Eulerova spirála - Euler spiral

Dvojitá spirála Euler. Křivka se nadále sbíhá k bodům označeným jako t má sklon k pozitivnímu nebo negativnímu nekonečnu.

An Eulerova spirála je křivka, jejíž zakřivení se lineárně mění s jeho délkou křivky (zakřivení kruhové křivky se rovná převrácené hodnotě poloměru). Eulerovy spirály se také běžně označují jako spiros, klotoidynebo Spirály Cornu.

Eulerovy spirály mají své aplikace difrakce výpočty. Jsou také široce používány jako přechodové křivky v železniční inženýrství /dálniční inženýrství pro připojení a přechod geometrie mezi tečnou a kruhovou křivkou. Podobná aplikace se také nachází v fotonické integrované obvody. Princip lineární variace zakřivení přechodové křivky mezi tečnou a kruhovou křivkou definuje geometrii Eulerovy spirály:

• Jeho zakřivení začíná nulou v přímém řezu (tečně) a lineárně se zvyšuje s jeho délkou křivky.
• Tam, kde se Eulerova spirála setkává s kruhovou křivkou, se její zakřivení rovná té druhé.

Aplikace

Sledovat přechodovou křivku

Animace zobrazující vývoj spirály Cornu s tangenciálním kruhem se stejným poloměrem zakřivení jako na jejím konci, známou také jako oscilační kruh.

Chcete-li cestovat po kruhové dráze, musí být objekt podroben a dostředivé zrychlení (například: Měsíc krouží kolem Země z důvodu gravitace; auto otáčí svými předními koly dovnitř, aby vytvořilo dostředivou sílu). Pokud by vozidlo jedoucí po přímé dráze mělo náhle přejít na tangenciální kruhovou dráhu, vyžadovalo by to dostředivé zrychlení, které se náhle přepne v tangenciálním bodě z nuly na požadovanou hodnotu; to by bylo obtížné dosáhnout (pomyslete na řidiče, který okamžitě pohybuje volantem z přímky do polohy pro otáčení a auto to skutečně dělá), mechanickým namáháním částí vozidla a působením velkého nepohodlí (kvůli bočním blbec ).

Na časných železnicích toto okamžité použití boční síly nebylo problémem, protože byly použity nízké rychlosti a oblouky se širokým poloměrem (boční síly na cestující a boční houpání byly malé a snesitelné). Jak se v průběhu let zvyšovaly rychlosti kolejových vozidel, bylo zřejmé, že je nutné ulevit, takže dostředivé zrychlení se s ujetou vzdáleností lineárně zvyšuje. Vzhledem k vyjádření dostředivého zrychlení proti²/r, zřejmým řešením je poskytnout křivku věcného břemene, jehož zakřivení, 1/R, se lineárně zvyšuje s ujetou vzdáleností. Tato geometrie je Eulerova spirála.

Nevědomí o řešení geometrie pomocí Leonhard Euler, Rankine citoval kubická křivka (polynomiální křivka stupně 3), což je aproximace Eulerovy spirály pro malé úhlové změny stejným způsobem jako parabola je aproximace kruhové křivky.

Marie Alfred Cornu (a později někteří stavební inženýři) také samostatně vyřešili počet Eulerovy spirály. Eulerovy spirály jsou nyní široce používány v železniční a silniční technice pro zajištění přechodu nebo ulehčení mezi tečnou a vodorovnou kruhovou křivkou.

Optika

Spirálu Cornu lze použít k popisu a difrakce vzor.^[1]Zvažte rovinnou vlnu s amplitudou fázoru E₀E^−jkz který je ohýbán „hranou nože“ výšky h výše X = 0 na z = 0 letadlo. Pak lze difrakční vlnové pole vyjádřit jako

${ displaystyle { textbf {E}} (x, z) = E_ {0} e ^ {- jkz} { frac { mathrm {Fr} ( infty) - mathrm {Fr} vlevo ({ sqrt { frac {2} { lambda z}}} (hx) right)} { mathrm {Fr} ( infty) - mathrm {Fr} (- infty)}}}$,

kde Pá (X) je Fresnelova integrální funkce, která tvoří spirálu Cornu na komplexní rovině.

Pro zjednodušení výpočtu útlumu rovinných vln, který je odražen od ostří nože, lze použít diagram spirály Cornu reprezentující veličiny Pá (A) - Pá (b) jako fyzické vzdálenosti mezi body představovanými Pá (A) a Pá (b) podle potřeby A a b. To usnadňuje hrubý výpočet útlumu rovinné vlny výškovým ostřím nože h na místě (X, z) za hranou nože.

