Fermats spirála - Fermats spiral - Wikipedia

Fermatova spirála: jedna větev

Fermatova spirála: obě větve

A Fermatova spirála nebo parabolická spirála je rovinná křivka pojmenoval podle Pierre de Fermat.^[1] Jeho polární souřadnice je dána vztahem

{ displaystyle r = pm a { sqrt { varphi}}, quad varphi geq 0}

který popisuje a parabola s vodorovnou osou.

Fermatova spirála je podobná Archimédova spirála. Archimédova spirála má ale vždy stejnou vzdálenost mezi sousedními oblouky, což pro Fermatovu spirálu neplatí.

Stejně jako ostatní spirály se Fermatova spirála používá pro kontinuální míchání křivek zakřivení.^[1]

V kartézských souřadnicích

Fermatova spirála s polární rovnicí

{ displaystyle r = a { sqrt { varphi}}, quad varphi geq 0}

lze popsat v kartézských souřadnicích $(X = r cos φ, y = r hřích φ)$ podle parametrická reprezentace

{ displaystyle x = a { sqrt { varphi}} cos varphi, qquad y = a { sqrt { varphi}} sin varphi, quad varphi geq 0 .}

Z parametrického vyjádření a $φ = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} r 2 / A 2$ , $r = \sqrt X 2 + y 2$ jeden dostane reprezentaci pomocí rovnice:

{ displaystyle { frac {y} {x}} = tan vlevo ({ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} vpravo) .}

Geometrické vlastnosti

Fermatova spirála rozděluje rovinu na dvě spojené oblasti (diagram: černá a bílá)

Rozdělení letadla

Kompletní Fermatova spirála (obě větve) je hladká dvojitý bod volná křivka, na rozdíl od Archimédea a hyperbolická spirála. Rozděluje rovinu (jako úsečka, kruh nebo parabola) na dvě spojené oblasti. Ale toto dělení je méně zřejmé než dělení čárou, kružnicí nebo parabolou. Není zřejmé, ke které straně zvolený bod patří.

Definice sektoru (světle modrá) a úhlu polárního sklonu

α

Polární sklon

Z vektorový počet v polárních souřadnicích jeden dostane vzorec

{ displaystyle tan alpha = { frac {r '} {r}}}

pro polární sklon a jeho úhel $α$ mezi tečnou křivky a odpovídající polární kružnicí (viz obrázek).

Pro Fermatovu spirálu $r = A \sqrt φ$ jeden dostane

{ displaystyle tan alpha = { frac {1} {2 varphi}}.}

Úhel sklonu se proto monotónně zmenšuje.

Zakřivení

Z vzorec

{ displaystyle kappa = { frac {r ^ {2} +2 (r ') ^ {2} -r , r' '} { left (r ^ {2} + (r') ^ {2 } vpravo) ^ { frac {3} {2}}}}}

pro zakřivení křivky s polární rovnicí $r = r (φ)$ a jeho deriváty

{ displaystyle { begin {aligned} r '& = { tfrac {a} {2 { sqrt { varphi}}}} = { tfrac {a ^ {2}} {2r}} r' '& = - { tfrac {a} {4 { sqrt { varphi}} ^ {3}}} = - { tfrac {a ^ {4}} {4r ^ {3}}} end {zarovnáno }}}

jeden dostane zakřivení Fermatovy spirály:

${ displaystyle kappa (r) = { frac {2r doleva (4r ^ {4} + 3a ^ {4} doprava)} { doleva (4r ^ {4} + a ^ {2} doprava) ^ { frac {3} {2}}}}.}$

Na počátku je zakřivení 0. Proto má úplná křivka na počátku an inflexní bod a $X$ -osa je tam jeho tečna.

Plocha mezi oblouky

Oblast a sektor Fermatovy spirály mezi dvěma body $(r (φ 1), φ 1)$ a $(r (φ 1), φ 1)$ je

{ displaystyle { begin {aligned} { underline {A}} & = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} r ( varphi) ^ {2} , d varphi & = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} a ^ {2 } varphi , d varphi & = { frac {a ^ {2}} {4}} vlevo ( varphi _ {2} ^ {2} - varphi _ {1} ^ {2} right) & = { frac {a ^ {2}} {4}} left ( varphi _ {2} + varphi _ {1} right) left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right). end {aligned}}}

Fermatova spirála: oblast mezi sousedními oblouky

Po zvednutí obou úhlů o $2 π$ jeden dostane

{ displaystyle { overline {A}} = { frac {a ^ {2}} {4}} left ( varphi _ {2} + varphi _ {1} +4 pi right) left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right) = { underline {A}} + a ^ {2} pi left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} že jo).}

Odtud tedy oblast $A$ regionu mezi dva sousední oblouky jsou

${ displaystyle A = a ^ {2} pi left ( varphi _ {2} - varphi _ {1} right).}$

$A$ záleží jen na rozdíl ze dvou úhlů, ne na samotné úhly.

V příkladu zobrazeném na obrázku mají všechny sousední pruhy stejnou oblast: $A 1 = A 2 = A 3$ .

Tato vlastnost se používá v elektrotechnika pro stavbu variabilní kondenzátory. ^[2]

regiony mezi nimi (bílá, modrá, žlutá) mají stejnou plochu, která se rovná ploše nakreslené kružnice.

Zvláštní případ kvůli Fermatovi

V roce 1636 napsal Fermat dopis ^[3] na Marin Mersenne který obsahuje následující speciální případ:

Nechat $φ 1 = 0, φ 2 = 2 π$ ; pak je oblast černé oblasti (viz obrázek) $A 0 = A 2 π 2$ , což je polovina plochy kruhu $K. 0$ s poloměrem $r (2 π)$ . Oblasti mezi sousedními křivkami (bílá, modrá, žlutá) mají stejnou oblast $A = 2 A 2 π 2$ . Proto:

Plocha mezi dvěma oblouky spirály po úplném otočení se rovná ploše kruhu $K. 0$ .

