Násobení a opakované sčítání - Multiplication and repeated addition

v matematické vzdělávání, proběhla debata o tom, zda provoz násobení by měl být vyučován jako forma opakování přidání. Účastníci debaty přednesli několik pohledů, včetně axiomů aritmetiky, pedagogiky, učení a výuky, historie matematiky, filozofie matematiky a počítačové matematiky.

Pozadí diskuse

Na počátku 90. let navrhla Leslie Steffe schéma počítání, které děti používají k asimilaci násobení do svých matematických znalostí. Jere Confrey porovnal schéma počítání s domněnkou rozdělení. Confrey navrhl, že počítání a rozdělení jsou dva samostatné, nezávislé kognitivní primitivy. To vyvolalo akademické diskuse ve formě konferenčních prezentací, článků a kapitol knih.^{[Citace je zapotřebí ]}

Debata vycházela z širšího rozšíření osnov, které kladly důraz na škálování, zvětšování, skládání a měření matematických úkolů v prvních letech. Takové úkoly vyžadují i ​​podporují modely násobení, které nejsou založeny na počítání nebo opakovaném sčítání. Debaty kolem otázky: „Je násobení opravdu opakované sčítání?“ se objevil na diskusních fórech rodičů a učitelů v polovině 90. let.^{[Citace je zapotřebí ]}

Keith Devlin napsal a Mathematical Association of America sloupec s názvem „Není to žádné opakované přidání“, který navázal na jeho e-mailové výměny s učiteli poté, co se o tématu krátce zmínil v dřívějším článku.^[1] Sloupec propojil akademické debaty s debatami odborníků. To vyvolalo několik diskusí v blogech a fórech odborníků a odborníků. Keith Devlin pokračuje v psaní tohoto tématu.^[2][3][4]

Pedagogické perspektivy

Od počítání po násobení

V typických osnovách a standardech matematiky, jako je Společná iniciativa pro základní státní normy význam produktu reálných čísel prochází řadou pojmů, které obvykle začínají opakovaným přidáváním a nakonec spočívají ve škálování. Jakmile jsou přirozená (nebo celá) čísla definována a chápána jako prostředek počítání, dítě se seznámí se základními operacemi aritmetiky v tomto pořadí: sčítání, odčítání, násobení a dělení. Tyto operace, i když jsou zavedeny ve velmi rané fázi matematické výuky dítěte, mají trvalý dopad na vývoj smysl čísla u studentů jako pokročilé numerické schopnosti. V těchto učebních osnovách je násobení představeno bezprostředně po položení otázek souvisejících s opakovaným přidáváním, například: „Každý má 3 pytle s 8 jablky. Kolik jablek je celkem? Student může:

${ displaystyle 8 + 8 + 8 = 24,}$

nebo zvolte alternativu

${ displaystyle 3 krát 8 = 24.}$

Tento přístup je podporován po několik let výuky a učení a nastavuje vnímání, že násobení je jen efektivnější způsob přidávání. Jakmile je uvedena 0, neovlivní to žádnou významnou změnu, protože

${ displaystyle 3 times 0 = 0 + 0 + 0,}$

což je 0 a komutativní vlastnost by nás vedla také k definování

${ displaystyle 0 krát 3 = 0.}$

Opakované přidávání se tedy vztahuje na celá čísla (0, 1, 2, 3, 4, ...). První výzva k přesvědčení, že násobení se opakuje, se objeví, když studenti začnou pracovat s zlomky. Z matematického hlediska může být násobení jako opakované sčítání prodloužena na zlomky. Například,

${ displaystyle 7/4 krát 5/6}$

doslova volá po „jedné a třech čtvrtinách z pěti šestin.“ To je později významné, protože se studenti učí, že v slovních úlohách slovo „of“ obvykle označuje násobení. Toto rozšíření je však problematické pro mnoho studentů, kteří se při zavádění zlomků začínají potýkat s matematikou.^{[Citace je zapotřebí ]} Kromě toho musí být model opakovaného přidávání podstatně upraven, když iracionální čísla jsou uvedeny do hry.

Pokud jde o tyto problémy, učitelé matematiky diskutovali o tom, zda se potíže studentů s zlomky a iracionálními čísly zhoršují tím, že se na násobení pohlíží jako na opakované sčítání po dlouhou dobu před zavedením těchto čísel, a zda je přijatelné podstatně upravit přísnou matematiku pro základní vzdělávání, což vede děti věří tvrzením, která se později ukáží jako nesprávná.

Od škálování až po násobení

Násobení lze také považovat za škálování. Ve výše uvedené animaci vidíme, že 3 je vynásobeno 2 a výsledkem je 6.

Jedna teorie multiplikace učení je odvozena z práce ruských pedagogů matematiky v EU Vygotsky Circle který byl aktivní v Sovětský svaz mezi světovými válkami. Jejich příspěvek je znám jako domněnka o rozdělení.

Další teorie učení multiplikace pochází z těch, kteří studují ztělesněné poznání, který zkoumal základní metafory pro násobení.

Společně tato vyšetřování inspirovala osnovy s „inherentně multiplikativními“ úkoly pro malé děti.^{[Citace je zapotřebí ]} Mezi příklady těchto úkolů patří: elastické protahování, zvětšování, skládání, promítání stínů nebo padání stínů. Tyto úkoly nezávisí na počítání a nelze je snadno pojmout, pokud jde o opakované sčítání.

Otázky debaty týkající se těchto osnov zahrnují:

Co lze znásobit?

Násobení je často definováno pro přirozená čísla, poté rozšířena na celá čísla, zlomky a iracionální čísla. Nicméně, abstraktní algebra má obecnější definici násobení jako binární operace na některých objektech, které mohou nebo nemusí být čísla. Je pozoruhodné, že se člověk může množit komplexní čísla, vektory, matice, a čtveřice. Někteří pedagogové^{[Citace je zapotřebí ]} věřit, že vidění násobení výhradně jako opakovaného sčítání během základního vzdělávání může narušit pozdější pochopení těchto aspektů násobení.

Modely a metafory, které zakládají násobení

V kontextu výuky matematiky jsou modely konkrétními reprezentacemi abstraktních matematických myšlenek, které odrážejí některé nebo všechny základní vlastnosti této myšlenky. Modely jsou často vyvíjeny jako fyzické nebo virtuální manipulativy a učební materiály, které je doprovázejí. Součástí debaty o násobení a opakovaném sčítání je srovnání různých modelů a jejich kurikulárních materiálů. Různé modely mohou nebo nemusí podporovat násobení různých typů čísel; například nastavený model^[5] ve kterých jsou čísla prezentována jako kolekce objektů a násobení jako spojení více množin se stejným počtem objektů v každé nelze rozšířit na násobení zlomkových nebo reálných čísel. Pro konkrétní aplikace aritmetiky mohou být relevantní i různé modely; například kombinované modely přicházejí v pravděpodobnosti a biologii.

Reference