Integrovaná optika

Ohyby s plynule se měnícím poloměrem zakřivení po Eulerově spirále se také používají ke snížení ztrát v fotonické integrované obvody, buď v singlemode vlnovody,^[2][3] k vyhlazení náhlé změny zakřivení a vazby na radiační režimy nebo v multimódových vlnovodech,^[4] aby se potlačila vazba na režimy vyššího řádu a zajistil se efektivní provoz v jednom režimu. Průkopnická a velmi elegantní aplikace spirály Euler na vlnovody byla provedena již v roce 1957,^[5] s dutým kovem vlnovod pro mikrovlnné trouby. Tam bylo myšlenkou využít skutečnost, že přímý kovový vlnovod lze fyzicky ohýbat, aby přirozeně získal postupný tvar ohybu připomínající Eulerovu spirálu.

Automatické závody

Autor motoristického sportu Adam Brouillard ukázal využití Eulerovy spirály při optimalizaci závodní linie během rohové vstupní části zatáčky.^[6]

Typografie a digitální vektorové kreslení

Raph Levien vydala v roce 2007 Spiro jako sadu nástrojů pro návrh křivek, zejména pro písma^[7][8] na základě bezplatné licence. Tato sada nástrojů byla poté poměrně rychle implementována do nástroje pro návrh písma Fontforge a digitální vektorové kreslení Inkscape.

Projekce mapy

Řezání koule podél spirály o šířce 1/N a zploštěním výsledného tvaru se získá Eulerova spirála, když n inklinuje k nekonečnu.^[9] Pokud je sféra zeměkoule, toto produkuje a mapová projekce jehož zkreslení má sklon k nule jako n inklinuje k nekonečnu.^[10]

Kousky tvarů

Přírodní tvary krysí mystacial pad vibrissae (vousky ) jsou dobře aproximovány kousky Eulerovy spirály. Když jsou všechny tyto kousky pro jednu krysu sestaveny dohromady, rozprostírají se v intervalu, který sahá od jedné svinuté domény Eulerovy spirály k druhé.^[11]

Formulace

Symboly

R	Poloměr zakřivení
RC	Poloměr kruhové křivky na konci spirály
θ	Úhel křivky od začátku spirály (nekonečný R) do určitého bodu na spirále. To lze také měřit jako úhel mezi počáteční tečnou a tečnou v příslušném bodě.
θs	Úhel plné spirálové křivky
L, s	Délka měřená podél spirálové křivky od její počáteční polohy
Ls, sÓ	Délka spirálové křivky

Derivace

Graf vpravo ilustruje Eulerovu spirálu použitou jako křivka usnadnění (přechodu) mezi dvěma danými křivkami, v tomto případě přímka (záporná X osa) a kruh. Spirála začíná od počátku v pozitivu X směru a postupně se otáčí proti směru hodinových ručiček do oscilovat Kruh. Spirála je malý segment výše uvedené dvojité Eulerovy spirály v prvním kvadrantu. Z definice zakřivení, ${ displaystyle { frac {1} {R}} = { frac {d theta} {ds}} propto s}$ tj. ${ displaystyle { begin {aligned} Rs = { text {constant}} & = R_ {c} s_ {o} { frac {d theta} {ds}} & = { frac {s} {R_ {c} s_ {o}}} end {zarovnáno}}}$ Píšeme ve formátu, ${ displaystyle { frac {d theta} {ds}} = 2a ^ {2} s}$ kde ${ displaystyle 2a ^ {2} = { frac {1} {R_ {c} s_ {o}}}}$ nebo ${ displaystyle a = { frac {1} { sqrt {2R_ {c} s_ {o}}}}}$ tím pádem ${ displaystyle theta = (jako) ^ {2}}$ Nyní ${ displaystyle { begin {aligned} x & = int _ {0} ^ {L} cos theta , ds & = int _ {0} ^ {L} cos left [ left ( jako right) ^ {2} right] , ds end {aligned}}}$ Li ${ displaystyle s '= as}$ Pak ${ displaystyle ds = { frac {ds '} {a}}}$ Tím pádem ${ displaystyle { begin {aligned} x & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} cos left (s ^ {2} right) , ds y & = int _ {0} ^ {L} sin theta , ds & = int _ {0} ^ {L} sin left [ left (as right) ^ {2} vpravo] , ds & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} sin left ({s} ^ {2} right) , ds end {zarovnaný}}}$

