Vnořený radikál - Nested radical
v algebra, a vnořené radikály je radikální výraz (jeden obsahující znak odmocniny, znak krychle atd.), který obsahuje (hnízda) další radikální výraz. Mezi příklady patří
který vzniká při projednávání pravidelný pětiúhelník a složitější, jako jsou
Denestování
Některé vnořené radikály lze přepsat ve formě, která není vnořená. Například,
Přepisování vnořeného radikálu tímto způsobem se nazývá denesting. To není vždy možné a, i když je to možné, je to často obtížné.
Dvě vnořené odmocniny
V případě dvou vnořených odmocnin následující věta zcela vyřeší problém denestingu.[1]
Li A a C jsou racionální čísla a C není čtverec racionálního čísla, existují dvě racionální čísla X a y takhle
kdyby a jen kdyby je čtverec racionálního čísla d.
Pokud je vnořený radikál skutečný, X a y jsou dvě čísla
- a kde je racionální číslo.
Zejména pokud A a C jsou tedy celá čísla 2X a 2y jsou celá čísla.
Tento výsledek zahrnuje denesting formuláře
tak jako z může být vždy napsáno a alespoň jeden z výrazů musí být kladný (protože levá strana rovnice je kladná).
Obecnější denestační vzorec může mít podobu
Nicméně, Galoisova teorie znamená, že buď levá strana patří nebo to musí být získáno změnou znaménka kteréhokoli z nich nebo oboje. V prvním případě to znamená, že si člověk může vzít X = C a V druhém případě a další koeficient musí být nula. Li jeden může přejmenovat xy tak jako X za získání Podobně postupujeme, pokud výsledky, které lze předpokládat To ukazuje, že zdánlivě obecnější denestování lze vždy snížit na výše uvedené.
Důkaz: Srovnáním rovnice
je ekvivalentní s
a v případě minusu na pravé straně
- |X| ≥ |y|,
(odmocniny jsou nezáporné podle definice zápisu). Protože nerovnost může být vždy uspokojena případnou výměnou X a y, řešení první rovnice v X a y je ekvivalentní řešení
Z této rovnosti to vyplývá patří do kvadratické pole V tomto poli může být každý prvek jedinečně zapsán s a být racionální čísla. To z toho vyplývá není racionální (jinak by byla pravá strana rovnice racionální; levá strana je iracionální). Tak jako X a y musí být racionální, čtverec musí být racionální. To z toho vyplývá ve výrazu tak jako Tím pádem
pro nějaké racionální číslo Jedinečnost rozkladu skončila 1 a znamená tedy, že uvažovaná rovnice je ekvivalentní s
Z toho vyplývá Vietiny vzorce že X a y musí být kořeny kvadratická rovnice
své (≠ 0, jinak C by byl čtverec A), tedy X a y musí být
- a
Tím pádem X a y jsou racionální právě tehdy je racionální číslo.
Při výslovném výběru různých znaků je třeba brát v úvahu pouze pozitivní skutečné druhé odmocniny, a tedy předpokládat C > 0. Rovnice ukázat to |A| > √C. Pokud je tedy vnořený radikál skutečný a pokud je možné denestování, pak A > 0. Poté řešení zapíše
Některé identity Ramanujanu
Srinivasa Ramanujan demonstroval řadu zvědavých identit zahrnujících vnořené radikály. Mezi nimi jsou následující:[2]
Mezi další radikály inspirované Ramanujanem patří:
Landauův algoritmus
![]() | Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Února 2015) |
V roce 1989 Susan Landau představil první algoritmus pro rozhodnutí, které vnořené radikály lze denestovat.[4] V některých případech fungovaly dřívější algoritmy, v jiných ne.
V trigonometrii
v trigonometrie, sinusy a kosiny mnoha úhlů lze vyjádřit pomocí vnořených radikálů. Například,
a
Poslední rovnost vyplývá přímo z výsledků § Dvě vnořené odmocniny.
V řešení kubické rovnice
Vnořené radikály se objevují v algebraické řešení z kubická rovnice. Libovolnou kubickou rovnici lze napsat ve zjednodušené formě bez kvadratického výrazu, jako
jehož obecné řešení pro jeden z kořenů je
V případě, že kubický má pouze jeden skutečný kořen, je skutečný kořen dán tímto výrazem s radicands kořenů krychle jsou skutečné a kořeny krychle jsou skutečné kořeny krychle. V případě tří skutečných kořenů je výraz druhé odmocniny imaginární číslo; zde je jakýkoli skutečný kořen vyjádřen definováním prvního kořene krychle jako jakéhokoli konkrétního komplexního kořene krychle komplexního radicand a definováním druhého kořene krychle jako komplexní konjugát prvního. Vnořené radikály v tomto řešení nelze obecně zjednodušit, pokud kubická rovnice nemá alespoň jednu Racionální řešení. Opravdu, pokud má kubický tvar tři iracionální, ale skutečná řešení, máme casus irreducibilis, ve kterém jsou všechna tři reálná řešení psána z hlediska krychlových kořenů komplexních čísel. Na druhou stranu zvažte rovnici
který má racionální řešení 1, 2 a −3. Obecný vzorec řešení uvedený výše dává řešení
Pro každou danou volbu kořene krychle a jejího konjugátu obsahuje vnořené radikály zahrnující komplexní čísla, přesto je redukovatelné (i když to tak zjevně není) na jedno z řešení 1, 2 nebo –3.
