Mentální výpočet - Mental calculation

tento článek obsahuje pokyny, rady nebo návody k obsahu. Účelem Wikipedie je prezentovat fakta, ne trénovat. Prosím pomozte vylepšit tento článek přepsáním obsahu jak na to, nebo stěhování to Wikiverzita, Wikibooks nebo Wikislovník. (Února 2017)

Mentální výpočet skládá se z aritmetický výpočty pouze pomocí lidský mozek, bez pomoci jakéhokoli spotřebního materiálu (například tužky a papíru) nebo zařízení, jako je a kalkulačka. Lidé používají mentální výpočet, když nejsou k dispozici výpočetní nástroje, pokud jsou rychlejší než jiné způsoby výpočtu (například metody konvenčních vzdělávacích institucí), nebo dokonce konkurenční kontext. Mentální výpočet často zahrnuje použití specifických technik navržených pro konkrétní typy problémů.^[1] Volají se lidé s neobvykle vysokou schopností provádět mentální výpočty mentální kalkulačky nebo blesková kalkulačkas.

Mnoho z těchto technik využívá nebo se na ně spoléhá desetinný číselná soustava. Obvykle výběr základ je to, co určuje, kterou metodu nebo metody použít.

Metody a techniky

Vyhání devítky

Po použití aritmetické operace na dva operandy a získání výsledku lze pomocí následujícího postupu zlepšit důvěru ve správnost výsledku:

1. Součet číslic prvního operandu; libovolné 9s (nebo sady číslic, které přidávají k 9) lze počítat jako 0.
2. Pokud má výsledný součet dvě nebo více číslic, sečtěte tyto číslice jako v prvním kroku; opakujte tento krok, dokud výsledný součet nebude mít pouze jednu číslici.
3. Opakujte kroky jedna a dva s druhým operandem. Existují dvě jednociferná čísla, jedno zkrácené od prvního operandu a druhé zkrácené od druhého operandu. (Tato jednociferná čísla jsou také zbytky, se kterými by se dalo skončit, kdyby se původní operandy dělily 9; matematicky vzato jsou to původní operandy modulo 9.)
4. Aplikujte původně zadanou operaci na dva zhuštěné operandy a poté na výsledek operace použijte proceduru sčítání číslic.
5. Součet číslic výsledku, který byl původně získán pro původní výpočet.
6. Pokud se výsledek kroku 4 nerovná výsledku kroku 5, pak je původní odpověď chybná. Pokud se dva výsledky shodují, pak může být původní odpověď správná, i když to není zaručeno.

Příklad

• Řekněme, že výsledky výpočtu, že 6338 × 79 se rovná 500702

1. Součet číslic 6338: (6 + 3 = 9, tedy počítat jako 0) + 3 + 8 = 11
2. Iterujte podle potřeby: 1 + 1 = 2
3. Součet číslic 79: 7 + (9 počítáno jako 0) = 7
4. Proveďte původní operaci na kondenzovaných operandech a číslice součtu: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. Součet číslic 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, které se počítají jako 0) = 5
6. 5 = 5, takže existuje velká šance, že předpověď, že 6338 × 79 se rovná 500702, je správná.

Stejný postup lze použít s více operacemi, opakováním kroků 1 a 2 pro každou operaci.

Odhad

Při kontrole mentálního výpočtu je užitečné myslet na to z hlediska škálování. Například při práci s velkými čísly, řekněme 1531 × 19625, odhad dává pokyn člověku, aby si byl vědom počtu očekávaných číslic pro konečnou hodnotu. Užitečným způsobem kontroly je odhad. 1531 je přibližně 1500 a 19625 je přibližně 20000, takže výsledek přibližně 20000 × 1500 (30000000) by byl dobrým odhadem pro skutečnou odpověď (30045875). Pokud má tedy odpověď příliš mnoho číslic, došlo k chybě.

Faktory

Při násobení je třeba pamatovat na to, že faktory operandů stále zůstávají. Například říci, že 14 × 15 bylo 211, by bylo nerozumné. Protože 15 je násobkem 5, měl by být také produkt. Podobně 14 je násobek 2, takže produkt by měl být sudý. Kromě toho jakékoli číslo, které je násobkem obou 5 a 2, je nutně násobkem 10 a v desítkové soustavě by skončilo číslem 0. Správná odpověď je 210. Je to násobek 10, 7 (druhý primární faktor 14) a 3 (druhý primární faktor 15).

Výpočet rozdílů: A − b

Přímý výpočet

Když číslice b jsou všechny menší než odpovídající číslice A, výpočet lze provést číslici po číslici. Například můžete vyhodnotit 872 - 41 jednoduše tak, že odečtete 1 od 2 na místě jednotek a 4 od 7 na místě desítek: 831.

Nepřímý výpočet

Pokud výše uvedená situace neplatí, lze problém někdy upravit:

• Pokud je pouze jedna číslice b je větší než odpovídající číslice v A, zmenšit problematickou číslici b dokud se nerovná odpovídající číslici v A. Poté odečtěte další částku b byl snížen o od A. Například pro výpočet 872 - 92 změňte problém na 872 - 72 = 800. Poté odečtěte 20 od 800: 780.
• Pokud je více než jedna číslice b je větší než odpovídající číslice v A, může být snazší zjistit, kolik je třeba přidat b dostat A. Například pro výpočet 8192 - 732 přidejte 8 až 732 (výsledkem je 740), pak přidejte 60 (získáte 800), pak 200 (pro 1000). Dále přidejte 192, abyste se dostali na 1192, a nakonec přidejte 7000, abyste získali 8192. Konečná odpověď je 7460.
• Další užitečnou technikou je zaokrouhlování jedné z číslic (buď větší číslice, nebo menší číslice na nejbližší číslo, pokud možno obsahující jednu nenulovou číslici). Například pro výpočet 8192 - 732 zaokrouhlete 732 na 1000 přidáním 268 (hodnota 268 může být nalezena mentálním odečtením 732 od 1000. Lidský mozek to snáze zvládne se zaoblenými čísly). Poté odečtěte 1000 od 8192 a získejte 7192 jako odpověď. Přidání 268 k 7192 povede k získání 7460 jako odpovědi.
• Alternativně vyměňte čísla zaokrouhlením čísel jako v daném problému. Například pro výpočet 8192 - 732 lze jednoduše přidat 268 na obě strany, což má za následek 8460 - 1000, což je snadnější pro výpočet, což má za následek 7460.
• Při výběru čísla, které se má zaokrouhlit, je třeba být obezřetný. Pro výpočet 8192 - 732 lze zaokrouhlit 8192 na 9000 přidáním 808. Poté vypočítat 9000-732, což má za následek 8268. Poté odečtěte 808 od 8268, abyste získali 7460 jako odpověď. Jak však lze pozorovat, je to obtížné a zdlouhavé výpočty.
• Lze také provést výpočet tradičním způsobem, ale chytře. Pro výpočet 8192 - 732 odstraňte 2 na místě jednotek, tj. Nahraďte je 0. Poté odečtěte 3 z 9, čímž se získá 6. Nakonec odečtěte 7 z 81, čímž se získá 74. Poté přeuspořádejte části a získejte 7460 jako odpověď.
• Může být jednodušší začít nejprve zleva (velká čísla).

Člověk může uhodnout, co je potřeba, a nahromadit dohady. Odhad je dobrý, pokud nepřekročil „cílové“ číslo. 8192 - 732, mentálně, je třeba přidat 8000, ale to by bylo příliš, takže přidat 7000, pak 700 až 1100, je 400 (zatím jeden má 7400) a 32 až 92 lze snadno rozpoznat jako 60. Výsledkem je 7460.

Metoda půjčování do budoucna

Tuto metodu lze použít k odečtení čísel zleva doprava, a pokud je potřeba pouze přečíst výsledek nahlas, vyžaduje to málo paměti uživatele, dokonce i k odečtení čísel libovolné velikosti.

Po jednom místě je zpracováno zleva doprava.

Příklad: 4075 - 1844 ------ Tisíce: 4 - 1 = 3, podívejte se doprava, 075 <844, je třeba si půjčit. 3 - 1 = 2, řekněte „Dva tisíce“. Jeden hraje spíše 3: 1 než 4: 1, protože sloupec vpravo si bude půjčovat z tisíce míst. Stovky: 0 - 8 = zde nejsou povolena záporná čísla. Jedním z nich je zvětšení tohoto místa pomocí čísla jedna vypůjčeného ze sloupce nalevo. Proto: 10 - 8 = 2. Je to spíše 10 než 0, protože jeden si půjčil od tisíce lidí. 75> 44, takže si nemusíte půjčovat, řekněte „dvě stě“ Desítky: 7 - 4 = 3, 5> 4, takže 5-4 = 1

Výsledek je tedy 2231.

Výpočet produktů: A × b

Mnoho z těchto metod funguje kvůli distribuční vlastnictví.

Násobení jakýchkoli dvou čísel připojením, odečtením a směrováním

Objevil Artem Cheprasov, existuje metoda násobení, která umožňuje uživateli využít 3 kroky k rychlému znásobení čísel jakékoli velikosti třemi jedinečnými způsoby.^[2][3]

Nejprve metoda umožňuje uživateli připojit čísla k sobě navzájem, na rozdíl od jejich přidávání nebo odečítání, během mezilehlých kroků, aby se urychlila rychlost násobení. Například místo přidání nebo odečtení zprostředkujících výsledků, jako jsou 357 a 84, mohl uživatel jednoduše připojit čísla dohromady (35784), aby zjednodušil a vysvětlil problém s násobením. Vzájemné připojování čísel pomáhá obejít zbytečné kroky v tradičních technikách násobení.

Za druhé, tato metoda podle potřeby používá záporná čísla, a to i při vynásobení dvou kladných celých čísel, aby se urychlila rychlost násobení pomocí odčítání. To znamená, že lze vynásobit dvě kladná celá čísla, abychom získali záporné mezikroky, a přesto na konci správná pozitivní odpověď. Tato záporná čísla jsou ve skutečnosti automaticky odvozena od samotných kroků násobení a jsou tedy jedinečná pro konkrétní problém. Opět platí, že takové negativní mezikroky jsou navrženy tak, aby pomohly urychlit mentální matematiku.

A konečně, dalším jedinečným aspektem použití této metody je, že uživatel je schopen zvolit jednu z několika různých „cest násobení“ konkrétního problému násobení na základě svých subjektivních preferencí nebo silných a slabých stránek s konkrétními celými čísly.

Navzdory stejným počátečním celým číslům vydávají různé multiplikační cesty různá střední čísla, která jsou automaticky odvozována pro uživatele při jejich násobení. Někteří z těchto zprostředkovatelů mohou být jednodušší než ostatní (např. Někteří uživatelé mohou najít trasu, která používá záporné číslo 7, zatímco jiná cesta používá 5 nebo 0, s nimiž se většinou většinou lépe pracuje, ale ne ve všech případech).

Pokud se zdá, že jedna „trasa“ je pro jednoho studenta obtížnější, než jiná trasa a její přechodná čísla, může si tento student jednoduše zvolit jinou jednodušší cestu násobení pro sebe, i když je to stejný původní problém.

Vzorec „Konec pěti“

U libovolného problému s násobením 2 číslice a 2 číslice, pokud obě čísla končí pěti, lze k jejich rychlému násobení použít následující algoritmus:^[2]

${ displaystyle Ex: 35 krát 75}$

Jako předběžný krok jednoduše zaokrouhlete menší číslo dolů a větší nahoru na nejbližší násobek deseti. V tomto případě:

${ textstyle 35-5 = 30 = X}$

${ displaystyle 75 + 5 = 80 = Y}$

Algoritmus zní takto:

${ displaystyle (X krát Y) +50 (t_ {1} -t_ {2}) + 25}$

Kde t₁ je jednotka desítek původního většího čísla (75) at₂ je jednotka desítek původního menšího počtu (35).

