Graf Clausenovy funkce Cl2 (θ )
v matematika , Clausenova funkce , představil Thomas Clausen (1832 ), je transcendentální, speciální funkce jedné proměnné. To může být různě vyjádřeno ve formě a určitý integrál , a trigonometrická řada a různé další speciální funkce. Je úzce spjat s polylogaritmus , inverzní tangensový integrál , funkce polygammy , Funkce Riemann zeta , Funkce Dirichlet eta , a Funkce Dirichlet beta .
The Clausenova funkce řádu 2 - často označované jako the Clausenova funkce, navzdory tomu, že je jen jednou ze třídy mnoha - je dána integrálem:
Cl 2 ( φ ) = − ∫ 0 φ log | 2 hřích X 2 | d X : { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( varphi) = - int _ {0} ^ { varphi} log left | 2 sin { frac {x} {2}} vpravo | , dx:} V dosahu 0 < φ < 2 π { displaystyle 0 < varphi <2 pi ,} sinusová funkce uvnitř absolutní hodnota znaménko zůstává přísně kladné, takže znaky absolutní hodnoty mohou být vynechány. Funkce Clausen má také Fourierova řada zastoupení:
Cl 2 ( φ ) = ∑ k = 1 ∞ hřích k φ k 2 = hřích φ + hřích 2 φ 2 2 + hřích 3 φ 3 2 + hřích 4 φ 4 2 + ⋯ { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( varphi) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k varphi} {k ^ {2}}} = sin varphi + { frac { sin 2 varphi} {2 ^ {2}}} + { frac { sin 3 varphi} {3 ^ {2}}} + { frac { sin 4 varphi} {4 ^ {2}}} + cdots} Clausenovy funkce jako třída funkcí se ve velké míře objevují v mnoha oblastech moderního matematického výzkumu, zejména v souvislosti s hodnocením mnoha tříd logaritmický a polylogaritmické integrály, definitivní i neurčité. Mají také četné aplikace, pokud jde o shrnutí hypergeometrická řada , součty zahrnující inverzní k centrální binomický koeficient , součty funkce polygammy , a Dirichlet řada L. .
Základní vlastnosti The Clausenova funkce (řádu 2) má jednoduché nuly na všech (celých) násobcích π , { displaystyle pi, ,} k ∈ Z { displaystyle k in mathbb {Z} ,} hřích k π = 0 { displaystyle sin k pi = 0}
Cl 2 ( m π ) = 0 , m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ⋯ { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (m pi) = 0, quad m = 0, , pm 1, , pm 2, , pm 3, , cdots} Má maxima na θ = π 3 + 2 m π [ m ∈ Z ] { displaystyle theta = { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in mathbb {Z}]}
Cl 2 ( π 3 + 2 m π ) = 1.01494160 … { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} + 2m pi right) = 1,01494160 ldots} a minima v θ = − π 3 + 2 m π [ m ∈ Z ] { displaystyle theta = - { frac { pi} {3}} + 2 m pi quad [m in mathbb {Z}]}
Cl 2 ( − π 3 + 2 m π ) = − 1.01494160 … { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left (- { frac { pi} {3}} + 2m pi right) = - 1,01494160 ldots} Následující vlastnosti jsou okamžitými důsledky definice řady:
Cl 2 ( θ + 2 m π ) = Cl 2 ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( theta + 2m pi) = operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} Cl 2 ( − θ ) = − Cl 2 ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (- theta) = - operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} (Čj : Tyto výsledky viz Lu a Perez, 1992, níže, ačkoli nejsou uvedeny žádné důkazy).
Obecná definice Standardní funkce Clausen
Funkce Glaisher – Clausen
Obecněji jeden definuje dvě zobecněné Clausenovy funkce:
S z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k z { displaystyle operatorname {S} _ {z} ( theta) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {z}}}} C z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k z { displaystyle operatorname {C} _ {z} ( theta) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {z}}}} které platí pro komplex z s Re z > 1. Definici lze rozšířit na celou složitou rovinu analytické pokračování .
Když z je nahrazeno nezáporným celým číslem, Standardní funkce Clausen jsou definovány následujícím způsobem Fourierova řada :
Cl 2 m + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m + 2 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 2} }}} Cl 2 m + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 1 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1} }}} Sl 2 m + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 2 { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m + 2} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 2} }}} Sl 2 m + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m + 1 { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1} }}} N.B. The Funkce Clausen typu SL mít alternativní notaci Gl m ( θ ) { displaystyle operatorname {Gl} _ {m} ( theta) ,} Funkce Glaisher – Clausen (po James Whitbread Lee Glaisher , odtud GL-notace).
