Eakin – Nagatova věta - Eakin–Nagata theorem

V abstraktní algebře je Eakin – Nagatova věta uvádí: daný komutativní prsteny ${ displaystyle A podmnožina B}$ takhle ${ displaystyle B}$ je definitivně generováno jako modul přes ${ displaystyle A}$, pokud ${ displaystyle B}$ je Noetherian ring, pak ${ displaystyle A}$ je noetherovský prsten.^[1] (Všimněte si, že konverzace je také pravdivá a je jednodušší.)

Věta je podobná jako Artin – Tate lemma, který říká, že stejné prohlášení platí i pro „noetherian“ nahrazený „konečně generovaná algebra "(za předpokladu, že základním prstencem je noetherovský kruh).

Věta byla poprvé prokázána v práci Paula M. Eakina (Eakin 1968 ) a později nezávisle na Masayoshi Nagata  (1968 ).^[2] Věta může být také odvozena z charakterizace noetherského kruhu z hlediska injektivních modulů, jak to dělá například David Eisenbud v (Eisenbud 1970 ); tento přístup je užitečný pro zobecnění na nekomutativní prsteny.

Důkaz

Následující obecnější výsledek je způsoben Edward W. Formanek a dokazuje to argument vycházející z původních důkazů Eakina a Nagaty. Podle (Matsumura 1989 ), tato formulace je pravděpodobně nejtransparentnější.

Důkaz: To stačí ukázat ${ displaystyle M}$ je Noetherian modul protože prsten obecně přijímající věrný noetherianský modul je noetherianský prsten.^[4] Předpokládejme opak. Předpokladem je soubor všech ${ displaystyle IM}$, kde ${ displaystyle I}$ je ideál ${ displaystyle A}$ takhle ${ displaystyle M / IM}$ není Noetherian má maximální prvek, ${ displaystyle I_ {0} M}$. Výměna ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle A}$ podle ${ displaystyle M / I_ {0} M}$ a ${ displaystyle A / operatorname {Ann} (M / I_ {0} M)}$, můžeme předpokládat

• pro každý nenulový ideál ${ displaystyle I podmnožina A}$, modul ${ displaystyle M / IM}$ je Noetherian.

Dále zvažte sadu ${ displaystyle S}$ podmodulů ${ displaystyle N podmnožina M}$ takhle ${ displaystyle M / N}$ je věrný. Vyberte si sadu generátorů ${ displaystyle {x_ {1}, tečky, x_ {n} }}$ z ${ displaystyle M}$ a pak si to povšimněte ${ displaystyle M / N}$ je věrný právě tehdy, když pro každého ${ displaystyle a v A}$, zahrnutí ${ displaystyle {ax_ {1}, tečky, ax_ {n} } podmnožina N}$ naznačuje ${ displaystyle a = 0}$. Je tedy jasné, že Zornovo lemma platí pro sadu ${ displaystyle S}$, a tedy sada má maximální prvek, ${ displaystyle N_ {0}}$. Teď když ${ displaystyle M / N_ {0}}$ je Noetherian, pak je to věrný Noetherian modul A a následně, A je noetherovský prsten, rozpor. Proto, ${ displaystyle M / N_ {0}}$ není Noetherian a nahrazuje ${ displaystyle M}$ podle ${ displaystyle M / N_ {0}}$, můžeme také předpokládat

• každý nenulový submodul ${ displaystyle N podmnožina M}$ je takový ${ displaystyle M / N}$ není věrný.

Nechte submodul ${ displaystyle 0 neq N podmnožina M}$ být uveden. Od té doby ${ displaystyle M / N}$ není věrný, existuje nenulový prvek ${ displaystyle a v A}$ takhle ${ displaystyle aM podmnožina N}$. Podle předpokladu ${ displaystyle M / aM}$ je Noetherian a tak ${ displaystyle N / aM}$ je definitivně generován. Od té doby ${ displaystyle aM}$ je také definitivně generován, z toho vyplývá ${ displaystyle N}$ je definitivně generován; tj., ${ displaystyle M}$ je Noetherian, rozpor. ${ displaystyle square}$

Reference

• Eakin, Paul M., Jr. (1968), „Konverzace k dobře známé větě o noetherských prstencích“, Mathematische Annalen, 177 (4): 278–282, doi:10.1007 / bf01350720, PAN  0225767
• Nagata, Masayoshi (1968), „Typ podřetězců noetherovského kruhu“, Journal of Mathematics of Kyoto University, 8 (3): 465–467, doi:10.1215 / kjm / 1250524062, PAN  0236162
• Eisenbud, David (1970), "Subrings of Artinian and Noetherian ring", Mathematische Annalen, 185 (3): 247–249, doi:10.1007 / bf01350264, PAN  0262275
• Formanek, Edward; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974), „Subrings of Noetherian ring“, Proceedings of the American Mathematical Society, 46 (2): 181–181, doi:10.1090 / s0002-9939-1974-0414625-5, PAN  0414625
• Matsumura, Hideyuki (1989), Komutativní teorie prstenů, Cambridge studia pokročilé matematiky, 8 (2. vyd.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-36764-6, PAN  1011461

Další čtení

• Math StackExchange - Cvičení z Kaplanského komutativních prstenů a Eakin-Nagataovy věty