Wigner – Eckartova věta - Wigner–Eckart theorem

The Wigner – Eckartova věta je teorém z teorie reprezentace a kvantová mechanika. Uvádí to matice prvky sférické tenzorové operátory na základě moment hybnosti vlastní státy lze vyjádřit jako součin dvou faktorů, z nichž jeden je nezávislý na orientaci momentu hybnosti, a druhého a Clebsch – Gordanův koeficient. Název je odvozen od fyziků Eugene Wigner a Carl Eckart, který vyvinul formalismus jako spojení mezi symetrickými transformačními skupinami prostoru (aplikovanými na Schrödingerovy rovnice) a zákony zachování energie, hybnosti a momentu hybnosti.^[1]

Matematicky je Wignerova-Eckartova věta obecně uvedena následujícím způsobem. Daný tenzorový operátor ${ displaystyle T ^ {(k)}}$ a dva stavy úhlového momentu ${ displaystyle j}$ a ${ displaystyle j '}$ , existuje konstanta ${ displaystyle langle j | T ^ {(k)} | j ' rangle}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle m}$ , ${ displaystyle m '}$ , a ${ displaystyle q}$ , je splněna následující rovnice:

{ displaystyle langle j , m | T_ {q} ^ {(k)} | j ', m' rangle = langle j ', m' , k , q | j , m rangle langle j | T ^ {(k)} | j ' rangle,}

kde

${ displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$ je $q$ -tá složka sférického tenzorového operátoru ${ displaystyle T ^ {(k)}}$ hodnosti $k$ ,^[2]
${ displaystyle | jm rangle}$ označuje vlastní stav celkového momentu hybnosti $J 2$ a jeho z součástka $J z$ ,
${ displaystyle langle j'm'kq | jm rangle}$ je Clebsch – Gordanův koeficient pro spojku $j'$ s $k$ dostat $j$ ,
${ displaystyle langle j | T ^ {(k)} | j ' rangle}$ označuje^[3] nějaká hodnota, na které nezávisí $m$ , $m'$ , ani $q$ a označuje se jako prvek se sníženou maticí.

Wigner-Eckartova věta skutečně uvádí, že pracuje s kulovým tenzorovým operátorem hodnosti $k$ na momentu hybnosti je vlastní stav jako přidání stavu s momentem hybnosti k státu. Maticový prvek, který jeden najde pro sférický tenzorový operátor, je úměrný Clebsch-Gordanovmu koeficientu, který vzniká při zvažování přidání dvou úhlových momentů. Když je uvedeno jinak, lze říci, že Wignerova-Eckartova věta je věta, která říká, jak se operátoři vektorů chovají v podprostoru. V daném podprostoru se bude komponenta vektorového operátoru chovat způsobem úměrným stejné složce operátoru momentu hybnosti. Tato definice je uvedena v knize Kvantová mechanika Cohen – Tannoudji, Diu a Laloe.

Pozadí a přehled

Motivující příklad: prvky matice polohového operátoru pro přechod 4d → 2p

Řekněme, že chceme počítat přechodové dipólové momenty pro elektronový přechod ze 4d na 2p orbitální atomu vodíku, tj. matricové prvky formy ${ displaystyle langle 2p, m_ {1} | r_ {i} | 4d, m_ {2} rangle}$ , kde r_i je buď X, ynebo z složka operátor polohy, a m₁, m₂ jsou magnetická kvantová čísla které rozlišují různé orbitaly v rámci 2p nebo 4d subshell. Pokud to uděláme přímo, zahrnuje výpočet 45 různých integrálů: existují 3 možnosti m₁ (-1, 0, 1), 5 možností pro m₂ (−2, −1, 0, 1, 2) a 3 možnosti pro i, takže celkem je 3 × 5 × 3 = 45.

Wignerova-Eckartova věta umožňuje získat stejné informace po prostém vyhodnocení jeden z těchto 45 integrálů (žádný z nich lze použít, pokud je nenulová). Potom lze z toho prvního odvodit dalších 44 integrálů - bez nutnosti zapisovat jakékoli vlnové funkce nebo hodnotit jakékoli integrály - pomocí Clebsch – Gordanovy koeficienty, které lze snadno vyhledat v tabulce nebo vypočítat ručně nebo počítačem.

Kvalitativní shrnutí důkazu

Wigner – Eckartova věta funguje, protože všech 45 těchto různých výpočtů spolu souvisí pomocí rotací. Pokud je elektron na jednom z 2p orbitalů, rotace systému jej obecně přesune do a odlišný 2p orbitální (obvykle to skončí v a kvantová superpozice všech tří základních stavů, m = +1, 0, -1). Podobně, pokud je elektron na jednom ze 4d orbitalů, rotace systému jej přesune na jiný 4d orbitál. Nakonec platí pro polohový operátor analogický výrok: při otáčení systému jsou tři různé komponenty polohového operátoru účinně zaměňovány nebo směšovány.