Vztah k Bernoulliho polynomům The Clausenova funkce typu SL jsou polynomy v θ { displaystyle , theta ,} Bernoulliho polynomy . Tato souvislost je patrná z Fourierova řada reprezentace Bernoulliho polynomů:
B 2 n − 1 ( X ) = 2 ( − 1 ) n ( 2 n − 1 ) ! ( 2 π ) 2 n − 1 ∑ k = 1 ∞ hřích 2 π k X k 2 n − 1 . { displaystyle B_ {2n-1} (x) = { frac {2 (-1) ^ {n} (2n-1)!} {(2 pi) ^ {2n-1}}}} , součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin 2 pi kx} {k ^ {2n-1}}}.} B 2 n ( X ) = 2 ( − 1 ) n − 1 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n ∑ k = 1 ∞ cos 2 π k X k 2 n . { displaystyle B_ {2n} (x) = { frac {2 (-1) ^ {n-1} (2n)!} {(2 pi) ^ {2n}}} , součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos 2 pi kx} {k ^ {2n}}}.} Nastavení X = θ / 2 π { displaystyle , x = theta / 2 pi ,}
Sl 2 m ( θ ) = ( − 1 ) m − 1 ( 2 π ) 2 m 2 ( 2 m ) ! B 2 m ( θ 2 π ) , { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m} ( theta) = { frac {(-1) ^ {m-1} (2 pi) ^ {2m}} {2 (2m)!}} B_ {2m} vlevo ({ frac { theta} {2 pi}} vpravo),} Sl 2 m − 1 ( θ ) = ( − 1 ) m ( 2 π ) 2 m − 1 2 ( 2 m − 1 ) ! B 2 m − 1 ( θ 2 π ) , { displaystyle operatorname {Sl} _ {2m-1} ( theta) = { frac {(-1) ^ {m} (2 pi) ^ {2m-1}} {2 (2m-1) !}} B_ {2m-1} vlevo ({ frac { theta} {2 pi}} vpravo),} Kde Bernoulliho polynomy B n ( X ) { displaystyle , B_ {n} (x) ,} Bernoulliho čísla B n ≡ B n ( 0 ) { displaystyle , B_ {n} equiv B_ {n} (0) ,}
B n ( X ) = ∑ j = 0 n ( n j ) B j X n − j . { displaystyle B_ {n} (x) = součet _ {j = 0} ^ {n} { binom {n} {j}} B_ {j} x ^ {n-j}.} Explicitní hodnocení odvozená z výše uvedeného zahrnují:
Sl 1 ( θ ) = π 2 − θ 2 , { displaystyle operatorname {Sl} _ {1} ( theta) = { frac { pi} {2}} - { frac { theta} {2}},} Sl 2 ( θ ) = π 2 6 − π θ 2 + θ 2 4 , { displaystyle operatorname {Sl} _ {2} ( theta) = { frac { pi ^ {2}} {6}} - { frac { pi theta} {2}} + { frac { theta ^ {2}} {4}},} Sl 3 ( θ ) = π 2 θ 6 − π θ 2 4 + θ 3 12 , { displaystyle operatorname {Sl} _ {3} ( theta) = { frac { pi ^ {2} theta} {6}} - { frac { pi theta ^ {2}} {4 }} + { frac { theta ^ {3}} {12}},} Sl 4 ( θ ) = π 4 90 − π 2 θ 2 12 + π θ 3 12 − θ 4 48 . { displaystyle operatorname {Sl} _ {4} ( theta) = { frac { pi ^ {4}} {90}} - { frac { pi ^ {2} theta ^ {2}} {12}} + { frac { pi theta ^ {3}} {12}} - { frac { theta ^ {4}} {48}}.} Duplikační vzorec Pro 0 < θ < π { displaystyle 0 < theta < pi}
Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 Cl 2 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) } Označující Katalánská konstanta podle K. = Cl 2 ( π 2 ) { displaystyle K = operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} right)}
Cl 2 ( π 4 ) − Cl 2 ( 3 π 4 ) = K. 2 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {3 pi} {4}} vpravo) = { frac {K} {2}}} 2 Cl 2 ( π 3 ) = 3 Cl 2 ( 2 π 3 ) { displaystyle 2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} right) = 3 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {2 pi} {3}} vpravo)} Pro funkce Clausen vyššího řádu lze získat duplikační vzorce z výše uvedeného; jednoduše vyměnit θ { displaystyle , theta ,} fiktivní proměnná X { displaystyle x} [ 0 , θ ] . { displaystyle , [0, theta]. ,}
Cl 3 ( 2 θ ) = 4 Cl 3 ( θ ) + 4 Cl 3 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {3} (2 theta) = 4 operatorname {Cl} _ {3} ( theta) +4 operatorname {Cl} _ {3} ( pi - theta) } Cl 4 ( 2 θ ) = 8 Cl 4 ( θ ) − 8 Cl 4 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {4} (2 theta) = 8 operatorname {Cl} _ {4} ( theta) -8 operatorname {Cl} _ {4} ( pi - theta) } Cl 5 ( 2 θ ) = 16 Cl 5 ( θ ) + 16 Cl 5 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {5} (2 theta) = 16 operatorname {Cl} _ {5} ( theta) +16 operatorname {Cl} _ {5} ( pi - theta) } Cl 6 ( 2 θ ) = 32 Cl 6 ( θ ) − 32 Cl 6 ( π − θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {6} (2 theta) = 32 operatorname {Cl} _ {6} ( theta) -32 operatorname {Cl} _ {6} ( pi - theta) } A obecněji při indukci m , m ≥ 1 { displaystyle , m, , , m geq 1}
Cl m + 1 ( 2 θ ) = 2 m [ Cl m + 1 ( θ ) + ( − 1 ) m Cl m + 1 ( π − θ ) ] { displaystyle operatorname {Cl} _ {m + 1} (2 theta) = 2 ^ {m} { Bigg [} operatorname {Cl} _ {m + 1} ( theta) + (- 1) ^ {m} operatorname {Cl} _ {m + 1} ( pi - theta) { Bigg]}} Použití zobecněného vzorce duplikace umožňuje rozšíření výsledku pro Clausenovu funkci řádu 2, zahrnující Katalánská konstanta . Pro m ∈ Z ≥ 1 { displaystyle , m in mathbb {Z} geq 1 ,}
Cl 2 m ( π 2 ) = 2 2 m − 1 [ Cl 2 m ( π 4 ) − Cl 2 m ( 3 π 4 ) ] = β ( 2 m ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = 2 ^ {2m-1} left [ operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {3 pi} {4}} right) right] = beta (2 m)} Kde β ( X ) { displaystyle , beta (x) ,} Funkce Dirichlet beta .
