Řetěz Pappus - Pappus chain

Řetěz Pappus

v geometrie, Řetěz Pappus je prsten z kruhy mezi dvěma tečné kruhy vyšetřoval Pappus Alexandrijský ve 3. století INZERÁT.

Konstrukce

The arbelos je definován dvěma kruhy, C_U a C_PROTI, které jsou tečny v bodě A a kde C_U je uzavřen C_PROTI. Nechť jsou poloměry těchto dvou kruhů označeny jako r_U a r_PROTI, respektive, a nechť jejich příslušná centra jsou body U a PROTI. Řetěz Pappus se skládá z kruhů ve stínované šedé oblasti, ke kterým jsou externě tečny C_U (vnitřní kruh) a vnitřně tečna k C_PROTI (vnější kruh). Nechte poloměr, průměr a střed bodu n^th kruh řetězce Pappus bude označen jako r_n, d_n a P_n, resp.

Vlastnosti

Středy kruhů

Elipsa

Všechny středy kruhů v řetězci Pappus jsou umístěny na společné elipsa, z následujícího důvodu. Součet vzdáleností od n^th kruh řetězce Pappus do dvou center U a PROTI arbelosových kruhů se rovná konstantě

${ displaystyle { overline { mathbf {P} _ {n} mathbf {U}}} + { overline { mathbf {P} _ {n} mathbf {V}}} = left (r_ { U} + r_ {n} right) + left (r_ {V} -r_ {n} right) = r_ {U} + r_ {V}}$

To znamená, že ohniska této elipsy jsou U a PROTI, středy dvou kruhů, které definují arbelos; tyto body odpovídají středům úseček AB a AC, resp.

Souřadnice

Li r = AC/AB, pak střed nTřetí kruh v řetězci je:

${ displaystyle left (x_ {n}, y_ {n} right) = left ({ frac {r (1 + r)} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}} ~, ~ { frac {nr (1-r)} {n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r}} vpravo)}$

Poloměry kruhů

Li r = AC/AB, pak poloměr nTřetí kruh v řetězci je:

${ displaystyle r_ {n} = { frac {(1-r) r} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}}}$

Inverze kruhu

Pod konkrétní inverzí se středem na A, čtyři počáteční kruhy řetězce Pappus se transformují do stohu čtyř stejně velkých kruhů, vložených mezi dvě paralelní linie. Toto zohledňuje vzorec výšky h_n = n d_n a skutečnost, že původní body tečnosti leží na společném kruhu.

Výška h_n středu města n^th kruh nad průměrem základny ACB rovná se n krát d_n.^[1] To může ukazovat převrácení v kruhu na tečný bod A. Kruh inverze je vybrán tak, aby protínal n^th kružnice kolmo, takže n^th kruh se transformuje do sebe. Dva kruhy arbelos, C_U a C_PROTI, jsou transformovány do paralelních linií tečných k a sendvičových k n^th kruh; proto jsou ostatní kruhy řetězce Pappus transformovány do podobně sendvičových kruhů se stejným průměrem. Počáteční kruh C₀ a poslední kruh C_n každý přispívá ½d_n do výšky h_n, zatímco kruhy C₁–C_n−1 každý přispívá d_n. Sečtením těchto příspěvků se získá rovnice h_n = n d_n.

Stejnou inverzi lze použít k ukázání, že body, kde jsou kružnice řetězce Pappus navzájem tečny, leží na společné kružnici. Jak je uvedeno výše, inverze soustředěný na bod A transformuje kruhy arbelos C_U a C_PROTI do dvou rovnoběžných linií a kruhy řetězce Pappus do stohu stejně velkých kruhů vložených mezi dvě paralelní linie. Body tečnosti mezi transformovanými kružnicemi tedy leží na přímce uprostřed mezi dvěma rovnoběžnými čarami. Při vrácení inverze v kruhu se tato řada tečných bodů transformuje zpět na kruh.

Steinerův řetěz

V těchto vlastnostech mít centra na elipsu a tečnosti na kruhu je řetěz Pappus analogický s Steinerův řetěz, ve kterém je konečně mnoho kruhů tečna ke dvěma kruhům.

Reference

Bibliografie

• Ogilvy, C. S. (1990). Exkurze v geometrii. Doveru. str.54–55. ISBN  0-486-26530-7.
• Bankoff, L. (1981). „Jak to udělal Pappus?“. V Klarner, D. A. (ed.). Matematický Gardner. Boston: Prindle, Weber a Schmidt. str. 112–118.
• Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: Elementární pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu (dotisk edice z roku 1929 Houghton Miflin ed.). New York: Dover Publications. str. 116–117. ISBN  978-0-486-46237-0.
• Wells, D. (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str.5–6. ISBN  0-14-011813-6.

externí odkazy

• Floer van Lamoen a Eric W. Weisstein. "Pappus Chain". MathWorld.
• Tan, Stephen. "Arbelos".