${ displaystyle = 30 krát 80 + 50 (7-3) + 25 = 2625}$

Autor také nastíní další podobný algoritmus, pokud chce zaokrouhlovat původní větší číslo dolů a původní menší číslo nahoru.

Vzorec „dlužníka“

Pokud jsou dvě čísla ve stejné vzdálenosti od nejbližšího násobku 100, lze k nalezení produktu použít jednoduchý algoritmus.^[2]

Jako jednoduchý příklad:

${ displaystyle 33 krát 67}$

Obě čísla jsou ve stejné vzdálenosti (33 vzdálených) od jejich nejbližšího násobku 100 (0, respektive 100).

Jako předběžný krok jednoduše zaokrouhlete menší číslo dolů a větší nahoru na nejbližší násobek deseti. V tomto případě:

${ textstyle 33-3 = 30 = X}$

${ displaystyle 67 + 3 = 70 = Y}$

Algoritmus zní takto:

${ displaystyle (X krát Y) + u_ {1} krát u_ {2} + u_ {2} (T_ {1} -T_ {2})}$

Kde ty₁ je číslice původního většího počtu (67) jednotek a u₂ je číslice původního menšího počtu (33) jednotek. T₁ je desítková číslice původního většího čísla a T₂ je desítková číslice původního většího čísla vynásobená jejich příslušnou silou (v tomto případě 10 pro desítkovou číslici).

A tak:

${ Displaystyle (30 krát 70) +7 krát 3 + 3 (60-30) = 2100 + 21 + 90 = 2211}$

Násobení libovolných dvouciferných čísel

Pro snadné násobení libovolných dvouciferných čísel dohromady je jednoduchý algoritmus následující (kde a je desítková číslice prvního čísla, b je jednicová číslice prvního čísla, c je desítková číslice druhého čísla a d je jedna číslice druhého čísla):

${ displaystyle (10a + b) cdot (10c + d)}$

${ displaystyle = 100 (a cdot c) +10 (b cdot c) +10 (a cdot d) + b cdot d}$

Například,

${ Displaystyle 23 cdot 47 = 100 (2 cdot 4) +10 (3 cdot 4) +10 (2 cdot 7) +3 cdot 7}$

  800 +120 +140 + 21----- 1081

Všimněte si, že se jedná o stejnou věc jako konvenční součet dílčích produktů, jen stručně přepracovaný. Aby se minimalizoval počet prvků, které se uchovávají v paměti, může být vhodné nejprve provést součet multiplikačního součinu „cross“ a poté přidat další dva prvky:

${ displaystyle (a cdot d + b cdot c) cdot 10}$

${ displaystyle {} + b cdot d}$ [z toho pouze desítky číslic budou zasahovat do prvního členu]

${ displaystyle {} + a cdot c cdot 100}$

tj. v tomto příkladu

(12 + 14) = 26, 26 × 10 = 260,

ke kterému je snadné přidat 21: 281 a poté 800: 1081

Snadná mnemotechnická pomůcka k zapamatování by byla FÓLIE. F znamená první, O znamená vnější, I znamená vnitřní a L znamená poslední. Například:

${ displaystyle 75 cdot 23}$

a

${ displaystyle ab cdot cd}$

kde 7 je A, 5 je b, 2 je C a 3 je d.

Zvážit

${ displaystyle a cdot c cdot 100+ (a cdot d + b cdot c) cdot 10 + b cdot d}$

tento výraz je analogický jakémukoli číslu v základně 10 se stovkami, desítkami a jednotkami. Na FOIL lze také pohlížet jako na číslo, kde F jsou stovky, OI jsou desítky a L jsou ty.

${ displaystyle a cdot c}$ je součin první číslice každého ze dvou čísel; F.

${ displaystyle (a cdot d + b cdot c)}$ je součet součinů vnějších a vnitřních číslic; OI.

${ displaystyle b cdot d}$ je součinem poslední číslice každého ze dvou čísel; L.

Vynásobením 2 nebo jinými malými čísly

Pokud je jedno vynásobené číslo dostatečně malé, aby se dalo snadno vynásobit jakoukoli jedinou číslicí, lze produkt snadno vypočítat číslicí po číslici zprava doleva. To je zvláště snadné pro násobení 2, protože nosná číslice nemůže být větší než 1.

Například pro výpočet 2 × 167: 2 × 7 = 14, takže poslední číslice je 4, s 1 nesenou a přidanou k 2 × 6 = 12 za vzniku 13, takže další číslice je 3 s 1 nesl a přidal se k 2 × 1 = 2 dát 3. Produkt je tedy 334.

Vynásobením 5

Chcete-li vynásobit číslo 5,

1. Nejprve toto číslo vynásobte 10, poté ho vydělte 2. Tyto dva kroky jsou vzájemně zaměnitelné, tj. Lze číslo snížit na polovinu a poté ho vynásobit.

Následující algoritmus představuje rychlý způsob, jak dosáhnout tohoto výsledku:

2. Přidejte nulu na pravou stranu požadovaného čísla. (A.) 3. Dále počínaje číslicí úplně vlevo vydělte 2 (B.) a připojte každý výsledek v příslušném pořadí, abyste vytvořili nové číslo; (odpovědi na zlomky by měly být zaokrouhleny dolů na nejbližší celé číslo).

PŘÍKLAD: Vynásobte 176 číslem 5. A. Přidejte nulu k číslu 176, čímž získáte 1760. B. Vydělte 2 počínaje nalevo. 1. Vydělením 1 na 2 získáte 0,5, zaokrouhleno dolů na nulu. 2. Rozdělte 7 na 2 a získejte 3,5, zaokrouhleno dolů na 3. 3. Vydělte 6 a 2 a získejte 3. Nula dělená dvěma je prostě nula.