Důkaz o vzorci duplikace Z integrální definice
Cl 2 ( 2 θ ) = − ∫ 0 2 θ log | 2 hřích X 2 | d X { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2} } { Bigg |} , dx} Použijte duplikační vzorec pro sinusová funkce , hřích X = 2 hřích X 2 cos X 2 { displaystyle sin x = 2 sin { frac {x} {2}} cos { frac {x} {2}}}
− ∫ 0 2 θ log | ( 2 hřích X 4 ) ( 2 cos X 4 ) | d X = − ∫ 0 2 θ log | 2 hřích X 4 | d X − ∫ 0 2 θ log | 2 cos X 4 | d X { displaystyle { begin {aligned} & - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} left (2 sin { frac {x} {4}} right) vlevo (2 cos { frac {x} {4}} vpravo) { Bigg |} , dx = {} & - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {4}} { Bigg |} , dx- int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 cos { frac { x} {4}} { Bigg |} , dx end {zarovnáno}}} Použijte náhradu X = 2 y , d X = 2 d y { displaystyle x = 2y, dx = 2 , dy}
− 2 ∫ 0 θ log | 2 hřích X 2 | d X − 2 ∫ 0 θ log | 2 cos X 2 | d X = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 ∫ 0 θ log | 2 cos X 2 | d X { displaystyle { begin {aligned} & - 2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx-2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx = {} & 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg | } , dx end {zarovnáno}}} Na tomto posledním integrálu nastavíme y = π − X , X = π − y , d X = − d y { displaystyle y = pi -x, , x = pi -y, , dx = -dy} cos ( X − y ) = cos X cos y − hřích X hřích y { displaystyle cos (x-y) = cos x cos y- sin x sin y}
cos ( π − y 2 ) = hřích y 2 ⟹ Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 ∫ 0 θ log | 2 cos X 2 | d X = 2 Cl 2 ( θ ) + 2 ∫ π π − θ log | 2 hřích y 2 | d y = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 Cl 2 ( π − θ ) + 2 Cl 2 ( π ) { displaystyle { begin {aligned} & cos left ({ frac { pi -y} {2}} right) = sin { frac {y} {2}} Longrightarrow qquad & operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx = {} & 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) +2 int _ { pi} ^ { pi - theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {y} {2}} { Bigg |} , dy = {} & 2 , operatorname { Cl} _ {2} ( theta) -2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) +2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi) end { zarovnaný}}} Cl 2 ( π ) = 0 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( pi) = 0 ,} Proto,
Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) − 2 Cl 2 ( π − θ ) . ◻ { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) ,. , Box} Deriváty Clausenových funkcí obecného řádu Přímá diferenciace Fourierova řada rozšíření funkcí Clausen dávají:
d d θ Cl 2 m + 2 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m + 2 = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 1 = Cl 2 m + 1 ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} součet _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 2}}} = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1}}} = operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta)} d d θ Cl 2 m + 1 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 1 = − ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m = − Cl 2 m ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = { frac {d} {d theta}} součet _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1}}} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta } {k ^ {2m}}} = - operatorname {Cl} _ {2m} ( theta)} d d θ Sl 2 m + 2 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 2 = − ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m + 1 = − Sl 2 m + 1 ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Sl} _ {2m + 2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} součet _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 2}}} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta } {k ^ {2m + 1}}} = - operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)} d d θ Sl 2 m + 1 ( θ ) = d d θ ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m + 1 = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m = Sl 2 m ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m}}} = operatorname {Sl} _ {2m} ( theta)} Odvoláním se k První základní věta o počtu , také máme:
d d θ Cl 2 ( θ ) = d d θ [ − ∫ 0 θ log | 2 hřích X 2 | d X ] = − log | 2 hřích θ 2 | = Cl 1 ( θ ) { displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} left [- int _ {0 } ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx , right] = - log { Bigg |} 2 sin { frac { theta} {2}} { Bigg |} = operatorname {Cl} _ {1} ( theta)} Vztah k inverznímu tangensovému integrálu The inverzní tangensový integrál je definována na intervalu 0 < z < 1 { displaystyle 0
Ti 2 ( z ) = ∫ 0 z opálení − 1 X X d X = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} (z) = int _ {0} ^ {z} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx = součet _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1) ^ {2}}}} Z hlediska funkce Clausen má následující uzavřenou formu:
Ti 2 ( opálení θ ) = θ log ( opálení θ ) + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = theta log ( tan theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( 2 theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)} Důkaz inverzního tangensového integrálního vztahu Z integrální definice inverzní tangensový integrál , my máme
Ti 2 ( opálení θ ) = ∫ 0 opálení θ opálení − 1 X X d X { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = int _ {0} ^ { tan theta} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx} Provádění integrace po částech
∫ 0 opálení θ opálení − 1 X X d X = opálení − 1 X log X | 0 opálení θ − ∫ 0 opálení θ log X 1 + X 2 d X = { displaystyle int _ {0} ^ { tan theta} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx = tan ^ {- 1} x log x , { Bigg |} _ {0} ^ { tan theta} - int _ {0} ^ { tan theta} { frac { log x} {1 + x ^ {2}}} , dx =} θ log opálení θ − ∫ 0 opálení θ log X 1 + X 2 d X { displaystyle theta log tan theta - int _ {0} ^ { tan theta} { frac { log x} {1 + x ^ {2}}} , dx} Použijte náhradu X = opálení y , y = opálení − 1 X , d y = d X 1 + X 2 { displaystyle x = tan y, , y = tan ^ {- 1} x, , dy = { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} ,}
θ log opálení θ − ∫ 0 θ log ( opálení y ) d y { displaystyle theta log tan theta - int _ {0} ^ { theta} log ( tan y) , dy} U posledního integrálu použijte transformaci: y = X / 2 , d y = d X / 2 { displaystyle y = x / 2, , dy = dx / 2 ,}
θ log opálení θ − 1 2 ∫ 0 2 θ log ( opálení X 2 ) d X = θ log opálení θ − 1 2 ∫ 0 2 θ log ( hřích ( X / 2 ) cos ( X / 2 ) ) d X = θ log opálení θ − 1 2 ∫ 0 2 θ log ( 2 hřích ( X / 2 ) 2 cos ( X / 2 ) ) d X = θ log opálení θ − 1 2 ∫ 0 2 θ log ( 2 hřích X 2 ) d X + 1 2 ∫ 0 2 θ log ( 2 cos X 2 ) d X = θ log opálení θ + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 ∫ 0 2 θ log ( 2 cos X 2 ) d X . { displaystyle { begin {aligned} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { 2 theta} log left ({ frac { sin (x / 2)} { cos (x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ({ frac {2 sin (x / 2)} {2 cos ( x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 sin { frac {x} {2}} right) , dx + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x } {2}} vpravo) , dx. End {zarovnáno}}} Nakonec, stejně jako u důkazu o vzorci Duplikace, substituce X = ( π − y ) { displaystyle x = ( pi -y) ,}
∫ 0 2 θ log ( 2 cos X 2 ) d X = Cl 2 ( π − 2 θ ) − Cl 2 ( π ) = Cl 2 ( π − 2 θ ) { displaystyle int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx = operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) - operatorname {Cl} _ {2} ( pi) = operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)} Tím pádem
Ti 2 ( opálení θ ) = θ log opálení θ + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) . ◻ { displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) ,. , Box} Vztah k Barnesově G-funkci Opravdu 0 < z < 1 { displaystyle 0 Barnesova funkce G. a (Euler) Funkce gama :
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) + 2 π z log ( π hřích π z ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} vpravo) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)} Nebo rovnocenně
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) − 2 π log Γ ( z ) + 2 π z log ( π hřích π z ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)} Odkaz: Viz Adamchik „Příspěvky k teorii Barnesovy funkce“ níže.
