Hyperbolická spirála - Hyperbolic spiral

Hyperbolická spirála: větev pro

φ > 0

Hyperbolická spirála: obě větve

A hyperbolická spirála je rovinná křivka, které lze popsat v polárních souřadnicích rovnicí

{ displaystyle r = { frac {a} { varphi}}}

a hyperbola. Protože to může být generováno inverzí kruhu z Archimédova spirála, to se nazývá reciproke spirála, také.^[1]^[2]

Pierre Varignon nejprve studoval křivku v roce 1704.^[2] Později Johann Bernoulli a Roger Cotes pracoval také na křivce.

V kartézských souřadnicích

hyperbolická spirála s polární rovnicí

{ displaystyle r = { frac {a} { varphi}}, quad varphi neq 0}

lze vyjádřit v kartézských souřadnicích $(X = r cos φ, y = r hřích φ)$ podle

{ displaystyle x = a { frac { cos varphi} { varphi}}, qquad y = a { frac { sin varphi} { varphi}}, quad varphi neq 0.}

Hyperbola má v $rφ$ -rovnejte souřadnicové osy jako asymptoty. Hyperbolická spirála (v $xy$ - letadlo) přistupuje k $φ \to \pm\infty$ počátek jako asymptotický bod. Pro $φ \to \pm0$ křivka má asymptotickou čáru (viz následující část).

Z polární rovnice a $φ = A / r, r = \sqrt X 2 + y 2$ jeden dostane reprezentaci pomocí rovnice:

{ displaystyle { frac {y} {x}} = tan vlevo ({ frac {a} { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} vpravo).}

Geometrické vlastnosti

Asymptota

Protože

{ displaystyle lim _ { varphi až 0} x = a lim _ { varphi až 0} { frac { cos varphi} { varphi}} = infty, qquad lim _ { varphi to 0} y = a lim _ { varphi to 0} { frac { sin varphi} { varphi}} = a}

křivka má asymptota s rovnicí $y = A$ .

Polární sklon

Definice sektoru (světle modrá) a úhlu polárního sklonu

α

Z vektorový počet v polárních souřadnicích jeden dostane vzorec $opálení α = r' / r$ pro polární sklon a jeho úhel $α$ mezi dotyčnicí křivky a dotyčnicí odpovídajícího polárního kruhu.

Pro hyperbolickou spirálu $r = A / φ$ the polární sklon je

{ displaystyle tan alpha = - { frac {1} { varphi}}.}

Zakřivení

Zakřivení křivky s polární rovnicí $r = r (φ)$ je

{ displaystyle kappa = { frac {r ^ {2} +2 (r ') ^ {2} -r , r' '} { left (r ^ {2} + (r') ^ {2 } right) ^ { frac {3} {2}}}}.}

Z rovnice $r = A / φ$ a deriváty $r' = - A / φ 2$ a $r ″ = 2 A / φ 3$ jeden dostane zakřivení hyperbolické spirály:

{ displaystyle kappa ( varphi) = { frac { varphi ^ {4}} {a left ( varphi ^ {2} +1 right) ^ { frac {3} {2}}}} .}

Délka oblouku

Délka oblouku hyperbolické spirály mezi $(r (φ 1), φ 1)$ a $(r (φ 2), φ 2)$ lze vypočítat pomocí integrálu:

{ displaystyle { begin {aligned} L & = int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { sqrt { left (r ^ { prime} ( varphi) right ) ^ {2} + r ^ {2} ( varphi)}} , d varphi = cdots & = a int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { frac { sqrt {1+ varphi ^ {2}}} { varphi ^ {2}}} , d varphi & = a left [- { frac { sqrt {1+ varphi ^ {2}}} { varphi}} + ln left ( varphi + { sqrt {1+ varphi ^ {2}}} right) right] _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}}. end {zarovnáno}}}

Sektorová oblast

Plocha sektoru (viz diagram výše) hyperbolické spirály s rovnicí $r = A / φ$ je:

