Konfigurace Pappus - Pappus configuration

Konfigurace Pappus

v geometrie, Konfigurace Pappus je konfigurace devíti bodů a devíti linií v Euklidovské letadlo, se třemi body na řádek a třemi liniemi v každém bodě.[1]

Historie a konstrukce

Tato konfigurace je pojmenována po Pappus Alexandrijský. Pappusova šestihranná věta uvádí, že každé dvě trojice kolineárních bodů ABC a abc (žádný z nich leží na průsečíku dvou linií) lze doplnit tak, aby vytvořil konfiguraci Pappus, přidáním šesti linek Ab, AB, Ac, AC, Před naším letopočtem, a před naším letopočtema jejich tři průsečíky X = Ab·AB, Y = Ac·AC, a Z = Před naším letopočtem·před naším letopočtem. Tyto tři body jsou průsečíky „protilehlých“ stran šestiúhelníku AbCaBc. Podle Pappusovy věty má výsledný systém devíti bodů a osmi řádků vždy devátý řádek obsahující tři průsečíky X, Y, a Z, nazvaný Pappusova linie.[2]

Konfigurace Pappus z perspektivních trojúhelníků XcC a YbB

Konfiguraci Pappus lze také odvodit ze dvou trojúhelníků XcC a YbB které jsou navzájem v perspektivě (tři čáry skrz odpovídající dvojice bodů se setkávají na jednom křížení) třemi různými způsoby, společně s jejich třemi středy perspektivity Z, A, a A. Body konfigurace jsou body trojúhelníků a středů perspektivity a čáry konfigurace jsou čáry odpovídajícími dvojicemi bodů.

Související konstrukce

Pappusův graf

The Leviho graf konfigurace Pappus je známá jako Pappusův graf. Je to bipartitní symetrický kubický graf s 18 vrcholy a 27 hranami.[3]

The Odstraňuje konfiguraci lze také definovat pomocí perspektivních trojúhelníků a Konfigurace Reye lze definovat analogicky ze dvou čtyřstěnů, které jsou navzájem v perspektivě čtyřmi různými způsoby, tvořící a desmický systém čtyřstěnů.

Pro všechny nesmysly křivka kubické roviny v euklidovské rovině tři skutečné inflexní body křivky a čtvrtý bod na křivce, existuje jedinečný způsob dokončení těchto čtyř bodů pro vytvoření konfigurace Pappus takovým způsobem, že všech devět bodů leží na křivce.[4]

Aplikace

Konfigurace Pappus, rozšířená o další linii (vertikální ve středu obrázku), řeší problém s výsadbou sadů.

Varianta konfigurace Pappus poskytuje řešení pro problém s výsadbou sadů, problém najít sady bodů, které mají největší možný počet linek přes tři body. Devět bodů konfigurace Pappus tvoří pouze devět tříbodových linií. Mohou však být uspořádány tak, že existuje další tříbodová čára, což je celkem deset. Toto je maximální možný počet tříbodových linií přes devět bodů.[5]

Reference

  1. ^ Grünbaum, Branko (2009), Konfigurace bodů a čar, Postgraduální studium matematiky, 103„Providence, RI: American Mathematical Society, str. xiv + 399, ISBN  978-0-8218-4308-6, PAN  2510707.
  2. ^ Grünbaum (2009), str. 9.
  3. ^ Grünbaum (2009), str. 28.
  4. ^ Mendelsohn, N. S .; Padmanabhan, R .; Wolk, Barry (1987), „Několik poznámek ke shlukům„ n “na kubických křivkách“, Colbourn, Charles J .; Mathon, R. A. (eds.), Teorie kombinatorického designu, Annals of Discrete Mathematics, 34, Elsevier, s. 371–378, doi:10.1016 / S0304-0208 (08) 72903-7, ISBN  9780444703286, PAN  0920661.
  5. ^ Sloane, N. J. A. (vyd.). „Sequence A003035“. The On-line encyklopedie celočíselných sekvencí. Nadace OEIS.

externí odkazy