Vztah k polylogaritmu Clausenovy funkce představují skutečnou a imaginární část polylogaritmu na jednotkový kruh :
Cl 2 m ( θ ) = ℑ ( Li 2 m ( E i θ ) ) , m ∈ Z ≥ 1 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} ( theta) = Im ( operatorname {Li} _ {2m} (e ^ {i theta})), quad m in mathbb {Z} geq 1} Cl 2 m + 1 ( θ ) = ℜ ( Li 2 m + 1 ( E i θ ) ) , m ∈ Z ≥ 0 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = Re ( operatorname {Li} _ {2m + 1} (e ^ {i theta})), quad m in mathbb {Z} geq 0} To je snadno vidět na odvolání k definici řady polylogaritmus .
Li n ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k n ⟹ Li n ( E i θ ) = ∑ k = 1 ∞ ( E i θ ) k k n = ∑ k = 1 ∞ E i k θ k n { displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) = součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}} quad Longrightarrow operatorname {Li} _ {n} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { left (e ^ {i theta } right) ^ {k}} {k ^ {n}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {ik theta}} {k ^ {n}} }} Podle Eulerovy věty,
E i θ = cos θ + i hřích θ { displaystyle e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta} a de Moivrova věta (De Moivreův vzorec )
( cos θ + i hřích θ ) k = cos k θ + i hřích k θ ⇒ Li n ( E i θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k n + i ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k n { displaystyle ( cos theta + i sin theta) ^ {k} = cos k theta + i sin k theta quad Rightarrow operatorname {Li} _ {n} vlevo (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {n}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {n}}}} Proto
Li 2 m ( E i θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + i ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m = Sl 2 m ( θ ) + i Cl 2 m ( θ ) { displaystyle operatorname {Li} _ {2m} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} { k ^ {2m}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m}}} = operatorname {Sl} _ { 2m} ( theta) + i operatorname {Cl} _ {2m} ( theta)} Li 2 m + 1 ( E i θ ) = ∑ k = 1 ∞ cos k θ k 2 m + 1 + i ∑ k = 1 ∞ hřích k θ k 2 m + 1 = Cl 2 m + 1 ( θ ) + i Sl 2 m + 1 ( θ ) { displaystyle operatorname {Li} _ {2m + 1} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta } {k ^ {2m + 1}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1}}} = operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) + i operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)} Vztah k funkci polygammy Funkce Clausen jsou úzce spojeny s funkce polygammy . Je skutečně možné vyjádřit Clausenovy funkce jako lineární kombinace sinusových funkcí a polygammových funkcí. Jeden takový vztah je uveden zde a je prokázán níže:
Cl 2 m ( q π str ) = 1 ( 2 str ) 2 m ( 2 m − 1 ) ! ∑ j = 1 str hřích ( q j π str ) [ ψ 2 m − 1 ( j 2 str ) + ( − 1 ) q ψ 2 m − 1 ( j + str 2 str ) ] { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )že jo]} Nechat str { displaystyle , p ,} q { displaystyle , q ,} q / str { displaystyle , q / p ,} 0 < q / str < 1 { displaystyle , 0
Cl 2 m ( q π str ) = ∑ k = 1 ∞ hřích ( k q π / str ) k 2 m { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin (kq pi / p)} {k ^ {2m}}}} Tuto částku jsme rozdělili přesně str -části, takže první řada obsahuje všechny a pouze ty pojmy, které jsou shodné k str + 1 , { displaystyle , kp + 1, ,} k str + 2 , { displaystyle , kp + 2, ,} str -tá část, která obsahuje všechny shodné výrazy k str + str { displaystyle , kp + p ,}
Cl 2 m ( q π str ) = ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + 1 ) q π str ] ( k str + 1 ) 2 m + ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + 2 ) q π str ] ( k str + 2 ) 2 m + ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + 3 ) q π str ] ( k str + 3 ) 2 m + ⋯ ⋯ + ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + str − 2 ) q π str ] ( k str + str − 2 ) 2 m + ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + str − 1 ) q π str ] ( k str + str − 1 ) 2 m + ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + str ) q π str ] ( k str + str ) 2 m { displaystyle { begin {aligned} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = {} & sum _ {k = 0 } ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 1) ^ {2m}}} + součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 2) ^ { 2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 3) { frac {q pi} {p}} right]} {( kp + 3) ^ {2m}}} + cdots & cdots + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-2) { frac {q pi} {p}} vpravo]} {(kp + p-2) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin vlevo [(kp + p-1) { frac {q pi} {p}} doprava]} {(kp + p-1) ^ {2m}}} + součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p) ^ {2m}}} end {zarovnáno}} } Tyto součty můžeme indexovat a vytvořit tak dvojitý součet:
Cl 2 m ( q π str ) = ∑ j = 1 str { ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + j ) q π str ] ( k str + j ) 2 m } = ∑ j = 1 str 1 str 2 m { ∑ k = 0 ∞ hřích [ ( k str + j ) q π str ] ( k + ( j / str ) ) 2 m } { displaystyle { begin {aligned} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} { (kp + j) ^ {2m}}} { Bigg }} = {} & sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} {p ^ {2m}}} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} {( k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }} end {zarovnáno}}} Použití vzorce přidání pro sinusová funkce , hřích ( X + y ) = hřích X cos y + cos X hřích y , { displaystyle , sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, ,}