Rozšíření Fresnelova integrálu

Li A = 1, což je případ normalizované Eulerovy křivky, pak jsou kartézské souřadnice dány Fresnelovými integrály (nebo Eulerovými integrály):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} C (L) & = int _ {0} ^ {L} cos vlevo (s ^ {2} vpravo) , ds S (L) & = int _ {0} ^ {L} sin left (s ^ {2} right) , ds end {zarovnáno}}}$

Normalizace a závěr

Pro danou Eulerovu křivku s:

${ displaystyle 2RL = 2R_ {c} L_ {s} = { frac {1} {a ^ {2}}}}$

nebo

${ displaystyle { frac {1} {R}} = { frac {L} {R_ {c} L_ {s}}} = 2a ^ {2} L}$

pak

${ displaystyle { begin {aligned} x & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} cos left (s ^ {2} right) , ds y & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ {L '} sin left (s ^ {2} right) , ds end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} L '& = aL a & = { frac {1} { sqrt {2R_ {c} L_ {s}}}}. end {aligned}}}$

Proces získávání řešení (X, y) Eulerovy spirály lze tedy popsat jako:

• Mapa L původní Eulerovy spirály vynásobením faktorem A na L′ normalizované Eulerovy spirály;
• Nalézt (X′, y′) z Fresnelových integrálů; a
• Mapa (X′, y′) na (X, y) zvětšením (denormalizací) pomocí faktoru 1/A. Všimněte si, že 1/A > 1.

V procesu normalizace

${ displaystyle { begin {aligned} R '_ {c} & = { frac {R_ {c}} { sqrt {2R_ {c} L_ {s}}}} & = { sqrt { frac {R_ {c}} {2L_ {s}}}} L '_ {s} & = { frac {L_ {s}} { sqrt {2R_ {c} L_ {s}}}} & = { sqrt { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}}} end {zarovnáno}}}$

Pak

${ displaystyle { begin {aligned} 2R '_ {c} L' _ {s} & = 2 { sqrt { frac {R_ {c}} {2L_ {s}}}} { sqrt { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}}} & = { frac {2} {2}} = 1 end {zarovnáno}}}$

Normalizace se obecně snižuje L′ na malou hodnotu (méně než 1) a vede k dobrým konvergujícím charakteristikám Fresnelova integrálu zvládnutelného pouze několika termíny (za cenu zvýšeného numerická nestabilita výpočtu, zejména pro větší θ hodnoty.).

Ilustrace

Dané:

${ displaystyle { begin {zarovnaný} R_ {c} & = 300 , { mbox {m}} L_ {s} & = 100 , { mbox {m}} end {zarovnaný}}}$

Pak

${ displaystyle { begin {aligned} theta _ {s} & = { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}} & = { frac {100} {2 krát 300}} & = { tfrac {1} {6}} { mbox {radian}} end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle 2R_ {c} L_ {s} = 60 , 000}$

Zmenšili jsme Eulerovu spirálu o √60000, tj. 100√6 na normalizovanou Eulerovu spirálu, která má:

${ displaystyle { begin {aligned} R '_ {c} & = { tfrac {3} { sqrt {6}}} , { mbox {m}} L' _ {s} & = { tfrac {1} { sqrt {6}}} , { mbox {m}} 2R '_ {c} L' _ {s} & = 2 krát { tfrac {3} { sqrt {6}}} times { tfrac {1} { sqrt {6}}} & = 1 end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle { begin {aligned} theta _ {s} & = { frac {L '_ {s}} {2R' _ {c}}} & = { frac { frac {1} { sqrt {6}}} {2 times { frac {3} { sqrt {6}}}}} & = { tfrac {1} {6}} { mbox {radian}} end {zarovnáno}}}$

Dva úhly θ_s jsou stejní. To tedy potvrzuje, že původní a normalizované spirály Euler jsou geometricky podobné. Místo normalizované křivky lze určit z Fresnelova integrálu, zatímco místo původní Eulerovy spirály lze získat zvětšením nebo denormalizací.

Další vlastnosti normalizovaných spirál Euler

Normalizované Eulerovy spirály lze vyjádřit jako:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x & = int _ {0} ^ {L} cos left (s ^ {2} right) , ds y & = int _ {0} ^ {L } sin left (s ^ {2} right) , ds end {zarovnáno}}}$

nebo vyjádřeno jako výkonová řada:

${ displaystyle { begin {aligned} x & = left. sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} { frac {s ^ {4i + 1}} {4i + 1}} doprava | _ {0} ^ {L} && = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i)!}} { frac {L ^ {4i + 1}} {4i + 1}} y & = left. sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} { frac {s ^ {4i + 3}} {4i + 3}} doprava | _ {0} ^ {L} && = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i}} {(2i + 1)!}} { frac {L ^ {4i + 3}} { 4i + 3}} end {zarovnáno}}}$

