Polární a polární - Pole and polar

Polární čára q do bodu Q vzhledem k kruhu o poloměru r na střed Ó. Bod P je inverzní bod z Q; polární je přímka P který je kolmý na řádek obsahující Ó, P a Q.

v geometrie, pól a polární jsou respektive bod a přímka, které mají jedinečný vzájemný vztah s ohledem na daný kuželovitý řez.

Pro daný kruh odplata v kružnici znamená transformaci každého bodu v rovině na jeho polární čáru a každé přímky v rovině na jeho pól.

Vlastnosti

Poláci a póly mají několik užitečných vlastností:

• Pokud bod P leží na řádku l, pak tyč L linky l leží na poláru p bodu P.
• Pokud bod P pohybuje se po čáře l, jeho polární p otáčí se kolem tyče L linky l.
• Pokud lze z pólu do kuželovitého řezu nakreslit dvě tečny, pak jeho polární prochází oběma tečnými body.
• Pokud bod leží na kuželovitém řezu, jeho polární je tečna skrz tento bod do kuželovitého řezu.
• Pokud bod P leží tedy na jeho vlastní polární linii P je na kuželovité části.
• Každá čára má, s ohledem na nedegenerovaný kuželovitý řez, přesně jeden pól.

Zvláštní případ kruhů

Pól čáry L v kruh C je bod P toto je inverze v C bodu Q na L to je nejblíže ke středu kruhu. Naopak polární čára (nebo polární) bodu P v kruhu C je čára L tak, aby jeho nejbližší bod Q do středu kruhu je inverze z P v C.

Pokud bod A leží na polární linii q jiného bodu Q, pak Q leží na polární linii A z A. Obecněji řečeno, poláry všech bodů na přímce q musí projít jeho pólem Q.

Vztah mezi póly a póly je vzájemný. Tedy pokud bod A leží na polární linii q bodu Q, pak bod Q musí ležet na polární linii A bodu A. Dvě polární čáry A a q nemusí být paralelní.

Existuje další popis polární čáry bodu P v případě, že leží mimo kruh C. V tomto případě existují dva řádky P což jsou tečna ke kruhu a polární P je přímka spojující dva body tečnosti (zde není zobrazena). To ukazuje pól a polární čára jsou pojmy v projektivní geometrie z letadlo a zobecňovat s jakýmkoli nesingulární kuželovitý tvar v místě kruhu C.

Oplatnost a projektivní dualita

Ilustrace duality mezi body a přímkami a dvojího významu „dopadu“. Pokud dva řádky A a k projít jediným bodem Q, pak polární q z Q spojuje póly A a K. řádků A a k, resp.

Koncepty pól a jeho polární čára byli pokročilí v projektivní geometrie. Například polární čáru lze zobrazit jako množinu projektivní harmonické konjugáty daného bodu, pólu, vzhledem ke kuželosečce. Operace nahrazení každého bodu jeho polární a naopak je známá jako polarita.

A polarita je korelace to je také involuce.

Obecné kuželosečky

Čára p je polární čára k bodu P, l na L a m na M

p je polární čára k bodu P ; m je polární čára k M

Pojmy pól, polár a reciprocita lze zobecnit z kruhů na jiné kuželovité úseky které jsou elipsa, hyperbola a parabola. Toto zobecnění je možné, protože kuželovité úseky jsou výsledkem opětování kruhu v jiném kruhu a příslušné vlastnosti, jako například výskyt a křížový poměr, jsou zachovány pod všemi projektivní transformace.

Výpočet poláru bodu

Generál kuželovitý řez lze psát jako rovnice druhého stupně v Kartézské souřadnice (X, y) z letadlo

${displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0,}$

kde A_xx, A_xy, A_yy, B_X, B_y, a C jsou konstanty definující rovnici. Pro takový kuželovitý řez je polární čára k danému pólovému bodu (ξ, η) definována rovnicí

${displaystyle Dx + Ey + F = 0,}$

kde D, E a F jsou rovněž konstanty, které závisí na souřadnicích pólů (ξ, η)

${displaystyle {egin {aligned} D & = A_ {xx} xi + A_ {xy} eta + B_ {x} E & = A_ {xy} xi + A_ {yy} eta + B_ {y} F & = B_ {x } xi + B_ {y} eta + C, konec {zarovnáno}}}$

Výpočet pólu vedení

Pól vedení ${displaystyle Dx + Ey + F = 0}$ve vztahu k nedegenerovanému kuželovitému řezu

${displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0,}$

lze vypočítat ve dvou krocích.

Nejprve spočítejte čísla x, yaz z

${displaystyle {egin {bmatrix} x y zend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} A_ {xx} & A_ {xy} & B_ {x} A_ {xy} & A_ {yy} & B_ {y} B_ { x} & B_ {y} & Cend {bmatrix}} ^ {- 1} cdot {egin {bmatrix} D E Fend {bmatrix}}}$

Nyní je pól bodem se souřadnicemi ${displaystyle left ({frac {x} {z}}, {frac {y} {z}} ight)}$

Prostřednictvím úplného čtyřúhelníku

Vzhledem k tomu, že čtyři body tvoří a kompletní čtyřúhelník, čáry spojující body se protínají v dalších třech diagonálních bodech. Daný bod Z ne na kuželovitý C, nakreslete dva secants z Z přes C křížení v bodech A, B, D, a E. Pak tyto čtyři body tvoří úplný čtyřúhelník s Z v jednom z diagonálních bodů. Přímka spojující další dva diagonální body je polární Z, a Z je pól této linky.^[1]

Aplikace

Poláky a poláry definoval Joseph Diaz Gergonne a hrát důležitou roli při jeho řešení problém Apollónia.^[2]

V rovinné dynamice je pól středem otáčení, pól je silová linie působení a kónický je matice setrvačnosti hmoty.^[3] Vztah pól-pól se používá k definování centrum bicích rovinného tuhého tělesa. Pokud je pólem bod závěsu, pak je polární přímkou ​​působení, jak je popsáno v rovině teorie šroubů.

Viz také

• Duální mnohoúhelník
• Duální mnohostěn
• Polární křivka
• Projektivní geometrie
• Projektivní harmonické konjugáty

Bibliografie

• Johnson RA (1960). Advanced Euclidean Geometry: Elementární pojednání o geometrii trojúhelníku a kruhu. New York: Dover Publications. str. 100–105.
• Coxeter HSM, Greitzer SL (1967). Geometrie Revisited. Washington: MAA. str.132 –136, 150. ISBN  978-0-88385-619-2.
• Gray J J (2007). Světy z ničeho: Kurz dějin geometrie v 19. století. London: Springer Verlag. str.21. ISBN  978-1-84628-632-2.
• Korn GA, Korn TM (1961). Matematická příručka pro vědce a inženýry. New York: McGraw-Hill. 43–45. LCCN  59014456. Brožovaná verze publikovaná společností Dover Publications má ISBN  978-0-486-41147-7.
• Wells D (1991). Slovník tučňáků zvědavé a zajímavé geometrie. New York: Penguin Books. str.190–191. ISBN  0-14-011813-6.

Reference

externí odkazy

• Interaktivní animace s více póly a póly v Cut-the-Knot
• Interaktivní animace s jedním pólem a jeho pólem
• Interaktivní 3D s barevnými více póly / póly - otevřený zdroj
• Weisstein, Eric W. "Polární". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. „Reciprocation“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Inverzní tyč". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Reciproční křivka". MathWorld.
• Tutorial v matematické hojnosti