Délka oblouku

Délka oblouku Fermatovy spirály mezi dvěma body $(r (φ 1), φ 1)$ lze vypočítat integrálem:

{ displaystyle { begin {aligned} L & = int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt { left (r ^ { prime} ( varphi) right ) ^ {2} + r ^ {2} ( varphi)}} , d varphi = cdots & = { frac {a} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt {{ frac {1} { varphi}} + 4 varphi}} , d varphi. end {zarovnáno}}}

Tento integrál vede k eliptický integrál, které lze vyřešit numericky.

Inverze Fermatovy spirály (zelená) je lituální spirála (modrá)

Inverze kruhu

The inverze v jednotkovém kruhu má v polárních souřadnicích jednoduchý popis $(r, φ) \mapsto (1 / r, φ)$ .

Obraz Fermatovy spirály $r = A \sqrt φ$ pod inverzí na jednotkovém kruhu je a lituus spirála s polární rovnicí

{ displaystyle ; r = { frac {1} {a { sqrt { varphi}}}}.}

Když

φ = 1 / A 2

, obě křivky se protínají v pevném bodě na jednotkové kružnici.

Tečna ( $X$ -osa) v inflexním bodě (počátek) Fermatovy spirály je namapován na sebe a je asymptotická linie spirály lituus.

Zlatý řez a zlatý úhel

Na disku fylotaxis, jako v slunečnice a sedmikráska, síť spirál se vyskytuje v Fibonacciho čísla protože divergence (úhel posloupnosti v jednom spirálovém uspořádání) se blíží k Zlatý řez. Tvar spirál závisí na růstu prvků generovaných postupně. Ve zralém disku fylotaxis, když jsou všechny prvky stejné velikosti, tvar spirál je stejný jako u spirál Fermat - v ideálním případě. Je tomu tak proto, že Fermatova spirála prochází stejně annuli ve stejných otáčkách. Celý model navrhl H. Vogel v roce 1979^[4] je

{ displaystyle { begin {zarovnáno} r & = c { sqrt {n}}, theta & = n krát 137,508 ^ { circ}, end {zarovnáno}}}

kde $θ$ je úhel, $r$ je poloměr nebo vzdálenost od středu a $n$ je indexové číslo floretu a $C$ je konstantní měřítko. Úhel 137,508 ° je zlatý úhel který je aproximován poměrem Fibonacciho čísla.^[5]

Vzor kvítků produkovaný Vogelovým modelem (centrální obrázek). Další dva obrázky ukazují vzory pro mírně odlišné hodnoty úhlu.

Výsledný spirálový vzor jednotkové disky je třeba odlišit od Doyle spirály, vzory tvořené tangenciálními disky geometricky se zvětšujících poloměrů logaritmické spirály.

Solární elektrárny

Bylo také zjištěno, že Fermatova spirála je účinným uspořádáním zrcadel koncentrovaná solární energie rostliny.^[6]

Viz také

Reference

^ ^A ^b Anastasios M. Lekkas, Andreas R. Dahl, Morten Breivik, Thor I. Fossen: „Generování cesty spojitého zakřivení pomocí Fermatovy spirály“. V: Modelování, identifikace a řízení. Sv. 34, č. 4, 2013, s. 183–198, ISSN 1890-1328.
^ Fritz Wicke: Einführung in die höhere Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36804-6, str. 414.
^ Lettre de Fermat à Mersenne du 3 juin 1636, dans Paul Tannery. V: Oeuvres de Fermat. T. III, S. 277, Lire en ligne.
^ Vogel, H (1979). "Lepší způsob konstrukce slunečnicové hlavy". Matematické biologické vědy. 44 (44): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.
^ Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990). Algoritmická krása rostlin. Springer-Verlag. str.101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.
^ Nikdo, Corey J .; Torrilhon, Manuel; Mitsos, Alexander (prosinec 2011). „Optimalizace pole Heliostat: Nový výpočetně efektivní model a biomimetické uspořádání“. Solární energie. doi:10.1016 / j.solener.2011.12.007.

Další čtení

J. Dennis Lawrence (1972). Katalog speciálních rovinných křivek. Dover Publications. str.31, 186. ISBN 0-486-60288-5.

externí odkazy

[Lekkas-1] A ^b Anastasios M. Lekkas, Andreas R. Dahl, Morten Breivik, Thor I. Fossen: „Generování cesty spojitého zakřivení pomocí Fermatovy spirály“. V: Modelování, identifikace a řízení. Sv. 34, č. 4, 2013, s. 183–198, ISSN 1890-1328.

[2] Fritz Wicke: Einführung in die höhere Mathematik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-662-36804-6, str. 414.

[Fermat-3] Lettre de Fermat à Mersenne du 3 juin 1636, dans Paul Tannery. V: Oeuvres de Fermat. T. III, S. 277, Lire en ligne.

[4] Vogel, H (1979). "Lepší způsob konstrukce slunečnicové hlavy". Matematické biologické vědy. 44 (44): 179–189. doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4.

[5] Prusinkiewicz, Przemyslaw; Lindenmayer, Aristid (1990). Algoritmická krása rostlin. Springer-Verlag. str.101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.

[6] Nikdo, Corey J .; Torrilhon, Manuel; Mitsos, Alexander (prosinec 2011). „Optimalizace pole Heliostat: Nový výpočetně efektivní model a biomimetické uspořádání“. Solární energie. doi:10.1016 / j.solener.2011.12.007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]