Pokud začneme tím, že budeme znát jen jednu ze 45 hodnot (řekněme, víme to ${ displaystyle langle 2p, m_ {1} | r_ {i} | 4d, m_ {2} rangle = K}$ ) a poté otočíme systém, což můžeme odvodit K. je také maticovým prvkem mezi otočenou verzí ${ displaystyle langle 2p, m_ {1} |}$ , rotovaná verze ${ displaystyle r_ {i}}$ a otočená verze ${ displaystyle | 4d, m_ {2} rangle}$ . To dává algebraický vztah zahrnující K. a některé nebo všechny ze 44 neznámých prvků matice. Různé rotace systému vedou k různým algebraickým vztahům a ukazuje se, že existuje dostatek informací k tomu, aby bylo možné zjistit všechny prvky matice tímto způsobem.

(V praxi při práci s touto matematikou obvykle platí operátory momentu hybnosti spíše než otáčet státy. Ale to je v zásadě totéž, protože matematika je blízká vztah mezi rotacemi a operátory momentu hybnosti.)

Z hlediska teorie reprezentace

Přesnější vyjádření těchto pozorování a jejich prokázání pomáhá vyvolat matematiku teorie reprezentace. Například sada všech možných 4d orbitalů (tj. 5 stavů m = −2, −1, 0, 1, 2 a jejich kvantové superpozice ) tvoří 5rozměrný abstrakt vektorový prostor. Otočení systému tyto stavy transformuje do sebe, takže se jedná o příklad „skupinové reprezentace“, v tomto případě 5-dimenzionální neredukovatelné zastoupení („irrep“) rotační skupiny SU (2) nebo SO (3), nazývané také „reprezentace spin-2“. Podobně 2p kvantové stavy tvoří 3rozměrný irrep (nazývaný „spin-1“) a komponenty operátoru polohy také tvoří 3rozměrný irrep „spin-1“.

Nyní zvažte prvky matice ${ displaystyle langle 2p, m_ {1} | r_ {i} | 4d, m_ {2} rangle}$ . Ukazuje se, že jsou transformovány rotací podle přímý produkt z těchto tří reprezentací, tj. reprezentace spin-1 orbitálů 2p, reprezentace spin-1 komponent ra reprezentace spin-2 4d orbitalů. Tento přímý produkt, 45-rozměrné znázornění SU (2), je ne an neredukovatelné zastoupení, místo toho je to přímý součet reprezentace spin-4, dvě reprezentace spin-3, tři reprezentace spin-2, dvě reprezentace spin-1 a reprezentace spin-0 (tj. triviální). Nenulové maticové prvky mohou pocházet pouze z podprostoru spin-0. Wigner – Eckartova věta funguje, protože přímý rozklad produktu obsahuje jeden a pouze jeden podprostor spin-0, což znamená, že všechny prvky matice jsou určeny jediným faktorem měřítka.

Kromě celkového faktoru měřítka, výpočet prvku matice ${ displaystyle langle 2p, m_ {1} | r_ {i} | 4d, m_ {2} rangle}$ je ekvivalentní výpočtu projekce odpovídajícího abstraktního vektoru (v 45-dimenzionálním prostoru) do podprostoru spin-0. Výsledky tohoto výpočtu jsou: Clebsch – Gordanovy koeficienty. Klíčovým kvalitativním aspektem Clebsch-Gordanova rozkladu, který umožňuje argumentaci, je to, že při rozkladu tenzorového produktu dvou neredukovatelných reprezentací se každá neredukovatelná reprezentace vyskytuje pouze jednou. To dovoluje Schurovo lemma být použit.^[4]

Důkaz

Počínaje definicí a sférický tenzorový operátor, my máme

{ displaystyle [J _ { pm}, T_ {q} ^ {(k)}] = hbar { sqrt {(k mp q) (k pm q + 1)}} T_ {q pm 1 } ^ {(k)},}

které potom použijeme k výpočtu

{ displaystyle { begin {aligned} & langle j , m | [J _ { pm}, T_ {q} ^ {(k)}] | j ', m' rangle = hbar { sqrt {(k mp q) (k pm q + 1)}} , langle j , m | T_ {q pm 1} ^ {(k)} | j ', m' rangle. konec {zarovnáno}}}

Rozbalíme-li komutátor na LHS výpočtem akce $J \pm$ na podprsenku a ket, pak máme