hřích [ ( k str + j ) q π str ] = hřích ( k q π + q j π str ) = hřích k q π cos q j π str + cos k q π hřích q j π str { displaystyle sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = sin left (kq pi + { frac {qj pi} {p}} right) = sin kq pi cos { frac {qj pi} {p}} + cos kq pi sin { frac {qj pi} {p}}} hřích m π ≡ 0 , cos m π ≡ ( − 1 ) m ⟺ m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , … { Displaystyle sin m pi equiv 0, quad , cos m pi equiv (-1) ^ {m} quad Longleftrightarrow m = 0, , pm 1, , pm 2 , , pm 3, , ldots} hřích [ ( k str + j ) q π str ] = ( − 1 ) k q hřích q j π str { displaystyle sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = (- 1) ^ {kq} sin { frac {qj pi} {p} }} Tudíž,
Cl 2 m ( q π str ) = ∑ j = 1 str 1 str 2 m hřích ( q j π str ) { ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k q ( k + ( j / str ) ) 2 m } { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} { p ^ {2m}}} sin left ({ frac {qj pi} {p}} right) , { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }}} Chcete-li převést vnitřní součet ve dvojitém součtu na nestřídavý součet, rozdělen na dvě části po částech přesně stejným způsobem jako předchozí část byla rozdělena na str -části:
∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k q ( k + ( j / str ) ) 2 m = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) ( 2 k ) q ( ( 2 k ) + ( j / str ) ) 2 m + ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) ( 2 k + 1 ) q ( ( 2 k + 1 ) + ( j / str ) ) 2 m = ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + ( j / str ) ) 2 m + ( − 1 ) q ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 + ( j / str ) ) 2 m = 1 2 str [ ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + ( j / 2 str ) ) 2 m + ( − 1 ) q ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + ( j + str 2 str ) ) 2 m ] { displaystyle { begin {aligned} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}} } = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k) q}} {((2k) + (j / p)) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k + 1) q}} {((2k + 1) + (j / p)) ^ {2m}} } = {} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + (j / p)) ^ {2m}}} + (- 1) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 + (j / p)) ^ {2m}}} = {} & { frac {1 } {2 ^ {p}}} left [ sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + (j / 2p)) ^ {2m}}} + (- 1 ) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + left ({ frac {j + p} {2p}} right)) ^ { 2m}}} doprava] konec {zarovnáno}}} Pro m ∈ Z ≥ 1 { displaystyle , m in mathbb {Z} geq 1 ,} funkce polygammy má sériové zastoupení
ψ m ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + z ) m + 1 { displaystyle psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + z) ^ {m + 1}}}} Pokud jde o funkci polygammy, předchozí vnitřní součet se stává:
1 2 2 m ( 2 m − 1 ) ! [ ψ 2 m − 1 ( j 2 str ) + ( − 1 ) q ψ 2 m − 1 ( j + str 2 str ) ] { displaystyle { frac {1} {2 ^ {2m} (2m-1)!}} doleva [ psi _ {2m-1} doleva ({ tfrac {j} {2p}} doprava) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} vlevo ({ tfrac {j + p} {2p}} vpravo) vpravo]} Zapojením zpět do dvojnásobný součet dává požadovaný výsledek:
Cl 2 m ( q π str ) = 1 ( 2 str ) 2 m ( 2 m − 1 ) ! ∑ j = 1 str hřích ( q j π str ) [ ψ 2 m − 1 ( j 2 str ) + ( − 1 ) q ψ 2 m − 1 ( j + str 2 str ) ] { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )že jo]} Vztah k zobecněnému integrálu logsinu The zobecněný logsin integrál je definován:
L s n m ( θ ) = − ∫ 0 θ X m log n − m − 1 | 2 hřích X 2 | d X { displaystyle { mathcal {L}} s_ {n} ^ {m} ( theta) = - int _ {0} ^ { theta} x ^ {m} log ^ {nm-1} { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx} V této zobecněné notaci lze Clausenovu funkci vyjádřit ve tvaru:
Cl 2 ( θ ) = L s 2 0 ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { mathcal {L}} s_ {2} ^ {0} ( theta)} Kummerův vztah Ernst Kummer a Rogers dávají vztah
Li 2 ( E i θ ) = ζ ( 2 ) − θ ( 2 π − θ ) / 4 + i Cl 2 ( θ ) { displaystyle operatorname {Li} _ {2} (e ^ {i theta}) = zeta (2) - theta (2 pi - theta) / 4 + i operatorname {Cl} _ {2 } ( theta)} platný pro 0 ≤ θ ≤ 2 π { displaystyle 0 leq theta leq 2 pi}
Vztah k Lobačevského funkci The Lobachevského funkce Λ nebo Л je v podstatě stejná funkce se změnou proměnné:
Λ ( θ ) = − ∫ 0 θ log | 2 hřích ( t ) | d t = Cl 2 ( 2 θ ) / 2 { displaystyle Lambda ( theta) = - int _ {0} ^ { theta} log | 2 sin (t) | , dt = operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) / 2} i když název „Lobačevského funkce“ není historicky zcela přesný, protože Lobačevského vzorce pro hyperbolický objem používaly mírně odlišnou funkci
∫ 0 θ log | sek ( t ) | d t = Λ ( θ + π / 2 ) + θ log 2. { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log | sec (t) | , dt = Lambda ( theta + pi / 2) + theta log 2.} Vztah k Dirichletovým funkcím L. Pro racionální hodnoty θ / π { displaystyle theta / pi} θ / π = str / q { displaystyle theta / pi = p / q} str a q ), funkce hřích ( n θ ) { displaystyle sin (n theta)} cyklická skupina , a tudíž Cl s ( θ ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {s} ( theta)} Funkce Hurwitz zeta .[Citace je zapotřebí To umožňuje vztahy mezi určitými Dirichletovy funkce L. lze snadno vypočítat.
