Projektivní harmonický konjugát - Projective harmonic conjugate

D je harmonický konjugát C w.r.t. A a B.
A, D, B, C tvoří harmonický rozsah.
KLMN je úplný čtyřúhelník, který jej generuje.

v projektivní geometrie, harmonický konjugovaný bod z objednal trojnásobek bodů na skutečná projektivní linie je definována následující konstrukcí:

Vzhledem k tomu, tři kolineární body A, B, C, nechat L být bodem, který neleže na jejich spoji a nechat kteroukoli linii projít C setkat Los Angeles, LB v M, N resp. Li AN a BM setkat se v K., a LK splňuje AB v D, pak D se nazývá harmonický konjugát z C s ohledem na A, B.^[1]

Bod D nezávisí na tom, v jakém bodě L je bráno zpočátku, ani na tom, kudy prochází C slouží k vyhledání M a N. Tato skutečnost vyplývá z Desarguesova věta.

V reálné projektivní geometrii lze harmonickou konjugaci definovat také z hlediska křížový poměr tak jako(A, B; C, D) = −1.

Kritérium křížového poměru

Čtyři body se někdy nazývají a harmonický rozsah (na skutečné projektivní linii), protože se zjistilo, že D vždy rozděluje segment AB vnitřně ve stejném poměru jako C rozděluje AB navenek. To je:

${displaystyle {AC}: {BC} = {AD}: {DB} ,.}$

Pokud jsou tyto segmenty nyní vybaveny běžnou metrickou interpretací reálná čísla oni budou podepsaný a tvoří dvojitý podíl známý jako křížový poměr (někdy dvojnásobný poměr)

${displaystyle (A, B; C, D) = {frac {AC} {AD}} vlevo / {frac {BC} {- DB}} vpravo.,}$

pro který je harmonický rozsah charakterizován hodnotou -1. Píšeme tedy:

${displaystyle (A, B; C, D) = {frac {AC} {AD}} cdot {frac {BD} {BC}} = - 1.}$

Hodnota křížového poměru obecně není jedinečný, protože to závisí na pořadí výběru segmentů (a je jich možné šest). Ale zejména pro harmonický rozsah existují jen tři hodnoty křížového poměru: {−1, 1/2, 2}, protože -1 je samo-inverzní - takže výměna posledních dvou bodů pouze oplácí každou z těchto hodnot, ale neprodukuje žádnou novou hodnotu a je klasicky známá jako harmonický křížový poměr.

Pokud jde o dvojnásobný poměr, dané body A a b na afinní lince, poměr dělení^[2] bodu X je

${displaystyle t (x) = {frac {x-a} {x-b}}.}$

Všimněte si, že když A < X < b, pak t(X) je záporný a že je kladný mimo interval. Křížový poměr (C, d; A, b) = t(C)/t(d) je poměr dělicích poměrů nebo dvojnásobný poměr. Nastavení dvojnásobného poměru na mínus jedna znamená, že když t(C) + t(d) = 0, pak C a d jsou harmonické konjugáty s ohledem na A a b. Kritériem poměru dělení tedy je, že jsou aditivní inverze.

Harmonické rozdělení úsečky je zvláštním případem Apollóniova definice kruhu.

V některých školních studiích se nazývá konfigurace harmonického rozsahu harmonické dělení.

Ve středu

Střed a nekonečno jsou harmonické konjugáty.

Když X je střed segmentu z A na b, pak

${displaystyle t (x) = {frac {x-a} {x-b}} = - 1.}$

Podle kritéria křížového poměru je harmonický konjugát X bude y když t(y) = 1. Neexistuje však konečné řešení pro y na trati A a b. Nicméně,

${displaystyle lim _ {y o infty} t (y) = 1,}$

motivuje tedy začlenění a bod v nekonečnu v projektivní linii. Tento bod v nekonečnu slouží jako harmonický konjugát středního bodu X.

Z úplného čtyřúhelníku

Další přístup k harmonickému konjugátu je prostřednictvím konceptu a kompletní čtyřúhelník jako KLMN ve výše uvedeném diagramu. Na základě čtyř bodů má kompletní čtyřúhelník dvojice protilehlých stran a úhlopříček. Ve vyjádření harmonických konjugátů H. S. M. Coxeter, úhlopříčky jsou považovány za dvojici protilehlých stran:

D je harmonický konjugát C s ohledem na A a B, což znamená, že existuje čtyřúhelník IJKL tak, že jeden pár protilehlých stran se protíná v Aa druhý pár v B, zatímco třetí pár se setká AB v C a D.^[3]

to bylo Karl von Staudt který nejprve použil harmonický konjugát jako základ pro projektivní geometrii nezávislou na metrických úvahách:

... Staudtovi se podařilo uvolnit projektivní geometrii ze základní geometrie. V jeho Geometrie der Lage Staudt představil harmonický čtyřnásobek prvků nezávisle na konceptu křížového poměru po čistě projektivní cestě, pomocí úplného čtyřúhelníku nebo čtyřúhelníku.^[4]

${displaystyle P_ {1} = A, P_ {2} = S,}$
${displaystyle P_ {3} = B, P_ {4} = Q, D = M;}$
(zelené M ignorujte).

