10³⁰. Dále viz koherentní stavy. Méně jasné však je, jak platí klasický limit pro chaotické systémy, pole známé jako kvantový chaos.

Kvantová mechanika a klasická mechanika jsou obvykle považovány za zcela odlišné formalizmy: použití kvantové teorie Hilbertův prostor a klasická mechanika používající reprezentaci v fázový prostor. Jeden může tyto dva přivést do společného matematického rámce různými způsoby. V formulace fázového prostoru kvantové mechaniky, která má statistickou povahu, dochází k logickým spojením mezi kvantovou mechanikou a klasickou statistickou mechanikou, což umožňuje přirozené srovnání mezi nimi, včetně porušení Liouvilleova věta (Hamiltonian) při kvantování.^[5][6]

V zásadním příspěvku (1933), Dirac^[7] vysvětlil, jak je klasická mechanika vznikající jev kvantové mechaniky: ničivé rušení mezi cestami sextrémní makroskopické akce S » ħ vyhladit příspěvky amplitudy v cesta integrální představil a nechal extrémní akci S_třída, tedy klasická akční cesta jako dominantní příspěvek, pozorování dále rozpracováno Feynman ve své disertační práci z roku 1942.^[8] (Dále viz kvantová dekoherence.)

Časový vývoj očekávaných hodnot

Jedním z jednoduchých způsobů, jak porovnat klasickou s kvantovou mechanikou, je zvážit časový vývoj očekávaný pozice a očekávaný hybnost, kterou lze pak srovnat s časovým vývojem běžné polohy a hybnosti v klasické mechanice. Hodnoty kvantového očekávání splňují Ehrenfestova věta. Pro jednorozměrnou kvantovou částici pohybující se v potenciálu ${ displaystyle V}$, říká Ehrenfestova věta^[9]

${ displaystyle m { frac {d} {dt}} langle x rangle = langle p rangle; quad { frac {d} {dt}} langle p rangle = - left langle V '(X) right rangle.}$

Ačkoli první z těchto rovnic je v souladu s klasickou mechanikou, druhá není: Pokud je dvojice ${ displaystyle ( langle X rangle, langle P rangle)}$ byly uspokojit druhý Newtonův zákon, pravá strana druhé rovnice by byla přečtena

${ displaystyle { frac {d} {dt}} langle p rangle = -V ' left ( left langle X right rangle right)}$.

Ale ve většině případů

${ Displaystyle left langle V '(X) right rangle neq V' ( left langle X right rangle)}$.

Pokud například potenciál ${ displaystyle V}$ je tedy krychlový ${ displaystyle V '}$ je kvadratické, v takovém případě mluvíme o rozdílu mezi ${ displaystyle langle X ^ {2} rangle}$ a ${ displaystyle langle X rangle ^ {2}}$, které se liší o ${ displaystyle ( Delta X) ^ {2}}$.

Výjimka nastává v případě, kdy jsou klasické pohybové rovnice lineární, tj. Když ${ displaystyle V}$ je kvadratický a ${ displaystyle V '}$ je lineární. V tom zvláštním případě ${ displaystyle V ' left ( left langle X right rangle right)}$ a ${ displaystyle left langle V '(X) right rangle}$ souhlasím. Zejména u volné částice nebo kvantového harmonického oscilátoru očekávaná poloha a očekávaná hybnost přesně navazují na řešení Newtonových rovnic.

U obecných systémů můžeme nejlépe doufat, že to bude očekávaná poloha a hybnost přibližně sledovat klasické trajektorie. Pokud je vlnová funkce vysoce koncentrovaná kolem bodu ${ displaystyle x_ {0}}$, pak ${ displaystyle V ' left ( left langle X right rangle right)}$ a ${ displaystyle left langle V '(X) right rangle}$ bude téměř stejný, protože oba budou přibližně stejné ${ displaystyle V '(x_ {0})}$. V takovém případě zůstane očekávaná poloha a očekávaná hybnost minimálně velmi blízko klasickým trajektoriím tak dlouho, jak vlnová funkce zůstává vysoce lokalizovaná v poloze.^[10]

Nyní, pokud je počáteční stav velmi lokalizovaný v poloze, bude se v hybnosti velmi rozšířit, a tak očekáváme, že se vlnová funkce rychle rozšíří a spojení s klasickými trajektoriemi se ztratí. Když je Planckova konstanta malá, je možné mít stav, který je dobře lokalizován oba poloha a hybnost. Malá nejistota hybnosti zajišťuje, že částice Zůstává dobře lokalizované v poloze po dlouhou dobu, takže očekávaná poloha a hybnost pokračují v úzkém sledování klasických trajektorií po dlouhou dobu.

Relativita a jiné deformace

Další známé deformace ve fyzice zahrnují:

• Deformace klasické newtonovské do relativistické mechaniky (speciální relativita ), s parametrem deformace v / c; klasický limit zahrnuje malé rychlosti, takže v / c→ 0 a zdá se, že systémy poslouchají newtonovskou mechaniku.
• Podobně pro deformaci newtonovské gravitace na obecná relativita, s deformačním parametrem Schwarzschildův poloměr / charakteristická dimenze, zjistíme, že objekty se znovu zdají být poslušné klasické mechanice (plochý prostor), když je hmotnost objektu krát čtverce Planckova délka je mnohem menší než jeho velikost a velikost řešeného problému. Vidět Newtonovský limit.
• Vlnová optika může být také považována za deformaci paprsková optika pro parametr deformace λ / a.
• Rovněž, termodynamika deformuje na statistická mechanika s parametrem deformace 1 /N.

Viz také

• Aproximace WKB
• Kvantová dekoherence
• Kvantový limit
• Kvantová říše
• Wigner – Weylova transformace
• Kvantový chaos
• Fresnelovy integrály
• Semiklasická fyzika
• Ehrenfestova věta
• Matematická formulace kvantové mechaniky

Reference

• Hall, Brian C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN  978-1461471158