Výsledné číslo je 0330. (Toto není konečná odpověď, ale první aproximace, která bude upravena v následujícím kroku :)

     C. Přidejte 5 k číslu, které následuje za každou jednotlivou číslicí v tomto novém čísle, které bylo liché, než vydělíte dvěma;

PŘÍKLAD: 176 (PRVNÍ, DRUHÉ TŘETÍ MÍSTA):

           1. PRVNÍ místo je 1, což je zvláštní. PŘIDEJTE 5 k číslici za prvním místem v novém čísle (0330), které je 3; 3 + 5 = 8. 2. Liché je také číslo na druhém místě 176, 7. Odpovídající číslo (0 8 3 0) se také zvýší o 5; 3 + 5 = 8. 3. Číslice na třetím místě 176, 6, je sudá, proto se konečné číslo, nula, v odpovědi nezmění. Tato konečná odpověď je 880. Nulu zcela vlevo lze vynechat a ponechat 880. Takže 176krát 5 se rovná 880.

PŘÍKLAD: Vynásobte 288 čísly 5.

A. Rozdělte 288 na 2. Každou číslici můžete rozdělit jednotlivě, abyste získali 144. (Dělení menšího počtu je snazší.)

B. Vynásobte 10. Přidáním nuly získáte výsledek 1440.

Vynásobením 9

Protože 9 = 10 - 1, vynásobte číslo devíti, vynásobte je 10 a poté odečtěte původní číslo od výsledku. Například 9 × 27 = 270 - 27 = 243.

Tuto metodu lze upravit tak, aby se vynásobila osmi místo devíti, a to zdvojnásobením odečítaného čísla; 8 × 27 = 270 - (2 × 27) = 270 - 54 = 216.

Podobně přidáním místo odečtení lze stejné metody použít k násobení 11 a 12 (i když existují jednodušší metody k násobení 11).

Používání rukou: 1–10 vynásobeno 9

Chcete-li použít tuto metodu, musíte dát ruce před sebe, dlaně směrem k nim. Přiřaďte levý palec 1, levý index 2, a tak dále až k pravému palci je deset. Každý znak „|“ symbolizuje zvednutý prst a „-“ představuje ohnutý prst.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | | | | | | | | | | levá ruka pravá ruka

Ohněte prst, který představuje číslo, vynásobené devíti dolů.

Příklad: 6 × 9 by bylo

| | | | |  − | | | |

Pravý malý prst je dole. Vezměte počet prstů stále zdvižených nalevo od ohnutého prstu a přidejte jej k počtu prstů vpravo.

Příklad: U pravého malého prstu je pět prstů vlevo a čtyři u pravého malého prstu. Takže 6 × 9 = 54.

    5           4| | | | |  − | | | |

Vynásobením 10 (a pravomocí deseti)

Chcete-li celé číslo vynásobit 10, jednoduše přidejte na konec čísla další 0. Chcete-li vynásobit celé číslo 10, přesuňte desetinnou čárku na jednu pravou číslici.

Obecně pro základní desítku, vynásobit 10ⁿ (kde n je celé číslo), přesuňte desetinnou čárku n číslice vpravo. Li n je záporné, přesuňte desetinné místo |n| číslice vlevo.

Vynásobením 11

U jednociferných čísel jednoduše duplikujte číslo na desítkovou číslici, například: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, až 9 × 11 = 99.

Produkt pro jakoukoli větší nenulovou hodnotu celé číslo lze najít řadou dodatků ke každé ze svých číslic zprava doleva, dvě po druhé.

Nejprve vezměte číslici jedničky a zkopírujte ji do dočasného výsledku. Dále počínaje jednotkovou číslicí multiplikátoru přidejte každou číslici k číslici nalevo. Každá částka je poté přidána nalevo od výsledku před všechny ostatní. Pokud je číslo 10 nebo vyšší, vezměte desítkovou číslici, která bude vždy 1, a přeneste ji k dalšímu sčítání. Nakonec zkopírujte multiplikátory zleva nejvíce (nejcennější) číslici do přední části výsledku a v případě potřeby přidejte nesenou 1, abyste získali konečný produkt.

V případě záporné jedenáctky použije multiplikátor nebo oba znaménko na konečný produkt podle normálního násobení obou čísel.

Podrobný příklad 759 × 11:

1. Jedna číslice multiplikátoru, 9, se zkopíruje do dočasného výsledku.
   • výsledek: 9
2. Přidat 5 + 9 = 14, takže 4 je umístěno na levé straně výsledku a nést 1.
   • výsledek: 49
3. Podobně přidejte 7 + 5 = 12, poté přidejte nesenou 1 a získejte 13. Umístěte 3 k výsledku a vezměte 1.
   • výsledek: 349
4. Přidejte nesenou 1 k číslici s nejvyšší hodnotou v multiplikátoru, 7 + 1 = 8, a zkopírujte do výsledku pro dokončení.
   • Konečný produkt 759 × 11: 8349

Další příklady:

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • Všimněte si zpracování 9 + 1 jako číslice s nejvyšší hodnotou.
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

Další metodou je jednoduché vynásobení čísla 10 a přidání původního čísla k výsledku.

Například:

17 × 11

     17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Poslední snadný způsob:

Pokud má jeden dvouciferné číslo, vezměte ho a sečtěte dvě čísla dohromady a vložte tento součet do středu a jeden může dostat odpověď.

Například: 24 x 11 = 264, protože 2 + 4 = 6 a 6 je umístěno mezi 2 a 4.

Druhý příklad: 87 x 11 = 957, protože 8 + 7 = 15, takže 5 jde mezi 8 a 7 a 1 se přenáší na 8. Takže je to v podstatě 857 + 100 = 957.

