Šroubovice Boerdijk – Coxeter - Boerdijk–Coxeter helix

Coxeterovy šroubovice z běžných čtyřstěnů

CCW a CW soustružení
Okraje mohou být vybarveny do 6 skupin, 3 hlavní šroubovice (azurová), s konkávními hranami tvořícími pomalu přední šroubovice (purpurová) a dvě zadní šroubovice (žlutá a oranžová)

Spirálovitý Boerdijk koule balení má každý koule soustředěný na a vrchol šroubovice Coxeter. Každá koule je v kontaktu se 6 sousedícími koulemi.

The Šroubovice Boerdijk – Coxeter, pojmenoval podle H. S. M. Coxeter a A. H. Boerdijk, je lineární skládání regulárních čtyřstěn, uspořádány tak, že okraje komplexu, které patří pouze k jednomu čtyřstěnu, tvoří tři propletené šroubovice. Existují dva chirální formy s vinutím ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Na rozdíl od jiných stohování Platonické pevné látky, šroubovice Boerdijk – Coxeter není rotačně opakující se v trojrozměrném prostoru. Dokonce i v nekonečném řetězci skládaných čtyřstěnů nebudou mít žádné dva čtyřstěny stejnou orientaci, protože stoupání šroubovice na buňku není racionálním zlomkem kruhu. Byly však nalezeny modifikované formy této šroubovice, které se rotačně opakují,^[1] a ve 4-dimenzionálním prostoru se tato spirála opakuje v prstencích přesně 30 čtyřbunkových buněk, které teselaují 3 koule povrch 600 buněk, jeden ze šesti pravidelných konvexních polychora.

Buckminster Fuller pojmenoval to a tetrahelix a považoval je za pravidelné a nepravidelné čtyřboké prvky.^[2]

Geometrie

Souřadnice vrcholů šroubovice Boerdijk – Coxeter složené ze čtyřstěnů s jednotkovou délkou okraje lze zapsat ve tvaru

{ displaystyle (r cos n theta, r sin n theta, nh)}

kde ${ displaystyle r = 3 { sqrt {3}} / 10}$ , ${ displaystyle theta = pm cos ^ {- 1} (- 2/3)}$ , ${ displaystyle h = 1 / { sqrt {10}}}$ a ${ displaystyle n}$ je libovolné celé číslo. Dvě různé hodnoty ${ displaystyle theta}$ odpovídají dvěma chirálním formám. Všechny vrcholy jsou umístěny na válci s poloměrem ${ displaystyle r}$ podél osy z. Existuje další vepsaný válec s poloměrem ${ displaystyle 3 { sqrt {2}} / 20}$ uvnitř šroubovice.^[3]

Architektura

The Art Tower Mito je založen na šroubovice Boerdijk – Coxeter.

Vyšší dimenzionální geometrie

30 čtyřboký kruh z projekce 600 buněk

The 600 buněk rozdělte do 20 kruhů po 30 čtyřstěn, každý a Šroubovice Boerdijk – Coxeter. Při překrytí na 3 koule zakřivení se stává periodickým, s periodou deseti vrcholů, zahrnujících všech 30 buněk. Kolektiv takových šroubovic v 600-buňce představuje diskrétní Hopfova fibrace. Zatímco ve 3 rozměrech jsou hrany šroubovice, v uložené 3 kouli topologie oni jsou geodetika a mít ne kroucení. Kvůli Hopfově fibraci se přirozeně točí kolem sebe. Kolekce hran tvoří další diskrétní Hopfovu fibraci 12 prstenů, každý s 10 vrcholy. To odpovídá prstencům 10 dodekaedronů v duální 120 buňce.

Kromě toho 16 buněk přepážky do dvou 8-čtyřstěnných kruhů, čtyř hran dlouhých a 5článková oddíly do jediného degenerovaného 5-čtyřstěnného kruhu.

4-mnohostěn	Prsteny	Tetrahedra / prsten	Délky cyklu
600 buněk	20	30	30, 10³, 15²
16 buněk	2	8	8, 8, 4²
5článková	1	5	(5, 5), 5

Související polyedrické šroubovice

Rovnostranný čtvercové pyramidy může být také připoután k sobě jako šroubovice, se dvěma konfigurace vrcholů, 3.4.3.4 a 3.3.4.3.3.4. Tato spirála existuje jako konečný kruh 30 pyramid v 4-dimenzionálním mnohostěnu.

A rovnostranný pětiúhelníkové pyramidy lze zřetězit pomocí 3 konfigurací vrcholů, 3.3.5, 3.5.3.5 a 3.3.3.5.3.3.5:

Viz také

Poznámky

Reference

Coxeter, H. S. M. (1974). Pravidelné složité polytopy. Cambridge University Press. ISBN 052120125X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Boerdijk, A.H. (1952). „Některé poznámky týkající se úzkého balení stejných sfér“. Philips Res. Rep. 7: 303–313.
Fuller, R. Buckminster (1975). Applewhite, E.J. (vyd.). Synergetika. Macmillana.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Pugh, Anthony (1976). "5. Spojování mnohostěnů §5.36 Tetrahelix". Mnohostěn: Vizuální přístup. University of California Press. p. 53. ISBN 978-0-520-03056-5.
Sadler, Garrett; Fang, Fang; Kovacs, Julio; Klee, Irwin (2013). "Periodická úprava šroubovice Boerdijk-Coxeter (tetrahelix)". arXiv:1302.1174v1 [math.MG ].CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Lord, E.A .; Ranganathan, S. (2004). „Struktura y-mosazi a šroubovice Boerdijk – Coxeter“ (PDF). Časopis nekrystalických pevných látek. 334–335: 123–5. Bibcode:2004JNCS..334..121L. doi:10.1016 / j.jnoncrysol.2003.11.069.
Zhu, Yihan; On, Jiating; Shang, Cheng; Miao, Xiaohe; Huang, Jianfeng; Liu, Zhipan; Chen, Hongyu; Han, Yu (2014). „Nanočáry z chirálního zlata se strukturou Boerdijk – Coxeter – Bernal“. J. Am. Chem. Soc. 136 (36): 12746–52. doi:10.1021 / ja506554j. PMID 25126894.
Lord, Eric A .; Mackay, Alan L .; Ranganathan, S. (2006). „§4.5 Šroubovice Boerdijk – Coxeter“. Nové geometrie pro nové materiály. Cambridge University Press. p. 64. ISBN 978-0-521-86104-5.
Sadoc, J.F .; Rivier, N. (1999). „Boerdijk-Coxeterova šroubovice a biologické šroubovice“. Evropský fyzický deník B. 12 (2): 309–318. Bibcode:1999EPJB ... 12..309S. doi:10,1007 / s100510051009. S2CID 92684626.

externí odkazy

[FOOTNOTESadlerFangKovacsKlee2013-1] Sadler a kol. 2013.

[FOOTNOTEFuller1975[httpwwwrwgrayprojectscomsynergeticss09p3000html_930.00_Tetrahelix]-2] Fuller 1975, 930,00 Tetrahelix.

[3] „Data Tetrahelix“.

[1]

[2]

[3]