{ displaystyle { begin {zarovnáno} langle j , m | [J _ { pm}, T_ {q} ^ {(k)}] | j ', m' rangle = & hslash { sqrt {(j pm m) (j mp m + 1)}} , langle j , (m mp 1) | T_ {q} ^ {(k)} | j ', m' rangle & - hslash { sqrt {(j ' mp m') (j ' pm m' + 1)}} , langle j , m | T_ {q} ^ {(k)} | j ', (m' pm 1) rangle. end {zarovnáno}}}

Můžeme tyto dva výsledky spojit, abychom získali

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { sqrt {(j pm m) (j mp m + 1)}} langle j , (m mp 1) | T_ {q} ^ {(k) } | j ', m' rangle = & { sqrt {(j ' mp m') (j ' pm m' + 1)}} , langle j , m | T_ {q} ^ {(k)} | j ', (m' pm 1) rangle & + { sqrt {(k mp q) (k pm q + 1)}} , langle j , m | T_ {q pm 1} ^ {(k)} | j ', m' rangle. end {zarovnáno}}}

Tento rekurzivní vztah pro prvky matice se velmi podobá vztahu rekurze Clebsch – Gordanův koeficient. Ve skutečnosti jsou oba ve formě $\sum C A b, C X C = 0$ . Máme tedy dvě sady lineárních homogenních rovnic:

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {c} a_ {b, c} x_ {c} & = 0, & sum _ {c} a_ {b, c} y_ {c} & = 0. end {zarovnáno}}}

jeden pro Clebsch-Gordanovy koeficienty ( $X C$ ) a jeden pro maticové prvky ( $y C$ ). Není možné přesně vyřešit $X C$ . Můžeme jen říci, že poměry jsou stejné

{ displaystyle { frac {x_ {c}} {x_ {d}}} = { frac {y_ {c}} {y_ {d}}}}

nebo tak $X C \propto y C$ , kde je koeficient proporcionality nezávislý na indexech. Porovnáním relací rekurze tedy můžeme identifikovat Clebsch-Gordanův koeficient $⟨ j 1 m 1 j 2 (m 2 \pm 1)| j m ⟩$ s prvkem matice $⟨ j' m'| T (k) q \pm 1 | j m ⟩$ pak můžeme psát

{ displaystyle langle j ', m' | T_ {q pm 1} ^ {(k)} | j , m rangle propto langle j , m , k , (q pm 1 ) | j ', m' rangle.}

Alternativní konvence

Pro prvky se sníženou maticí existují různé konvence. Jedna konvence, kterou používá Racah^[5] a Wigner,^[6] zahrnuje další fázi a normalizační faktor,

{ displaystyle langle j , m | T_ {q} ^ {(k)} | j ', m' rangle = { frac {(-1) ^ {2k} langle j ', m' , k , q | j , m rangle langle j | T ^ {(k)} | j ' rangle _ { mathrm {R}}} { sqrt {2j + 1}}} = (- 1) ^ {jm} { begin {pmatrix} j & k & j ' - m & q & m' end {pmatrix}} langle j | T ^ {(k)} | j ' rangle _ { mathrm {R}}.}

Kde $2 \times 3$ pole označuje 3-j symbol. (Protože v praxi $k$ je často integrální, $(-1) 2 k$ faktor je v literatuře někdy vynechán.) Při této volbě normalizace splňuje redukovaný maticový vztah vztah:

{ displaystyle langle j | T ^ { dagger (k)} | j ' rangle _ { mathrm {R}} = (- 1) ^ {k + j'-j} langle j' | T ^ {(k)} | j rangle _ { mathrm {R}} ^ {*},}

Kde Hermitian adjoint je definován pomocí $k - q$ konvence. Ačkoli tento vztah není ovlivněn přítomností nebo nepřítomností $(-1) 2 k$ fázový faktor v definici redukovaného maticového prvku, je ovlivněn fázovou konvencí pro Hermitian adjoint.

Další konvencí pro prvky se sníženou maticí je Sakuraiova konvence Moderní kvantová mechanika:

{ displaystyle langle j , m | T_ {q} ^ {(k)} | j ', m' rangle = { frac { langle j ', m' , k , q | j , m rangle langle j | T ^ {(k)} | j ' rangle _ { mathrm {S}}} { sqrt {2j' + 1}}}.}

Příklad

Zvažte hodnotu očekávané pozice $⟨ n j m | X | n j m ⟩$ . Tento maticový prvek je očekávanou hodnotou karteziánského operátoru ve sféricky symetrickém vlastním atomu vodíku a atomu základ, což je netriviální problém. Věta Wigner – Eckart však problém zjednodušuje. (Ve skutečnosti jsme řešení mohli získat rychle pomocí parita, i když půjde trochu delší trasa.)