Sériové zrychlení A sériové zrychlení pro funkci Clausen je dán vztahem
Cl 2 ( θ ) θ = 1 − log | θ | + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) n ( 2 n + 1 ) ( θ 2 π ) 2 n { displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 1- log | theta | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n)} {n (2n + 1)}} left ({ frac { theta} {2 pi}} right) ^ {2n}} který platí pro | θ | < 2 π { displaystyle | theta | <2 pi} ζ ( s ) { displaystyle zeta (s)} Funkce Riemann zeta . Rychleji konvergentní forma je dána
Cl 2 ( θ ) θ = 3 − log [ | θ | ( 1 − θ 2 4 π 2 ) ] − 2 π θ log ( 2 π + θ 2 π − θ ) + ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) − 1 n ( 2 n + 1 ) ( θ 2 π ) 2 n . { displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 3- log left [| theta | left (1 - { frac { theta ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) right] - { frac {2 pi} { theta}} log left ({ frac {2 pi + theta} {2 pi - theta}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n (2n + 1)}} left ( { frac { theta} {2 pi}} vpravo) ^ {2n}.} Konvergenci napomáhá skutečnost, že ζ ( n ) − 1 { displaystyle zeta (n) -1} n . Obě formy lze získat pomocí typů resummačních technik použitých k získání racionální série zeta . (viz Borwein a kol., 2000, níže).
Speciální hodnoty Připomeňme si Barnesova funkce G. a Katalánská konstanta K. . Některé speciální hodnoty zahrnují
Cl 2 ( π 2 ) = K. { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} right) = K} Cl 2 ( π 3 ) = 3 π log ( G ( 2 3 ) G ( 1 3 ) ) − 3 π log Γ ( 1 3 ) + π log ( 2 π 3 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} right) = 3 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 2} {3}} vpravo)} {G vlevo ({ frac {1} {3}} vpravo)}} vpravo) -3 pi log Gamma vlevo ({ frac {1} {3}} right) + pi log left ({ frac {2 pi} { sqrt {3}}} right)} Cl 2 ( 2 π 3 ) = 2 π log ( G ( 2 3 ) G ( 1 3 ) ) − 2 π log Γ ( 1 3 ) + 2 π 3 log ( 2 π 3 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {2 pi} {3}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {2} {3}} right)} {G left ({ frac {1} {3}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1 } {3}} right) + { frac {2 pi} {3}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {3}}} right)} Cl 2 ( π 4 ) = 2 π log ( G ( 7 8 ) G ( 1 8 ) ) − 2 π log Γ ( 1 8 ) + π 4 log ( 2 π 2 − 2 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 7} {8}} right)} {G left ({ frac {1} {8}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1} {8}} right) + { frac { pi} {4}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}} right )} Cl 2 ( 3 π 4 ) = 2 π log ( G ( 5 8 ) G ( 3 8 ) ) − 2 π log Γ ( 3 8 ) + 3 π 4 log ( 2 π 2 + 2 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {3 pi} {4}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {5} {8}} right)} {G left ({ frac {3} {8}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {3 } {8}} vpravo) + { frac {3 pi} {4}} log vlevo ({ frac {2 pi} { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}} že jo)} Cl 2 ( π 6 ) = 2 π log ( G ( 11 12 ) G ( 1 12 ) ) − 2 π log Γ ( 1 12 ) + π 6 log ( 2 π 2 3 − 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {6}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 11} {12}} right)} {G left ({ frac {1} {12}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1} {12}} right) + { frac { pi} {6}} log left ({ frac {2 pi { sqrt {2}}} {{ sqrt {3}} - 1} }že jo)} Cl 2 ( 5 π 6 ) = 2 π log ( G ( 7 12 ) G ( 5 12 ) ) − 2 π log Γ ( 5 12 ) + 5 π 6 log ( 2 π 2 3 + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {5 pi} {6}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {7} {12}} right)} {G left ({ frac {5} {12}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {5 } {12}} vpravo) + { frac {5 pi} {6}} log vlevo ({ frac {2 pi { sqrt {2}}} {{ sqrt {3}} + 1}} vpravo)} Obecně platí, že z Barnesův vzorec odrazu funkce G. ,
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) − 2 π log Γ ( z ) + 2 π z log ( π hřích π z ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)} Ekvivalentně, pomocí Euler's reflexní vzorec pro funkci gama pak
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π log ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) − 2 π log Γ ( z ) + 2 π z log ( Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log { big (} Gamma (z) Gamma (1-z) { big)}} Zobecněné speciální hodnoty Některé speciální hodnoty pro funkce Clausen vyššího řádu zahrnují
Cl 2 m t ( 0 ) = Cl 2 m ( π ) = Cl 2 m ( 2 π ) = 0 { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} t (0) = operatorname {Cl} _ {2m} ( pi) = operatorname {Cl} _ {2m} (2 pi) = 0} Cl 2 m ( π 2 ) = β ( 2 m ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = beta (2m)} Cl 2 m + 1 ( 0 ) = Cl 2 m + 1 ( 2 π ) = ζ ( 2 m + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} (0) = operatorname {Cl} _ {2m + 1} (2 pi) = zeta (2m + 1)} Cl 2 m + 1 ( π ) = − η ( 2 m + 1 ) = − ( 2 2 m − 1 2 2 m ) ζ ( 2 m + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( pi) = - eta (2m + 1) = - left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {2m} }} vpravo) zeta (2m + 1)} Cl 2 m + 1 ( π 2 ) = − 1 2 2 m + 1 η ( 2 m + 1 ) = − ( 2 2 m − 1 2 4 m + 1 ) ζ ( 2 m + 1 ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} left ({ frac { pi} {2}} right) = - { frac {1} {2 ^ {2m + 1}}} eta (2m + 1) = - left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {4m + 1}}} right) zeta (2m + 1)} kde β ( X ) { displaystyle beta (x)} Funkce Dirichlet beta , η ( X ) { displaystyle eta (x)} Funkce Dirichlet eta (nazývaná také funkce střídání zeta) a ζ ( X ) { displaystyle zeta (x)} Funkce Riemann zeta .