Chcete-li vidět celý čtyřúhelník aplikovaný na získání středu, zvažte následující pasáž od J. W. Younga:

Pokud dva libovolné řádky AQ a TAK JAKO jsou nakresleny A a řádky BS a BQ jsou nakresleny B paralela k AQ a TAK JAKO řádky AQ a SB setkat se, podle definice, v bodě R v nekonečnu TAK JAKO a QB splnit podle definice v bodě P v nekonečnu. Kompletní čtyřúhelník PQRS pak má dva úhlopříčné body v A a B, zatímco zbývající dvojice protilehlých stran prochází M a bod v nekonečnu AB. Bod M je pak konstrukcí harmonické konjugátu bodu v nekonečnu na AB s ohledem na A a B. Na druhou stranu M je středem segmentu AB vyplývá ze známého tvrzení, že úhlopříčky rovnoběžníku (PQRS) rozdělit na sebe.^[5]

Kvartérní vztahy

Čtyři seřazené body na a projektivní rozsah jsou nazývány harmonické body když je tetrastigm v rovině tak, že první a třetí jsou codoty a další dva body jsou na konektorech třetího codotu.^[6]

Li p je bod, který není na přímce s harmonickými body, spojeními p s body jsou harmonické rovinky. Podobně, pokud osa a tužka letadel je překroutit na přímku s harmonickými body jsou roviny v bodech harmonické roviny.^[6]

Sada čtyř v takovém vztahu byla nazývána a harmonická čtyřnásobek.^[7]

Projektivní kuželosečky

Kužel v projektivní rovině je křivka C který má následující vlastnost: Pokud P je bod není na C, a je-li proměnná linka skrz P splňuje C v bodech A a B, pak variabilní harmonický konjugát P s ohledem na A a B sleduje linku. Bod P se nazývá pól této řady harmonických konjugátů a tato řada se nazývá polární čára z P s ohledem na kuželovitý. Viz článek Polární a polární Více podrobností.

Inverzní geometrie

V případě, že kuželosečka je kruh, na rozšířených průměrech kruhu jsou harmonické konjugáty vzhledem ke kružnici inverze v kruhu. Tato skutečnost vyplývá z jedné z Smogorzhevského vět:^[8]

Pokud kruhy k a q jsou vzájemně kolmé, pak přímka procházející středem k a protínající se q, dělá to v bodech symetrických vzhledem kk.

To znamená, že pokud má čára prodloužený průměr k, pak křižovatky s q jsou harmonické konjugáty.

Galois tetrads

v Galoisova geometrie přes Galoisovo pole GF (q) řádek má q + 1 bod, kde ∞ = (1,0). V tomto řádku tvoří čtyři body harmonickou tetradu, když dva harmonicky oddělují ostatní. Kondice

${displaystyle (c, d; a, b) = - 1, {ext {ekvivalentně}} 2 (cd + ab) = (c + d) (a + b),}$

charakterizuje harmonické tetrady. Pozornost na tyto tetrady vedla Jean Dieudonné k jeho vymezení některých náhodné izomorfismy z projektivní lineární skupiny PGL (2, q) pro q = 5, 7 a 9.^[9]

Li q = 2ⁿ, pak je harmonický konjugát C sám.^[10]

Iterované projektivní harmonické konjugáty a zlatý řez

Nechat ${displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$ být tři různé body na skutečné projektivní linii. Uvažujme o nekonečné posloupnosti bodů ${displaystyle P_ {n},}$ kde ${displaystyle P_ {n}}$ je harmonický konjugát ${displaystyle P_ {n-3}}$ s ohledem na ${displaystyle P_ {n-1}, P_ {n-2}}$ pro ${displaystyle n> 2.}$ Tato posloupnost je konvergentní.^[11]

Pro konečný limit ${displaystyle P}$ my máme

${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {P_ {n + 1} P} {P_ {n} P}} = Phi -2 = -Phi ^ {- 2} = - {frac {3- {sqrt { 5}}} {2}},}$

kde ${displaystyle Phi = {frac {1} {2}} (1+ {sqrt {5}})}$ je Zlatý řez, tj. ${displaystyle P_ {n + 1} Papprox -Phi ^ {- 2} P_ {n} P}$ pro velké ${displaystyle n}$.Pro nekonečný limit máme

${displaystyle lim _ {n o infty} {frac {P_ {n + 2} P_ {n + 1}} {P_ {n + 1} P_ {n}}} = - 1-Phi = -Phi ^ {2} .}$

Jako důkaz zvažte projektivní izomorfismus

${displaystyle f (z) = {frac {az + b} {cz + d}}}$

s

${displaystyle fleft ((- 1) ^ {n} Phi ^ {2n} ight) = P_ {n}.}$

Reference

• Juan Carlos Alverez (2000) Projektivní geometrie, viz Kapitola 2: Skutečná projektivní rovina, část 3: Harmonické čtyřky a von Staudtova věta.
• Robert Lachlan (1893) Základní pojednání o moderní čisté geometrii, odkaz od Cornell University Historické matematické monografie.
• Bertrand Russell (1903) Principy matematiky, strana 384.
• Russell, John Wellesley (1905). Čistá geometrie. Clarendon Press.