Nebo pokud se 43 x 11 rovná prvním 4 + 3 = 7 (pro desítkovou číslici), pak 4 je pro stovky a 3 pro desítky. A odpověď je 473

Násobení dvou dvouciferných čísel mezi 11 a 19

Chcete-li snadno vynásobit 2místná čísla společně mezi 11 a 19, jednoduchý algoritmus je následující (kde a je jednotková číslice prvního čísla ab je jednotná číslice druhého čísla):

(10 + a) × (10 + b) 100 + 10 × (a + b) + a × bkteré lze vizualizovat jako tři přidané části: 1xx yy například: 17 × 161 = 10013 (7 + 6) = 10 × (a + b) 42 (7 × 6) = a × b272 (celkem)

Používání rukou: 6–10 vynásobeno dalším číslem 6–10

Tato technika umožňuje vynásobení čísla od 6 do 10 jiným číslem od 6 do 10.

Přiřaďte 6 malému prstu, 7 prstenníku, 8 prostředníku, 9 ukazováku a 10 palci. Dotkněte se společně dvou požadovaných čísel. Bod dotyku a níže je považován za „spodní“ sekci a vše nad dvěma prsty, které se dotýkají, je součástí „horní“ sekce. Odpověď je vytvořena přidáním desetinásobku celkového počtu „spodních“ prstů k součinu počtu levých a pravých „horních“ prstů.

Například 9 × 6 bude vypadat takto, přičemž se levý ukazováček dotkne pravého malého prstu:

                               = 10 ==: pravý palec (nahoře) == 9 ==: pravý ukazováček (nahoře) == 8 ==: pravý prostředníček (nahoře) levý palec: = 10 == == 7 ==: pravý prsten (horní) levý ukazováček: --9 ---> <--- 6--: pravý malíček (DOLNÍ) levý prostředníček: --8-- (DOLNÍ) levý prsteníček: --7-- ( DOLNÍ) levý malíček: --6-- (DOLNÍ)

V tomto příkladu je 5 „spodních“ prstů (levý ukazováček, prostřední prsten a malíček plus pravý malíček), 1 levý „horní“ prst (levý palec) a 4 pravé „horní“ prsty (pravý palec, ukazováček, prostředníček a prsteníček). Výpočet tedy probíhá následovně: 9 × 6 = (10 × 5) + (1 × 4) = 54.

Zvažte další příklad, 8 × 7:

                               = 10 ==: pravý palec (nahoře) levý palec: = 10 == == 9 ==: pravý ukazováček (nahoře) levý ukazováček: == 9 == == 8 ==: pravý prostředníček (nahoře) levý prostředníček: --8 ---> <--- 7--: pravý prsteníček (DOLNÍ) levý prsteníček: --7-- --6--: pravý malíček (DOLNÍ) levý malíček: --6-- (DOLNÍ)

Pět spodních prstů činí 5 desítek neboli 50. Dva levé horní prsty a tři horní pravé prsty dělají produkt 6. Souhrnem těchto výsledků získá odpověď, 56.

Další příklad, tentokrát s použitím 6 × 8:

 --8---><---6-- --7-- --6--

Čtyři desítky (dole), plus dvakrát čtyři (nahoře) dává 40 + 2 × 4 = 48.

Funguje to takto: každý prst představuje číslo mezi 6 a 10. Když se jeden připojí, představují prsty X a y, bude 10 - X "horní" prsty a X - 5 „spodních“ prstů na levé ruce; pravá ruka bude mít 10 - y "horní" prsty a y - 5 "spodních" prstů.

Nechat

${ displaystyle , t_ {L} = 10-x ,}$ (počet „horních“ prstů na levé ruce)

${ displaystyle , t_ {R} = 10 let ,}$ (počet „horních“ prstů na pravé ruce)

${ displaystyle , b_ {L} = x-5 ,}$ (počet „spodních“ prstů na levé ruce)

${ displaystyle , b_ {R} = y-5 ,}$ (počet „spodních“ prstů na pravé ruce)

Postupuje se podle výše uvedených pokynů

${ displaystyle , 10 (b_ {L} + b_ {R}) + t_ {L} t_ {R}}$

${ displaystyle , = 10 [(x-5) + (y-5)] + (10-x) (10-y)}$

${ displaystyle , = 10 (x + y-10) + (100-10x-10y + xy)}$

${ displaystyle , = [10 (x + y) -100] + [100-10 (x + y) + xy]}$

${ displaystyle , = [10 (x + y) -10 (x + y)] + [100-100] + xy}$

${ displaystyle , = xy}$

což je požadovaný produkt.

Násobení dvou čísel blízko a pod 100

Tato technika umožňuje snadné násobení čísel blízko a pod 100. (90-99)^[4] Proměnné budou dvě čísla, která se vynásobí.

Výsledkem součinu dvou proměnných v rozmezí od 90 do 99 bude čtyřmístné číslo. Prvním krokem je nalezení jednociferné a desítkové číslice.

Odečtěte obě proměnné od 100, což bude mít za následek 2 jednociferné číslo. Součin dvou jednociferných čísel bude poslední dvě číslice konečného produktu.

Dále odečtěte jednu ze dvou proměnných od 100. Potom odečtěte rozdíl od druhé proměnné. Tímto rozdílem budou první dvě číslice konečného produktu a výsledné čtyřciferné číslo bude konečným produktem.

Příklad:

          95 x 97 ---- Poslední dvě číslice: 100-95 = 5 (odečíst první číslo od 100) 100-97 = 3 (odečíst druhé číslo od 100) 5 * 3 = 15 (vynásobte dva rozdíly) Konečný produkt - yx15První dvě číslice: 100-95 = 5 (Odečtěte první číslo rovnice od 100) 97-5 = 92 (Odečtěte tuto odpověď od druhého čísla rovnice) Rozdíl bude nyní první dvě číslice                  Konečný produkt - 9215Alternativní pro první dvě číslice                  5 + 3 = 8 (Přidejte dvě jednotlivé číslice odvozené při výpočtu „Poslední dvě číslice“ v předchozím kroku) 100-8 = 92 (Odečtěte tuto odpověď od 100) Rozdíl bude nyní první dvě číslice                  Konečný produkt - 9215

Pomocí čtvercových čísel

Součin malých čísel lze vypočítat pomocí čtverců celých čísel; například pro výpočet 13 × 17 lze poznamenat, že 15 je průměrem dvou faktorů a uvažujte o tom jako (15 - 2) × (15 + 2), tj. 15² − 2². S vědomím, že 15² je 225 a 2² je 4, jednoduché odčítání ukazuje, že 225 - 4 = 221, což je požadovaný produkt.

