Diagramy momentu hybnosti (kvantová mechanika) - Angular momentum diagrams (quantum mechanics)

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

v kvantová mechanika a jeho aplikace pro kvantové mnohočásticové systémy, zejména kvantová chemie, diagramy momentu hybnosti, nebo přesněji z matematického hlediska grafy momentu hybnosti, jsou schematická metoda pro reprezentaci moment hybnosti kvantové stavy kvantového systému, který umožňuje provádět výpočty symbolicky. Přesněji řečeno, šipky kódují stavy momentu hybnosti dovnitř braketová notace a zahrnují abstraktní povahu státu, jako je tenzorové výrobky a pravidla transformace.

Zápis se vyrovná myšlence Penrosova grafická notace a Feynmanovy diagramy. Diagramy se skládají ze šipek a vrcholů s kvantová čísla jako štítky, proto alternativní výraz „grafy Smysl každé šipky souvisí s Hermitian konjugace, což zhruba odpovídá obrácení času stavů momentu hybnosti (srov. Schrödingerova rovnice ). Schematická notace je samo o sobě značně velkým tématem s řadou specializovaných funkcí - tento článek představuje samotné základy.

Byly vyvinuty primárně Adolfas Jucys (někdy překládáno jako Yutsis) ve dvacátém století.

Ekvivalence mezi Diracovou notací a Jucysovými diagramy

Stavy momentu hybnosti

The kvantový stav vektor jedné částice s celkem kvantové číslo momentu hybnosti j a celkem magnetické kvantové číslo m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j, je označován jako a ket |j, m⟩. Jako diagram se jedná o singlšipka v čele.

Symetricky je odpovídající podprsenka ⟨j, m|. Ve formě diagramu se jedná o dvojnásobekšipka v čele, ukazující v opačném směru než na ket.

V každém případě;

• kvantová čísla j, m jsou často označeny vedle šipek pro označení konkrétního stavu momentu hybnosti,
• hroty šípů jsou téměř vždy umístěny uprostřed čáry, nikoli na špičce,
• znaménka rovná se "=" jsou umístěna mezi ekvivalentní diagramy, přesně jako u více algebraických výrazů, které se navzájem rovnají.

Nejzákladnější diagramy jsou pro kety a podprsenky:

Ket |j, m⟩

Podprsenka ⟨j, m|

Šipky jsou směrovány do nebo z vrcholů, stav transformující se podle:

• A standardní reprezentace je označena orientovanou přímkou ​​opouštějící vrchol,
• A kontrastní zobrazení je zobrazen jako přímka vstupující do vrcholu.

Obecně platí, že šipky na sebe navazují ve stejném smyslu. V kontrastním standardním zobrazení obrácení času operátor, zde označený T, se používá. Je to jednotné, což znamená Hermitianský konjugát T^† rovná se inverzní operátor T⁻¹, to je T^† = T⁻¹. Jeho působení na operátor polohy ponechává to neměnné:

${ displaystyle T { hat { mathbf {x}}} T ^ { dagger} = { hat { mathbf {x}}}}$

ale lineární operátor hybnosti se stává záporným:

${ displaystyle T { hat { mathbf {p}}} T ^ { dagger} = - { hat { mathbf {p}}}}$

a roztočit operátor se stává záporným:

${ displaystyle T { hat { mathbf {S}}} T ^ { dagger} = - { hat { mathbf {S}}}}$

Od orbitálu operátor momentu hybnosti je L = X × str, musí se také stát záporným:

${ displaystyle T { hat { mathbf {L}}} T ^ { dagger} = - { hat { mathbf {L}}}}$

a tedy operátor celkového momentu hybnosti J = L + S se stává záporným:

${ displaystyle T { hat { mathbf {J}}} T ^ { dagger} = - { hat { mathbf {J}}}}$

Působí na vlastní stav momentu hybnosti |j, m⟩, lze ukázat, že:^[1]

${ Displaystyle T left | j, m right rangle equiv left | T (j, m) right rangle = {(- 1)} ^ {jm} left | j, -m right zvonit}$

Časově obrácené diagramy pro soupravy a podprsenky jsou:

Čas obrátil ket |j, m⟩.

Časově obrácená podprsenka ⟨j, m|.

Je důležité umístit vrchol správně, protože by se směšovaly operátory dopředného a obráceného času.