Normalizovaná Eulerova spirála konverguje do jediného bodu limitu, který lze vyjádřit jako:

${ displaystyle { begin {aligned} x ^ { prime} & = lim _ {L to infty} int _ {0} ^ {L} cos left (s ^ {2} right) , ds && = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} {2}}} přibližně 0,6267 y ^ { prime} & = lim _ {L to infty} int _ {0} ^ {L} sin left (s ^ {2} right) , ds && = { frac {1} {2}} { sqrt { frac { pi} { 2}}} přibližně 0,6267 end {zarovnáno}}}$

Normalizované spirály Euler mají následující vlastnosti:

${ displaystyle { begin {aligned} 2R_ {c} L_ {s} & = 1 theta _ {s} & = { frac {L_ {s}} {2R_ {c}}} = L_ {s } ^ {2} end {zarovnáno}}}$

a

${ displaystyle { begin {seřazeno} theta & = theta _ {s} cdot { frac {L ^ {2}} {L_ {s} ^ {2}}} = L ^ {2} { frac {1} {R}} & = { frac {d theta} {dL}} = 2L end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že 2R_CL_s = 1 také znamená 1/R_C = 2L_s, ve shodě s posledním matematickým výrokem.

Kód pro výrobu Eulerovy spirály

Následující SageMath kód vytvoří druhý graf výše. První čtyři řádky vyjadřují spirálovou složku Euler. Fresnelovy funkce nelze najít. Místo toho jsou přijaty integrály dvou rozšířených Taylorových řad. Zbývající kód vyjadřuje dotyčnici a kružnici, včetně výpočtu středových souřadnic.

var('L')p = integrální(Taylor(cos(L^2), L, 0, 12), L)q = integrální(Taylor(hřích(L^2), L, 0, 12), L)R1 = parametrický_plot([p, q], (L, 0, 1), barva = 'Červené')r2 = čára([(-1.0, 0), (0,0)], rgbcolor = 'modrý')x1 = p.titulky(L = 1)y1 = q.titulky(L = 1)R = 0.5x2 = x1 - R*hřích(1.0)y2 = y1 + R*cos(1.0)r3 = kruh((x2, y2), R, rgbcolor = 'zelený')ukázat(R1 + r2 + r3, poměr stran = 1, sekery=Nepravdivé)

Toto je Mathematica kód pro spirálovou komponentu Euler (funguje přímo na wolframalpha.com):

Parametrický graf[{FresnelC[Sqrt[2/\[Pi]]t]/Sqrt[2/\[Pi]],FresnelS[Sqrt[2/\[Pi]]t]/Sqrt[2/\[Pi]]},{t,-10,10}]

Toto je Xcas kód pro spirálovou složku Euler:

plotparam ([int (cos (u ^ 2), u, 0, t), int (sin (u ^ 2), u, 0, t)], t, -4,4)

Toto je SageMath kód pro kompletní dvojitou spirálu Euler:

s = var('s')parametrický_plot((lambda s: numerical_integral(cos(X**2),0,s)[0], lambda s: numerical_integral(hřích(X**2),0,s)[0]), (-3*pi/2, 3*pi/2))

Toto je JavaScript kód pro kreslení Eulerovy spirály na a prvek plátna:

funkce drawEulerSpiral(plátno, T, N, měřítko) {      ctx = plátno.getContext(„2d“);      var dx, dy, t=0, předchozí = {X:0, y:0}, aktuální;      var dt = T/N;      ctx.beginPath();      zatímco (N--) {         dx = Matematika.cos(t*t) * dt;         dy = Matematika.hřích(t*t) * dt;         t += dt;         aktuální = {            X: předchozí.X + dx,            y: předchozí.y + dy         };         ctx.lineTo(aktuální.X*měřítko, aktuální.y*měřítko);         předchozí = aktuální;      }      ctx.mrtvice();}drawEulerSpiral(dokument.getElementById("myCanvas"),10,10000,100)

Toto je Logo (programovací jazyk) kód pro kreslení Eulerovy spirály pomocí želvího sprite.

rt 90opakovat 720 [ fd 10 lt splácení ]

Viz také

• Archimédova spirála
• Fresnelovy integrály
• Geometrický design silnic
• Seznam spirál
• Sledovat přechodovou křivku

Reference

Poznámky

Zdroje

Další čtení

externí odkazy

• Eulerova spirála na 2-D matematických křivkách
• Interaktivní příklad s JSXGraph
• Eulerova spirální mapová projekce