Goldiesova věta - Goldies theorem - Wikipedia

v matematika, Goldieho věta je základní strukturální výsledek v teorie prstenů, prokázáno Alfred Goldie během padesátých let. Co se nyní nazývá právo Zlatý prsten je prsten R to má konečný jednotný rozměr (= "konečná hodnost") jako pravý modul nad sebou a splňuje vzestupný stav řetězu napravo anihilátory podskupin R.

Goldieho věta uvádí, že poloprime správné prsteny Goldie jsou přesně ty, které mají a polojednoduchý Artinian že jo klasický okruh kvocientů. Strukturu tohoto kruhu kvocientů poté zcela určuje Artin – Wedderburnova věta.

Zejména Goldieho věta platí pro poloprime právo Noetherian prsteny, protože podle definice pravé noetherovské prsteny mají vzestupnou podmínku řetězu Všechno správné ideály. To je dostatečné k zajištění toho, že pravo-noetherský prsten má pravdu Goldie. Konverzace neplatí: každé právo Rudná doména je správná doména Goldie, a tedy i každá komutativní integrální doména.

Důsledkem Goldieho věty, opět kvůli Goldie, je to, že každý poloprime hlavní pravý ideální prsten je izomorfní s konečným přímým součtem primární hlavní pravé ideální kroužky. Každý hlavní hlavní pravý ideální kruh je isomorfní s a maticový prsten přes pravou rudnou doménu.

Náčrt důkazu

Toto je nástin charakterizace zmíněné v úvodu. Najdete ji v (Lam 1999, str. 324).

Li R být poloprímým pravým prstenem Goldie, pak je to správné pořadí v polojednodušém kruhu:
- Základní správné ideály z R jsou přesně ty, které obsahují a regulární prvek.
- Neexistují nenulové hodnoty žádné ideály v R.
- R je právo nesingulární prsten.^[1]
- Z předchozích pozorování R je právo Rudný prsten, a tedy jeho pravý klasický okruh kvocientů Q^r existuje. Také z předchozích pozorování, Q^r je polojediný prsten. Tím pádem R je správné pořadí Q^r.
Li R je správné pořadí v polojednodušém kruhu Q, pak je to semiprime správně Goldie:
- Jakékoli správné pořadí v noetherianském kruhu (např Q) má pravdu Goldie.
- Jakékoli správné pořadí v noetherianském poloprime kruhu (např Q) je sám o sobě semiprime.
- Tím pádem, R je semiprime správně, Goldie.

Reference

^ To lze odvodit z věty Mewborna a Wintona, že pokud prsten splňuje maximální stav na pravých anihilátorech je pravý singulární ideál nilpotentní. (Lam 1999, str. 252)

Coutinho, S.C .; McConnell, J.C. (2003). "Pátrání po kvocientových prstencích (nekomutativních noetherských prstenů"). Americký matematický měsíčník. 110 (4): 298–313. CiteSeerX 10.1.1.296.8947. doi:10.2307/3647879. JSTOR 3647879.
Goldie, A.W. (1958). Msgstr "Struktura primárních kruhů za podmínek vzestupného řetězce". Proc. London Math. Soc. 8 (4): 589–608. doi:10,1112 / plms / s3-8,4,589.
Goldie, A.W. (1960). "Semi-prime kroužky s maximálními podmínkami". Proc. London Math. Soc. 10: 201–220. doi:10.1112 / plms / s3-10.1.201.
Herstein, I.N. (1969). Témata teorie prstenů. Přednášky z matematiky v Chicagu. Chicago, Ill.: Chicago Univ. Pr. str.61 –86. ISBN 978-0-226-32802-7.
Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294

externí odkazy

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] To lze odvodit z věty Mewborna a Wintona, že pokud prsten splňuje maximální stav na pravých anihilátorech je pravý singulární ideál nilpotentní. (Lam 1999, str. 252)

[1]