Integrály přímé funkce Následující integrály lze snadno dokázat z řady reprezentací funkce Clausen:
∫ 0 θ Cl 2 m ( X ) d X = ζ ( 2 m + 1 ) − Cl 2 m + 1 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Cl} _ {2m} (x) , dx = zeta (2m + 1) - operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta)} ∫ 0 θ Cl 2 m + 1 ( X ) d X = Cl 2 m + 2 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Cl} _ {2m + 1} (x) , dx = operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta)} ∫ 0 θ Sl 2 m ( X ) d X = Sl 2 m + 1 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Sl} _ {2m} (x) , dx = operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)} ∫ 0 θ Sl 2 m + 1 ( X ) d X = ζ ( 2 m + 2 ) − Cl 2 m + 2 ( θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Sl} _ {2m + 1} (x) , dx = zeta (2m + 2) - operatorname {Cl} _ {2m + 2 } ( theta)} K nalezení prvních okamžiků druhé mocniny funkce lze použít Fourierovo-analytické metody Cl 2 ( X ) { displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (x)} [ 0 , π ] { displaystyle [0, pi]} [1]
∫ 0 π Cl 2 2 ( X ) d X = ζ ( 4 ) , { displaystyle int _ {0} ^ { pi} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = zeta (4),} ∫ 0 π t Cl 2 2 ( X ) d X = 221 90720 π 6 − 4 ζ ( 5 ¯ , 1 ) − 2 ζ ( 4 ¯ , 2 ) , { displaystyle int _ {0} ^ { pi} t operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = { frac {221} {90720}} pi ^ {6 } -4 zeta ({ overline {5}}, 1) -2 zeta ({ overline {4}}, 2),} ∫ 0 π t 2 Cl 2 2 ( X ) d X = − 2 3 π [ 12 ζ ( 5 ¯ , 1 ) + 6 ζ ( 4 ¯ , 2 ) − 23 10080 π 6 ] . { displaystyle int _ {0} ^ { pi} t ^ {2} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = - { frac {2} {3}} pi left [12 zeta ({ overline {5}}, 1) +6 zeta ({ overline {4}}, 2) - { frac {23} {10080}} pi ^ {6 }že jo].} Tady ζ { displaystyle zeta} Vícenásobná funkce zeta .
Integrální hodnocení zahrnující přímou funkci Z hlediska Clausenovy funkce lze vyhodnotit velké množství trigonometrických a logaritmicko-trigonometrických integrálů a různé běžné matematické konstanty jako K. { displaystyle , K ,} Katalánská konstanta ), log 2 { displaystyle , log 2 ,} funkce zeta , ζ ( 2 ) { displaystyle , zeta (2) ,} ζ ( 3 ) { displaystyle , zeta (3) ,}
Níže uvedené příklady vyplývají přímo z integrálního vyjádření Clausenovy funkce a důkazy vyžadují jen málo více než základní trigonometrii, integraci po částech a příležitostnou integraci jednotlivých částí Fourierova řada definice Clausenových funkcí.
∫ 0 θ log ( hřích X ) d X = − 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) − θ log 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( sin x) , dx = - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) - theta log 2} ∫ 0 θ log ( cos X ) d X = 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) − θ log 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( cos x) , dx = { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) - theta log 2} ∫ 0 θ log ( opálení X ) d X = − 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) − 1 2 Cl 2 ( π − 2 θ ) { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( tan x) , dx = - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)} ∫ 0 θ log ( 1 + cos X ) d X = 2 Cl 2 ( π − θ ) − θ log 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1+ cos x) , dx = 2 operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) - theta log 2 } ∫ 0 θ log ( 1 − cos X ) d X = − 2 Cl 2 ( θ ) − θ log 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1- cos x) , dx = -2 operatorname {Cl} _ {2} ( theta) - theta log 2} ∫ 0 θ log ( 1 + hřích X ) d X = 2 K. − 2 Cl 2 ( π 2 + θ ) − θ log 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1+ sin x) , dx = 2K-2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} { 2}} + theta right) - theta log 2} ∫ 0 θ log ( 1 − hřích X ) d X = − 2 K. + 2 Cl 2 ( π 2 − θ ) − θ log 2 { displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1- sin x) , dx = -2K + 2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} - theta right) - theta log 2} Reference ^ István, Mező (2020). "Log-sinusové integrály a střídání Eulerových součtů". Acta Mathematica Hungarica (160): 45–57. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 27.8“ . Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 1005. ISBN 978-0-486-61272-0 LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .Clausen, Thomas (1832). "Über die Function sin φ + (1/22 ) hřích 2φ + (1/32 ) sin 3φ + atd. " . Journal für die reine und angewandte Mathematik 8 : 298–300. ISSN 0075-4102 . CS1 maint: ref = harv (odkaz) Wood, Van E. (1968). "Efektivní výpočet Clausenova integrálu" . Matematika. Comp . 22 (104): 883–884. doi :10.1090 / S0025-5718-1968-0239733-9 PAN 0239733 . Leonard Lewin (Ed.). Strukturální vlastnosti polylogaritmů (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2Lu, Hung Jung; Perez, Christopher A. (1992). „Massless one-loop scalar three-point integrated and associated Clausen, Glaisher, and L-functions“ (PDF) . Kölbig, Kurt Siegfried (1995). „Čebyševovy koeficienty pro Clausenovu funkci Cl2 (X)" . J. Comput. Appl. Matematika . 64 (3): 295–297. doi :10.1016/0377-0427(95)00150-6 PAN 1365432 . Borwein, Jonathan M. ; Bradley, David M .; Crandall, Richard E. (2000). "Výpočetní strategie pro funkci Riemann Zeta" (PDF) . J. Comp. Aplikace. Matematika . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B . doi :10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 . PAN 1780051 .CS1 maint: ref = harv (odkaz) Adamchik, Viktor. S. (2003). "Příspěvky k teorii Barnesovy funkce". arXiv :matematika / 0308086v1 Kalmykov, Mikahil Yu .; Sheplyakov, A. (2005). Msgstr "LSJK - knihovna C ++ pro libovolné přesné numerické vyhodnocení zobecněného log-sinusového integrálu". Comput. Phys. Commun . 172 : 45–59. arXiv :hep-ph / 0411100 Bibcode :2005CoPhC.172 ... 45 tis . doi :10.1016 / j.cpc.2005.04.013 . Borwein, Jonathan M .; Straub, Armin (2013). "Vztahy pro Nielsenovy polylogaritmy". J. Přibl. Teorie . 193 . str. 74–88. doi :10.1016 / j.jat.2013.07.003 . Mathar, R. J. (2013). Msgstr "Implementace Clausenových částek C99". arXiv :1309.7504 matematika.NA ]. 