Tato metoda vyžaduje znát zpaměti určitý počet čtverců:

Srovnání čísel

Může být užitečné si uvědomit, že rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími druhými čísly je součtem jejich příslušných odmocnin. Pokud tedy člověk ví, že 12 × 12 = 144 a chce vědět 13 × 13, vypočítá 144 + 12 + 13 = 169.

To je proto, že (X + 1)² − X² = X² + 2X + 1 − X² = X + (X + 1)

X² = (X − 1)² + (2X − 1)

Srovnání libovolného čísla

Vezměte dané číslo a přidejte a odečtěte od něj určitou hodnotu, která usnadní násobení. Například:

492²

492 je blízko 500, což je snadné vynásobit. Přidejte a odečtěte 8 (rozdíl mezi 500 a 492), abyste získali

492 -> 484, 500

Vynásobte tato čísla dohromady a získejte 242 000 (Toho lze dosáhnout efektivně vydělením 484 2 = 242 a vynásobením 1000). Nakonec přidejte rozdíl (8) na druhou (8² = 64) k výsledku:

492² = 242,064

Následuje důkaz:

${ displaystyle n ^ {2} = n ^ {2}}$

${ displaystyle n ^ {2} = (n ^ {2} -a ^ {2}) + a ^ {2}}$

${ displaystyle n ^ {2} = (n ^ {2} -an + an-a ^ {2}) + a ^ {2}}$

${ displaystyle n ^ {2} = (n-a) (n + a) + a ^ {2}}$

Druhá mocnina jakéhokoli 2-místného celého čísla

Tato metoda vyžaduje zapamatování čtverců jednociferných čísel 1 až 9.

Náměstí mn, mn jako dvouciferné celé číslo, lze vypočítat jako

10 × m(mn + n) + n²

To znamená čtverec mn lze najít přidáním n na mn, vynásobeno m, přidáním 0 na konec a nakonec přidáním čtverce n.

Například 23²:

23²

= 10 × 2(23 + 3) + 3²

= 10 × 2(26) + 9

= 520 + 9

= 529

Takže 23.² = 529.

Srovnání čísla končícího na 5

1. Vezměte číslice, které předcházejí pětce: abc5, kde a, b, a C jsou číslice
2. Vynásobte toto číslo samo o sobě plus jedno: abc(abc + 1)
3. Vezměte výše uvedený výsledek a připojte 25 do konce
   • Příklad: 85 × 85
     1. 8
     2. 8 × 9 = 72
     3. Takže 85² = 7,225
   • Příklad: 125²
     1. 12
     2. 12 × 13 = 156
     3. Takže 125² = 15,625
   • Matematické vysvětlení

Srovnání čísel velmi blízkých 50

Předpokládejme, že je potřeba číslo umocnit na druhou n blízko 50.

Počet může být vyjádřen jako n = 50 − A takže jeho čtverec je (50−A)² = 50² − 100A + A². Jeden ví, že 50² je 2500. Takže jeden odečte 100A od 2500, a pak přidat A².

Příklad, řekněme, že někdo chce umocnit 48, což je 50 - 2. Jeden odečte od 2500 od 2500 a přičte 4 a dostanete n² = 2304. Pro čísla větší než 50 (n = 50 + A), přidejte 100 ×A místo odečtení.

Srovnat celé číslo od 26 do 74

Tato metoda vyžaduje zapamatování čtverců od 1 do 24.

Náměstí n (nejsnadněji vypočítatelné, když n je mezi 26 a 74 včetně) je

(50 − n)² + 100(n − 25)

Jinými slovy, čtverec čísla je čtverec jeho rozdílu od padesáti přidaných k stonásobku rozdílu čísla a dvaceti pěti. Například na čtverec 62:

(−12)² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3,700

= 3,844

Srovnání celého čísla poblíž 100 (např. Od 76 do 124)

Tato metoda vyžaduje zapamatování čtverců od 1 do A kde A je absolutní rozdíl mezi n a 100. Například studenti, kteří si zapamatovali své čtverce od 1 do 24, mohou použít tuto metodu na jakékoli celé číslo od 76 do 124.

Náměstí n (tj. 100 ± A) je

100(100 ± 2A) + A²

Jinými slovy, čtverec čísla je druhou mocninou jeho rozdílu od 100 přidaného k součinu sto a rozdílu sto a součinu dvou a rozdílu sto a čísla. Například na čtverec 93:

100(100 − 2(7)) + 7²

= 100 × 86 + 49

= 8,600 + 49

= 8,649

Další způsob, jak se na to podívat, by byl tento:

93² =? (je −7 ​​ze 100)

93 - 7 = 86 (to dává první dvě číslice)

(−7)² = 49 (to jsou druhé dvě číslice)

93² = 8649

Další příklad:

 822 =? (je −18 ze 100) 82 - 18 = 64 (odečíst. První číslice.) (−18)2 = 324 (druhý pár číslic. Jeden bude muset nést 3.) 822 = 6724

Srovnání libovolného celého čísla poblíž 10ⁿ (např. 976 až 1024, 9976 až 10024 atd.)

Tato metoda je přímým rozšířením výše uvedeného vysvětlení pro umocnění celého čísla poblíž 100.

 10122 =? (1012 je +12 z 1000) (+12)2 = 144      (n koncové číslice) 1012 + 12 = 1024 (úvodní číslice) 10122 = 1024144

 99972 =? (9997 je -3 z 10 000) (-3)2 = 0009       (n koncové číslice) 9997 - 3 = 9994 (počáteční číslice) 99972 = 99940009

Srovnání libovolného celého čísla blízko m × 10ⁿ (např. 276 až 324, 4976 až 5024, 79976 až 80024)

Tato metoda je přímým rozšířením výše uvedeného vysvětlení pro celá čísla blízká 10ⁿ.