Vnitřní produkt

Vnitřní produkt dvou stavů |j₁, m₁⟩ a |j₂, m₂⟩ je:

${ displaystyle langle j_ {2}, m_ {2} | j_ {1}, m_ {1} rangle = delta _ {j_ {1} j_ {2}} delta _ {m_ {1} m_ { 2}}}$

a diagramy jsou:

Vnitřní produkt z |j₁, m₁⟩ a |j₂, m₂⟩, to je ⟨j₂, m₂|j₁, m₁⟩.

Časově obrácený ekvivalent.

Pro součty nad vnitřním součinem, v této souvislosti také známé jako kontrakce (srov. kontrakce tenzoru ):

${ displaystyle sum _ {m} langle j, m | j, m rangle = 2j + 1}$

je obvyklé označovat výsledek jako uzavřený kruh označený pouze j, ne m:

Vnitřní kontrakce produktu.

Vnější výrobky

Vnější produkt dvou států |j₁, m₁⟩ a |j₂, m₂⟩ je provozovatel:

${ displaystyle left | j_ {2}, m_ {2} right rangle left langle j_ {1}, m_ {1} right |}$

a diagramy jsou:

Vnější produkt z |j₁, m₁⟩ a |j₂, m₂⟩, to je |j₂, m₂⟩⟨j₁, m₁|.

Časově obrácený ekvivalent.

Pro součty nad vnějším produktem, v této souvislosti také známé jako kontrakce (srov. kontrakce tenzoru ):

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {m} | j, m rangle langle j, m | & = sum _ {m} | j, -m rangle langle j, -m | & = sum _ {m} {(- 1)} ^ {2 (jm)} | j, -m rangle langle j, -m | & = sum _ {m} {(- 1 )} ^ {jm} | j, -m rangle langle j, -m | {(- 1)} ^ {jm} & = sum _ {m} T | j, m rangle langle j , m | T ^ { dagger} end {zarovnáno}}}$

kde výsledek pro T|j, m⟩ byla použita, a skutečnost, že m vezme sadu hodnot uvedených výše. Neexistuje žádný rozdíl mezi dopředným a obráceným časovým stavem pro kontrakci vnějšího produktu, takže zde sdílejí stejný diagram, představovaný jako jeden řádek bez směru, opět označený j jen a ne m:

Vnější kontrakce produktu.

Tenzorové výrobky

Tenzorový součin ⊗ n státy |j₁, m₁⟩, |j₂, m₂⟩, ... |j_n, m_n⟩ je psáno

${ displaystyle { begin {zarovnáno} left | j_ {1}, m_ {1}, j_ {2}, m_ {2}, ... j_ {n}, m_ {n} right rangle & equiv left | j_ {1}, m_ {1} right rangle otimes left | j_ {2}, m_ {2} right rangle otimes cdots otimes left | j_ {n}, m_ {n} right rangle & equiv left | j_ {1}, m_ {1} right rangle left | j_ {2}, m_ {2} right rangle cdots left | j_ {n}, m_ {n} right rangle end {aligned}}}$

a ve formě diagramu každý samostatný stav opouští nebo vstupuje do společného vrcholu a vytváří „fanouška“ šipek - n řádky připojené k jednomu vrcholu.

Vrcholy v tenzorových produktech mají znaky (někdy nazývané „značky uzlů“), které označují pořadí stavů násobených tenzory:

• A mínus podepsat (−) označuje, že objednávka je ve směru hodinových ručiček, ${ displaystyle circlearrowright}$, a
• A Plus podepsat (+) pro proti směru hodinových ručiček, ${ displaystyle circlearrowleft}$.

Známky se samozřejmě nevyžadují pouze pro jeden stát, schematicky jedna šipka na vrcholu. Někdy jsou zahrnuty zakřivené šipky se znaménky, které explicitně ukazují smysl násobení tenzoru, ale obvykle se zobrazí pouze znaménko s vynechanými šipkami.

Tenzorový produkt z |j₁, m₁⟩, |j₂, m₂⟩, |j₃, m₃⟩, to je |j₁, m₁⟩|j₂, m₂⟩|j₃, m₃⟩ = |j₁, m₁, j₂, m₂, j₃, m₃⟩. Podobně pro více než tři úhlové momenty.

Časově obrácený ekvivalent.