![heta ={frac {pi }{3}}+2mpi quad [min {mathbb {Z}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301caa56535304b0db827b753a2cd412f5665c12)
![heta =-{frac {pi }{3}}+2mpi quad [min {mathbb {Z}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fae98e863733e316c672bdd9098be49e228b375)
![,[0, heta ].,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c44a38c13c401abf6dbb2f057fd64ed963a251d)
![operatorname {Cl}_{{m+1}}(2 heta )=2^{m}{Bigg [}operatorname {Cl}_{{m+1}}( heta )+(-1)^{m}operatorname {Cl}_{{m+1}}(pi - heta ){Bigg ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10dd4dd625b17f804ab4c361f3d6e57eb9a865f)
![{displaystyle operatorname {Cl} _{2m}left({frac {pi }{2}}
ight)=2^{2m-1}left[operatorname {Cl} _{2m}left({frac {pi }{4}}
ight)-operatorname {Cl} _{2m}left({frac {3pi }{4}}
ight)
ight]=eta (2m)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddd71810db9ae56ce6285cb7936562583ce2fba)
![{ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} left [- int _ {0 } ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx , right] = - log { Bigg |} 2 sin { frac { theta} {2}} { Bigg |} = operatorname {Cl} _ {1} ( theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6de2cbfc23bf9e854bddf84be513e4b003c56e4)
![{ displaystyle { begin {aligned} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { 2 theta} log left ({ frac { sin (x / 2)} { cos (x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ({ frac {2 sin (x / 2)} {2 cos ( x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 sin { frac {x} {2}} right) , dx + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x } {2}} vpravo) , dx. End {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1e40c055b307b1f1196786837809a1285052fb)
![{ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )že jo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9811ae712344b8f051869b880fd4c33014a83d)
![{ displaystyle { begin {aligned} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = {} & sum _ {k = 0 } ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 1) ^ {2m}}} + součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 2) ^ { 2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + 3) { frac {q pi} {p}} right]} {( kp + 3) ^ {2m}}} + cdots & cdots + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-2) { frac {q pi} {p}} vpravo]} {(kp + p-2) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin vlevo [(kp + p-1) { frac {q pi} {p}} doprava]} {(kp + p-1) ^ {2m}}} + součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p) ^ {2m}}} end {zarovnáno}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abb29e3b9265e66eb7018f652f04098a17d91d4)
![{ displaystyle { begin {aligned} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} { (kp + j) ^ {2m}}} { Bigg }} = {} & sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} {p ^ {2m}}} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right]} {( k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }} end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9510b11782b0f9906cb6ad3bb16e63d751e27985)
![sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = sin left (kq pi + { frac {qj pi} {p}} right) = sin kq pi cos { frac {qj pi} {p}} + cos kq pi sin { frac {qj pi} {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d008f83fd90d3fdc35c7093aedbabe52cd9276a0)
![sin left [(kp + j) { frac {q pi} {p}} right] = (- 1) ^ {{kq}} sin { frac {qj pi} {p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1506219055a797a00176b8c46dd48bfafd65ff31)
![{ displaystyle { begin {aligned} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}} } = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k) q}} {((2k) + (j / p)) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k + 1) q}} {((2k + 1) + (j / p)) ^ {2m}} } = {} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + (j / p)) ^ {2m}}} + (- 1) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 + (j / p)) ^ {2m}}} = {} & { frac {1 } {2 ^ {p}}} left [ sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + (j / 2p)) ^ {2m}}} + (- 1 ) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + left ({ frac {j + p} {2p}} right)) ^ { 2m}}} doprava] konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ce051d7cfe0c8342394d252d02154385293cda)
![{ displaystyle { frac {1} {2 ^ {2m} (2m-1)!}} doleva [ psi _ {2m-1} doleva ({ tfrac {j} {2p}} doprava) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} vlevo ({ tfrac {j + p} {2p}} vpravo) vpravo]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26128b06fdb94c2a6db03c6dadef51a6ba4f2418)
![{ displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 3- log left [| theta | left (1 - { frac { theta ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) right] - { frac {2 pi} { theta}} log left ({ frac {2 pi + theta} {2 pi - theta}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n (2n + 1)}} left ( { frac { theta} {2 pi}} vpravo) ^ {2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1d4a1a5b2d04b3fd5d444f6f4ba039b7177983)
![[0, pi]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { pi} t ^ {2} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = - { frac {2} {3}} pi left [12 zeta ({ overline {5}}, 1) +6 zeta ({ overline {4}}, 2) - { frac {23} {10080}} pi ^ {6 }že jo].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13a18ca3ea120e1cd61af71afab0eb1d9f6f29f)