Víme, že $X$ je jednou ze složek $r$ , což je vektor. Vzhledem k tomu, že vektory jsou sférické tenzorové operátory hodnosti 1, vyplývá z toho $X$ musí to být nějaká lineární kombinace sférického tenzoru 1. stupně $T (1) q$ s $q \in {-1, 0, 1$ }. Ve skutečnosti se to dá ukázat

{ displaystyle x = { frac {T _ {- 1} ^ {(1)} - T_ {1} ^ {(1)}} { sqrt {2}}},}

kde definujeme sférické tenzory jako^[7]

{ displaystyle T_ {q} ^ {(1)} = { sqrt { frac {4 pi} {3}}} rY_ {1} ^ {q}}

a $Y l m$ jsou sférické harmonické, které samy o sobě jsou také sférickými tenzory hodnosti $l$ . Dodatečně, $T (1) 0 = z$ , a

{ displaystyle T _ { pm 1} ^ {(1)} = mp { frac {x pm iy} { sqrt {2}}}.}

Proto,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} & langle n , j , m | x | n ', j' , m ' rangle = & = left langle n , j , m left | { frac {T _ {- 1} ^ {(1)} - T_ {1} ^ {(1)}} { sqrt {2}}} right | n ', j' , m ' right rangle = & = { frac {1} { sqrt {2}}} langle n , j | T ^ {(1)} | n' , j ' rangle , { big (} langle j ', m' , 1 , (- 1) | j , m rangle - langle j ', m' , 1 , 1 | j , m rangle { big)}. end {zarovnáno}}}

Výše uvedený výraz nám dává maticový prvek pro $X$ v $| n j m ⟩$ základ. Abychom našli očekávanou hodnotu, nastavili jsme $n' = n$ , $j' = j$ , a $m' = m$ . Pravidlo výběru pro $m'$ a $m$ je $m \pm 1 = m'$ pro $T (1) \pm1$ sférické tenzory. Jak máme $m' = m$ , to činí Clebsch – Gordanovy koeficienty nula, což vede k očekávané hodnotě rovné nule.

Viz také

Reference

^ Eckartova biografie - Národní akademie Press.
^ Horní index v závorkách $(k)$ poskytuje připomenutí jeho hodnosti. Na rozdíl od toho $q$ , nemusí to být skutečný index.
^ Toto je speciální zápis specifický pro Wigner-Eckartovu větu.
^ Hall 2015 Dodatek C.
^ Racah, G. (1942). „Teorie komplexního spektra II“. Fyzický přehled. 62 (9–10): 438–462. Bibcode:1942PhRv ... 62..438R. doi:10.1103 / PhysRev.62.438.
^ Wigner, E. P. (1951). „O maticích, které snižují produkty společnosti Kronecker zastoupení skupin S. R.“. V Wightman, Arthur S. (ed.). Sebraná díla Eugena Paula Wignera. 3. p. 614. doi:10.1007/978-3-662-02781-3_42.
^ J. J. Sakurai: „Moderní kvantová mechanika“ (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley).

Všeobecné

Hall, Brian C. (2015), Lieovy skupiny, Lieovy algebry a reprezentace: Základní úvod, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666

externí odkazy

J. J. Sakurai, (1994). „Moderní kvantová mechanika“, Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
Weisstein, Eric W. „Wigner – Eckartova věta“. MathWorld.
Wigner – Eckartova věta
Provozovatelé tenzorů

[Eckart_Biography-1] Eckartova biografie - Národní akademie Press.

[2] Horní index v závorkách $(k)$ poskytuje připomenutí jeho hodnosti. Na rozdíl od toho $q$ , nemusí to být skutečný index.

[3] Toto je speciální zápis specifický pro Wigner-Eckartovu větu.

[4] Hall 2015 Dodatek C.

[5] Racah, G. (1942). „Teorie komplexního spektra II“. Fyzický přehled. 62 (9–10): 438–462. Bibcode:1942PhRv ... 62..438R. doi:10.1103 / PhysRev.62.438.

[6] Wigner, E. P. (1951). „O maticích, které snižují produkty společnosti Kronecker zastoupení skupin S. R.“. V Wightman, Arthur S. (ed.). Sebraná díla Eugena Paula Wignera. 3. p. 614. doi:10.1007/978-3-662-02781-3_42.

[J._Sakurai_1994-7] J. J. Sakurai: „Moderní kvantová mechanika“ (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]