Vzestupná podmínka řetězce na hlavních ideálech - Ascending chain condition on principal ideals

v abstraktní algebra, vzestupný stav řetězu lze použít na posety hlavního levého, hlavního pravého nebo hlavních oboustranných ideálů a prsten, částečně seřazeno podle zařazení. The vzestupná podmínka řetězce na hlavních ideálech (ve zkratce ACCP) je spokojen, pokud neexistuje nekonečný přísně vzestupný řetězec hlavní ideály daného typu (levý / pravý / oboustranný) v kruhu, nebo řečeno jinak, je každý vzestupný řetězec nakonec konstantní.

Protějšek sestupný stav řetězu mohou být také použity na tyto posety, ale v současné době není potřeba terminologie „DCCP“, protože tyto prsteny se již nazývají levý nebo pravý perfektní prsteny. (Viz část Nekomutativní prsten níže.)

Noetherian prsteny (např. hlavní ideální domény ) jsou typické příklady, ale některé důležité néetheranské kruhy také splňují (ACCP), zejména jedinečné faktorizační domény a levé nebo pravé dokonalé prsteny.

Komutativní prsteny

Je dobře známo, že nenulová nejednotka v noetherovské integrální doméně působí na neredukovatelné. Důkaz toho spoléhá pouze na (ACCP), nikoli (ACC), takže v jakékoli integrální doméně s (ACCP) existuje neredukovatelná faktorizace. (Jinými slovy, všechny integrální domény s (ACCP) jsou atomový. Ale konverzace je falešná, jak ukazuje (Grams 1974 ).) Taková faktorizace nemusí být jedinečná; obvyklý způsob stanovení jedinečnosti použití faktorizace Euklidovo lemma, což vyžaduje, aby byly faktory primární spíše než jen neredukovatelné. Jeden má ve skutečnosti následující charakterizaci: let A být integrální doménou. Pak jsou ekvivalentní následující.

A je UFD.
A uspokojuje (ACCP) a každý nesnížitelný A je hlavní.
A je Doména GCD uspokojující (ACCP).

Takzvaný Kritérium Nagata platí pro integrální doménu A uspokojující (ACCP): Let S být multiplikativně uzavřená podmnožina z A generované prvočísly. Pokud lokalizace S⁻¹A je UFD, tak je A. (Nagata 1975, Lemma 2.1) (Všimněte si, že obrácení je triviální.)

Integrální doména A splňuje (ACCP) právě tehdy, když polynomiální kruh A[t] dělá.^[1] Obdobná skutečnost je nepravdivá, pokud A není integrální doménou. (Heinzer & Lantz 1994 )

An integrální doména kde každý konečně vygenerovaný ideál je principál (tj. a Doména Bézout ) splňuje (ACCP) právě tehdy, pokud se jedná o a hlavní ideální doména.^[2]

Prsten Z+XQ[X] všech racionálních polynomů s integrálním konstantním členem je příkladem integrální domény (ve skutečnosti domény GCD), která nesplňuje (ACCP), pro řetězec hlavních ideálů

{ displaystyle (X) podmnožina (X / 2) podmnožina (X / 4) podmnožina (X / 8), ...}

je nekončící.

Nezávazné prsteny

V nekomutativním případě je nutné rozlišovat správný ACCP z vlevo ACCP. První vyžaduje pouze poset ideálů formy xR uspokojit vzestupnou podmínku řetězce a ten zkoumá pouze poset ideálů formy Rx.

Věta o Hyman Bass v (Bass 1960 ) nyní známý jako "Bass 'Theorem P" ukázal, že sestupný stav řetězu na jistinu vlevo, odjet ideály prstenu R je ekvivalentní k R být že jo perfektní prsten. D. Jonah se objevil (Jonah 1970 ), že mezi ACCP a dokonalými kroužky existuje boční přepínací spojení. Ukázalo se, že pokud R je správně perfektní (splňuje správné DCCP) R uspokojuje levý ACCP a symetricky, pokud R je vlevo perfektní (uspokojuje levý DCCP), pak uspokojuje pravý ACCP. Konverze nejsou pravdivé a výše uvedené přepínače mezi „vlevo“ a „vpravo“ nejsou překlepy.

Zda ACCP drží na pravé nebo levé straně R, to znamená R nemá nekonečnou sadu nenulových hodnot ortogonální idempotents, a to R je Dedekindův konečný prsten. (Lam 1999, s. 230–231)

Reference

^ Gilmer, Robert (1986), „Vlastnictví E v komutativních monoidních kruzích ", Skupinové a poloskupinové kruhy (Johannesburg, 1985), North-Holland Math. Stud., 126, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 13–18, PAN 0860048.
^ Důkaz: V doméně Bézout je ACCP ekvivalentní ACC na konečně generované ideály, ale je známo, že je to ekvivalentní ACC na Všechno ideály. Doménou je tedy Noetherian a Bézout, tedy hlavní ideální doména.

Bass, Hyman (1960), „Finitistický rozměr a homologické zobecnění poloprimárních kruhů“, Trans. Amer. Matematika. Soc., 95: 466–488, doi:10.1090 / s0002-9947-1960-0157984-8, ISSN 0002-9947, PAN 0157984
Grams, Anne (1974), „Atomové prstence a podmínky vzestupného řetězce pro hlavní ideály“, Proc. Cambridge Philos. Soc., 75: 321–329, doi:10.1017 / s0305004100048532, PAN 0340249
Heinzer, William J .; Lantz, David C. (1994), „ACCP v polynomiálních kruzích: protiklad“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 121 (3): 975–977, doi:10.2307/2160301, ISSN 0002-9939, JSTOR 2160301, PAN 1232140
Jonah, David (1970), „Prsteny s minimální podmínkou pro hlavní pravé ideály mají maximální podmínku pro hlavní levé ideály“, Matematika. Z., 113: 106–112, doi:10.1007 / bf01141096, ISSN 0025-5874, PAN 0260779
Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294
Nagata, Masayoshi (1975), „Některé typy jednoduchých rozšíření prstenů“ (PDF), Houston J. Math., 1 (1): 131–136, ISSN 0362-1588, PAN 0382248^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

[1] Gilmer, Robert (1986), „Vlastnictví E v komutativních monoidních kruzích ", Skupinové a poloskupinové kruhy (Johannesburg, 1985), North-Holland Math. Stud., 126, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 13–18, PAN 0860048.

[2] Důkaz: V doméně Bézout je ACCP ekvivalentní ACC na konečně generované ideály, ale je známo, že je to ekvivalentní ACC na Všechno ideály. Doménou je tedy Noetherian a Bézout, tedy hlavní ideální doména.

[1]

[2]