Nekonečně vnořené radikály
Odmocniny
Za určitých podmínek nekonečně vnořené odmocniny, jako je
představují racionální čísla. Toto racionální číslo lze zjistit tak, že si to uvědomíme X také se objevuje pod radikálním znaménkem, které dává rovnici
Pokud tuto rovnici vyřešíme, zjistíme to X = 2 (druhé řešení X = −1 neplatí podle konvence, že je míněna kladná druhá odmocnina). Tento přístup lze také použít k prokázání, že obecně, pokud n > 0, tedy
a je kladným kořenem rovnice X2 − X − n = 0. Pro n = 1, tento kořen je Zlatý řez φ, přibližně rovná 1,618. Stejný postup funguje také pro získání, pokud n > 1,
což je kladný kořen rovnice X2 + X − n = 0.
Ramanujanovy nekonečné radikály
Ramanujan představoval následující problém Journal of Indian Mathematical Society:
To lze vyřešit uvedením obecnější formulace:
Nastavení na F(X) a kvadratura obou stran nám dává
které lze zjednodušit na
To se pak dá ukázat
Takže nastavení A = 0, n = 1 aX = 2, máme
Ramanujan uvedl následující nekonečné radikální popření v jeho ztracený notebook:
Opakující se vzor značek je
Vièteho výraz pro π
Vièteův vzorec pro π, poměr obvodu kruhu k jeho průměru, je
Kořeny kostky
V některých případech mohou být nekonečně vnořené kořeny krychle jako např
může také představovat racionální čísla. Opět platí, že když si uvědomíme, že se celý výraz objevuje v sobě, nám zbývá rovnice
Pokud tuto rovnici vyřešíme, zjistíme toX = 2. Obecněji to zjistíme
je kladný skutečný kořen rovnice X3 − X − n = 0 pro všechnyn > 0. Pro n = 1, tento kořen je plastové číslo ρ, přibližně rovna 1,3247.
Stejný postup funguje také pro získání
jako skutečný kořen rovnice X3 + X − n = 0 pro všechny n > 1.
Herschfeldova věta o konvergenci
Nekonečně vnořený radikál (kde všichni jsou nezáporné ) konverguje tehdy a jen tehdy, když nějaké existují takhle pro všechny . [5]
Důkaz „pokud“
To pozorujeme
- .
Navíc sekvence monotónně roste. Proto konverguje pomocí monotónní věta o konvergenci.
Důkaz „pouze pokud“
Pokud sekvence konverguje, pak je ohraničený.
Nicméně, , proto je také omezený.
Viz také
Reference
- ^ Euler, Leonhard (2012). Prvky algebry. Springer Science & Business Media. Kapitola VIII.
- ^ Landau, Susan (1993). „Poznámka k‚ Zippel Denesting'". CiteSeerX 10.1.1.35.5512. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Berndt, Bruce; Chan, Heng; Zhang, Liang-Cheng (1998). "Radikálové a jednotky v práci Ramanujana" (PDF). Acta Arithmetica. 87 (2): 145–158. doi:10,4064 / aa-87-2-145-158.
- ^ Landau, Susan (1992). "Zjednodušení vnořených radikálů". 30. výroční sympozium o základech informatiky. Journal of Computation. 21. SIAM. str. 85–110. CiteSeerX 10.1.1.34.2003. doi:10.1109 / SFCS.1989.63496. ISBN 978-0-8186-1982-3. S2CID 29982884.
- ^ Herschfeld, Aaron (1935). "Na nekonečných radikálech". Americký matematický měsíčník. 42 (7): 419–429. doi:10.2307/2301294. ISSN 0002-9890. JSTOR 2301294.
Další čtení
- Landau, Susan (1994). "Jak se zamotat s vnořeným radikálem". Matematický zpravodaj. 16 (2): 49–55. doi:10.1007 / bf03024284. S2CID 119991567.
- Snížení hloubky vnoření výrazů zahrnujících druhou mocninu
- Zjednodušení čtvercových kořenů čtvercových kořenů
- Weisstein, Eric W. "Odmocnina". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Vnořený radikál". MathWorld.