{ displaystyle { begin {aligned} A & = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} r ( varphi) ^ {2} , d varphi & = { frac {1} {2}} int _ { varphi _ {1}} ^ { varphi _ {2}} { frac {a ^ {2}} { varphi ^ {2}}} , d varphi & = { frac {a} {2}} left ({ frac {a} { varphi _ {1}}} - { frac { a} { varphi _ {2}}} vpravo) & = { frac {a} {2}} { bigl (} r ( varphi _ {1}) - r ( varphi _ {2 }) { bigr)}. end {zarovnáno}}}

Inverze

Hyperbolická spirála (modrá) jako obraz archimédovské spirály (zelená) s inverzí kruhu

The inverze v jednotkovém kruhu má v polárních souřadnicích jednoduchý popis: $(r, φ) \mapsto (1 / r, φ)$ .

Obraz archimédské spirály $r = φ / A$ s inverzí kruhu je hyperbolická spirála s rovnicí $r = A / φ$ . Na $φ = A$ obě křivky se protínají v pevném bodě na jednotkové kružnici.

The oscilační kruh archimédovské spirály $r = φ / A$ na počátku má poloměr $ρ 0 = 1 / 2 A$ (vidět Archimédova spirála ) a střed $(0, ρ 0)$ . Obrázek tohoto kruhu je čára $y = A$ (vidět kruhová inverze ). Proto předobraz asymptoty hyperbolické spirály s inverzí Archimédovy spirály je oscilační kruh Archimédovy spirály v počátcích.

Příklad: Diagram ukazuje příklad s

A = π

.

Centrální projekce šroubovice

Hyperbolická spirála jako centrální projekce šroubovice

Vezměme si centrální projekci z bodu $C 0 = (0, 0, d)$ na rovinu obrazu $z = 0$ . Tím se namapuje bod $(X, y, z)$ do té míry $d / d - z (X, y)$ .

Obrázek pod touto projekcí šroubovice s parametrickým znázorněním

{ displaystyle (r cos t, r sin t, ct), quad c neq 0,}

je křivka

{ displaystyle { frac {dr} {d-ct}} ( cos t, sin t)}

s polární rovnicí

{ displaystyle rho = { frac {dr} {d-ct}},}

který popisuje hyperbolickou spirálu.

Pro parametr $t 0 = d / C$ hyperbolická spirála má pól a šroubovice protíná rovinu $z = d$ v určitém okamžiku $PROTI 0$ . Dá se ověřit výpočtem, že obraz šroubovice, jak se blíží $PROTI 0$ je asymptota hyperbolické spirály.

Reference

^ Bowser, Edward Albert (1880), Základní pojednání o analytické geometrii: Objímání rovinné geometrie a úvod do geometrie tří dimenzí (4. vydání), D. Van Nostrand, str. 232
^ ^A ^b Lawrence, J. Dennis (2013), Katalog speciálních křivek letadel „Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, s. 1“. 186, ISBN 9780486167664.

Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Carl Hanser Verlag, 2018, ISBN 3446457070, 9783446457072, S. 410.
Kinko Tsuji, Stefan C. Müller: Spirály a víry: V kultuře, přírodě a vědě, Springer, 2019, ISBN 3030057984, 9783030057985, S. 96.
Pierre Varignon: Nouvelle creation de Spirales - příklad II„Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut de France, 1704, s. 94–103.
Friedrich Grelle: Analytische Geometrie der Ebene, Verlag F. Brecke, 1861 hyperbolische Spirale, S. 215.
Jakob Philipp Kulik: Analýza Lehrbuch der höhern, pásmo 2, Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, Spirallinien, S. 222.

externí odkazy

[1] Bowser, Edward Albert (1880), Základní pojednání o analytické geometrii: Objímání rovinné geometrie a úvod do geometrie tří dimenzí (4. vydání), D. Van Nostrand, str. 232

[lawrence-2] A ^b Lawrence, J. Dennis (2013), Katalog speciálních křivek letadel „Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, s. 1“. 186, ISBN 9780486167664.

[1]

[2]