Pro vnitřní součin dvou tenzorových součinů se uvádí:

${ displaystyle { begin {aligned} & left langle j '_ {n}, m' _ {n}, ..., j '_ {2}, m' _ {2}, j '_ { 1}, m '_ {1} | j_ {1}, m_ {1}, j_ {2}, m_ {2}, ... j_ {n}, m_ {n} right rangle = & langle j '_ {n}, m' _ {n} | ... langle j '_ {2}, m' _ {2} | langle j '_ {1}, m' _ {1} || j_ {1}, m_ {1} rangle | j_ {2}, m_ {2} rangle ... | j_ {n}, m_ {n} rangle = & prod _ {k = 1} ^ {n} left langle j '_ {k}, m' _ {k} | j_ {k}, m_ {k} right rangle end {aligned}}}$

existují n spousta vnitřních šipek produktu:

Vnitřní produkt z |j′₁, m′₁, j′₂, m′₂, j′₃, m′₃⟩ a |j₁, m₁, j₂, m₂, j₃, m₃⟩, to je ⟨j′₃, m′₃, j′₂, m′₂, j′₁, m′₁|j₁, m₁, j₂, m₂, j₃, m₃⟩. Podobně pro více než tři páry úhlového momentu.

Časově obrácený ekvivalent.

Příklady a aplikace

• Schémata jsou vhodná pro Clebsch – Gordanovy koeficienty.
• Výpočty se skutečnými kvantovými systémy, jako např multielektronové atomy a molekulární systémy.

Schéma pro a 6-j symbol, ${ displaystyle { begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} end {Bmatrix}}}$.

Schéma pro a 9-j symbol, ${ displaystyle { begin {Bmatrix} j_ {1} & j_ {2} & j_ {3} j_ {4} & j_ {5} & j_ {6} j_ {7} & j_ {8} & j_ {9} konec {Bmatrix}}}$.

Viz také

• Vektorový model atomu
• Provozovatel žebříku
• Fockový prostor
• Feynmanovy diagramy

Reference

• Yutsis, Adolfas P .; Levinson, I. B .; Vanagas, V. V. (1962). Matematický aparát teorie teorie momentu hybnosti. Přeložil A. Sen; R. N. Sen. Izrael Program pro vědecké překlady.
• Wormer a Paldus (2006)^[1] poskytuje podrobný výukový program v diagramech momentu hybnosti.
• I. Lindgren; J. Morrison (1986). Atomová teorie mnoha těl. Chemická fyzika. 13 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-16649-8.

Další čtení

• G.W.F. Drake (2006). Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics (2. vyd.). pružina. p. 60. ISBN  978-0-387-26308-3.
• U. Kaldor; S. Wilson (2003). Teoretická chemie a fyzika těžkých a mimořádně těžkých prvků. Pokrok v teoretické chemii a fyzice. 11. pružina. p. 183. ISBN  978-1-4020-1371-3.
• E.J. Brändas; P.O. Löwdin; E. Brändas; E.S. Kryachko (2004). Základní svět kvantové chemie: Pocta paměti Per-Olova Löwdina. 3. Springer. p. 385. ISBN  978-1-4020-2583-9.
• P. Schwerdtfeger (2004). Teorie relativistické elektronické struktury: Část 2. Aplikace. Teoretická a výpočetní chemie. 14. Elsevier. p. 97. ISBN  978-0-08-054047-4.
• M. Barysz; Y. Ishikawa (2010). Relativistické metody pro chemiky. Výzvy a pokroky ve výpočetní chemii a fyzice. 10. Springer. p. 311. ISBN  978-1-4020-9975-5.

• G.H.F. Diercksen; S. Wilson (1983). Metody ve výpočetní molekulární fyzice. Vědecká řada NATO C. 113. Springer. ISBN  978-90-277-1638-5.
• Zenonas Rudzikas (2007). "8". Teoretická atomová spektroskopie. Cambridge monografie o atomové, molekulární a chemické fyzice. 7. University of Chicago: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-02622-2.
• Lietuvos Fizikų draugija (2004). Lietuvos fizikos žurnalas. 44. University of Chicago: Draugija.
• P.E.T. Jorgensen (1987). Operátoři a teorie reprezentace: Kanonické modely pro algebry operátorů vznikajících v kvantové mechanice. University of Chicago: Elsevier. ISBN  978-0-08-087258-2.
• P. Cvitanović (2008). Teorie skupin - Birdtracks, Lie a výjimečné skupiny. Princeton, NJ: Princeton Univ. Lis. ISBN  978-0-691-11836-9.

Poznámky