 4072 =? (407 je +7 ze 400) (+7)2 = 49      (n koncové číslice) 407 + 7 = 414 414 × 4 = 1656 (úvodní číslice; všimněte si tohoto násobení m nebyla potřeba pro celá čísla od 76 do 124, protože jejich m = 1) 4072 = 165649

 799912 =? (79991 je -9 z 80000) (-9)2 = 0081        (n koncové číslice) 79991 - 9 79982 × 8 = 639856 (úvodní číslice) 799912 = 6398560081

Hledání kořenů

Sbližování druhé odmocniny

Snadný způsob, jak přiblížit odmocnina čísla je použít následující rovnici:

${ displaystyle { text {root}} simeq { text {známá druhá odmocnina}} - { frac {{ text {známý čtverec}} - { text {neznámý čtverec}}} {2 krát { text {známá odmocnina}}}} ,}$

Čím blíže známé náměstí je neznámo, tím přesnější je aproximace. Například pro odhad druhé odmocniny 15 bychom mohli začít s vědomím, že nejbližší dokonalá druhá odmocnina je 16 (4²).

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { text {root}} & simeq 4 - { frac {16-15} {2 krát 4}} & simeq 4-0,125 & simeq 3,875 end {zarovnáno}} , !}$

Odhadovaná odmocnina 15 je tedy 3,875. Skutečná odmocnina 15 je 3,872983 ... Je třeba si uvědomit, že bez ohledu na původní odhad bude odhadovaná odpověď vždy větší než skutečná odpověď kvůli nerovnost aritmetických a geometrických prostředků. Jeden by se tedy měl pokusit zaokrouhlovat odhadovanou odpověď dolů.

Všimněte si, že pokud n² je nejbližší dokonalý čtverec požadovanému čtverci X a d = X - n² je jejich rozdíl, je vhodnější vyjádřit tuto aproximaci ve formě smíšené frakce jako ${ displaystyle n { tfrac {d} {2n}}}$. V předchozím příkladu je tedy druhá odmocnina 15 ${ displaystyle 4 { tfrac {-1} {8}}.}$ Jako další příklad druhá odmocnina 41 je ${ displaystyle 6 { tfrac {5} {12}} = 6,416}$ zatímco skutečná hodnota je 6,4031 ...

Derivace

Podle definice, pokud r je druhá odmocnina x, pak

${ displaystyle mathrm {r} ^ {2} = x , !}$

Jeden pak předefinuje kořen

${ displaystyle mathrm {r} = a-b , !}$

kde A je známý kořen (4 z výše uvedeného příkladu) a b je rozdíl mezi známým kořenem a odpovědí, kterou člověk hledá.

${ displaystyle (a-b) ^ {2} = x , !}$

Zvyšování výnosů

${displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x,!}$

If 'a' is close to the target, 'b' will be a small enough number to render the ${displaystyle {}+b^{2},}$ element of the equation negligible. Thus, one can drop ${displaystyle {}+b^{2},}$ out and rearrange the equation to

${displaystyle bsimeq {frac {a^{2}-x}{2a}},!}$

a proto

${displaystyle mathrm {root} simeq a-{frac {a^{2}-x}{2a}},!}$

that can be reduced to

${displaystyle mathrm {root} simeq {frac {a^{2}+x}{2a}},!}$

Extracting roots of perfect powers

Extracting roots of dokonalé síly is often practiced. The difficulty of the task does not depend on the number of digits of the perfect power but on the precision, i.e. the number of digits of the root. In addition, it also depends on the order of the root; finding perfect roots, where the order of the root is coprime with 10 are somewhat easier since the digits are scrambled in consistent ways, as in the next section.

Extracting cube roots

An easy task for the beginner is extracting cube roots from the cubes of 2 digit numbers. For example, given 74088, determine what two digit number, when multiplied by itself once and then multiplied by the number again, yields 74088. One who knows the method will quickly know the answer is 42, as 42³ = 74088.

Before learning the procedure, it is required that the performer memorize the cubes of the numbers 1-10:

Observe that there is a pattern in the rightmost digit: adding and subtracting with 1 or 3. Starting from zero:

• 0³ = 0
• 1³ = 1 up 1
• 2³ = 8 down 3
• 3³ = 27 down 1
• 4³ = 64 down 3
• 5³ = 125 up 1
• 6³ = 216 up 1
• 7³ = 343 down 3
• 8³ = 512 down 1
• 9³ = 729 down 3
• 10³ = 1000 up 1

There are two steps to extracting the cube root from the cube of a two digit number. For example, extracting the cube root of 29791. Determine the one's place (units) of the two digit number. Since the cube ends in 1, as seen above, it must be 1.

• If perfect cube ends in 0, the cube root of it must end in 0.
• If perfect cube ends in 1, the cube root of it must end in 1.
• If perfect cube ends in 2, the cube root of it must end in 8.
• If perfect cube ends in 3, the cube root of it must end in 7.
• If perfect cube ends in 4, the cube root of it must end in 4.
• If perfect cube ends in 5, the cube root of it must end in 5.
• If perfect cube ends in 6, the cube root of it must end in 6.
• If perfect cube ends in 7, the cube root of it must end in 3.
• If perfect cube ends in 8, the cube root of it must end in 2.
• If perfect cube ends in 9, the cube root of it must end in 9.

Note that every digit corresponds to itself except for 2, 3, 7 and 8, which are just subtracted from ten to obtain the corresponding digit.

The second step is to determine the first digit of the two digit cube root by looking at the magnitude of the given cube. To do this, remove the last three digits of the given cube (29791 → 29) and find the greatest cube it is greater than (this is where knowing the cubes of numbers 1-10 is needed). Here, 29 is greater than 1 cubed, greater than 2 cubed, greater than 3 cubed, but not greater than 4 cubed. The greatest cube it is greater than is 3, so the first digit of the two digit cube must be 3.

Therefore, the cube root of 29791 is 31.

Another example:

• Find the cube root of 456533.
• The cube root ends in 7.
• After the last three digits are taken away, 456 remains.
• 456 is greater than all the cubes up to 7 cubed.
• The first digit of the cube root is 7.
• The cube root of 456533 is 77.

This process can be extended to find cube roots that are 3 digits long, by using arithmetic modulo 11.^[5]

These types of tricks can be used in any root where the order of the root is coprime with 10; thus it fails to work in square root, since the power, 2, divides into 10. 3 does not divide 10, thus cube roots work.

Approximating common logarithms (log base 10)

To approximate a common logarithm (to at least one decimal point accuracy), a few logarithm rules, and the memorization of a few logarithms is required. One must know:

• log(a × b) = log(a) + log(b)
• log(a / b) = log(a) - log(b)
• log(0) does not exist
• log(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(7) ~ .85

From this information, one can find the logarithm of any number 1-9.

• log(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ .60
• log(5) = log(10 / 2) = log(10) − log(2) ~ .70
• log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ .78
• log(7) ~ .85
• log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ .90
• log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ .96
• log(10) = 1 + log(1) = 1

The first step in approximating the common logarithm is to put the number given in scientific notation. For example, the number 45 in scientific notation is 4.5 × 10¹, but one will call it a × 10^b. Next, find the logarithm of a, which is between 1 and 10. Start by finding the logarithm of 4, which is .60, and then the logarithm of 5, which is .70 because 4.5 is between these two. Next, and skill at this comes with practice, place a 5 on a logarithmic scale between .6 and .7, somewhere around .653 (NOTE: the actual value of the extra places will always be greater than if it were placed on a regular scale. i.e., one would expect it to go at .650 because it is halfway, but instead it will be a little larger, in this case .653) Once one has obtained the logarithm of a, simply add b to it to get the approximation of the common logarithm. In this case, a + b = .653 + 1 = 1.653. The actual value of log(45) ~ 1.65321.

The same process applies for numbers between 0 and 1. For example, 0.045 would be written as 4.5 × 10⁻². The only difference is that b is now negative, so when adding one is really subtracting. This would yield the result 0.653 − 2, or −1.347.

Mental arithmetic as a psychological skill

Physical exertion of the proper level can lead to an increase in performance of a mental task, like doing mental calculations, performed afterward.^[6] It has been shown that during high levels of physical activity there is a negative effect on mental task performance.^[7] This means that too much physical work can decrease accuracy and output of mental math calculations. Fyziologický measures, specifically EEG, have been shown to be useful in indicating duševní pracovní zátěž.^[8] Using an EEG as a measure of mental workload after different levels of physical activity can help determine the level of physical exertion that will be the most beneficial to mental performance. Previous work done at Michiganská technologická univerzita by Ranjana Mehta includes a recent study that involved participants engaging in concurrent mental and physical tasks.^[9] This study investigated the effects of mental demands on physical performance at different levels of physical exertion and ultimately found a decrease in physical performance when mental tasks were completed concurrently, with a more significant effect at the higher level of physical workload. The Brown-Peterson procedure is a widely known task using mental arithmetic. This procedure, mostly used in poznávací experiments, suggests mental subtraction is useful in testing the effects maintenance rehearsal can have on how long krátkodobá paměť lasts.

Mental Calculations World Championship

The first Mental Calculations World Championship took place in 1997. This event repeats every year. It consists of a range of different tasks such as addition of ten ten-digit numbers, multiplication of two eight-digit numbers, calculation of square roots, calculation of weekdays for given dates, calculation of cube roots, and some surprise miscellaneous tasks.

Mentální výpočet Světového poháru

The first World Mental Calculation Championships (Mentální výpočet Světového poháru )^[10] took place in 2004. They are repeated every second year. It consists of six different tasks: addition of ten ten-digit numbers, multiplication of two eight-digit numbers, calculation of square roots, and calculation of weekdays for given dates, calculation of cube roots plus some surprise miscellaneous tasks.

Memoriad – World Memory, Mental Calculation & Speed Reading Olympics

Memoriad^[11] is the first platform combining "mental calculation", "memory" and "photographic reading" competitions. Games and competitions are held in the year of the Olympic games, every four years.The first Memoriad was held in Istanbul, krocan, in 2008.The second Memoriad took place in Antalya, krocan on 24–25 November 2012. 89 competitors from 20 countries participated. Awards and money prizes were given for 10 categories in total; of which 5 categories had to do about Mental Calculation (Mental addition, Mental Multiplication, Mental Square Roots (non-integer), Mental Calendar Dates calculation and Flash Anzan).

Viz také

• Pravidlo soudného dne pro calculating the day of the week
• Duševní počítadlo
• Mentální kalkulačka
• Soroban

Reference

externí odkazy

• Mentální výpočet Světového poháru
• Memoriad - World Mental Olympics
• Tzourio-Mazoyer, Nathalie; Pesenti, Mauro; Zago, Laure; Crivello, Fabrice; Mellet, Emmanuel; Samson, Dana; Duroux, Bruno; Seron, Xavier; Mazoyer, Bernard (2001). "Mental calculation in a prodigy is sustained by right prefrontal and medial temporal areas". Přírodní neurovědy. 4 (1): 103–7. doi:10.1038/82831. PMID  11135652.
• Rivera, S.M.; Reiss, AL; Eckert, MA; Menon, V (2005). "Developmental Changes in Mental Arithmetic: Evidence for Increased Functional Specialization in the Left Inferior Parietal Cortex". Mozková kůra. 15 (11): 1779–90. doi:10.1093/cercor/bhi055. PMID  15716474.
• Large EEG waves ellicited by Mental Calculation PDF
• Mathletics - train or compete in Mental Math
• Mathematical Shortcuts from Vedic Maths