Sekvenční transformace - Sequence transformation

v matematika, a sekvenční transformace je operátor působící v daném prostoru sekvence (A sekvenční prostor ). Sekvenční transformace zahrnují lineární mapování, jako je konvoluce s jinou sekvencí a obnovení a sekvence a obecněji se běžně používají pro sériové zrychlení, tj. pro zlepšení rychlost konvergence pomalu konvergentní sekvence nebo série. Sekvenční transformace se také běžně používají k výpočtu antilimit a divergentní série číselně a používají se ve spojení s metody extrapolace.

Přehled

Mezi klasické příklady sekvenčních transformací patří binomická transformace, Möbiova transformace, Stirlingova transformace a další.

Definice

Pro danou sekvenci

${ displaystyle S = {s_ {n} } _ {n in mathbb {N}}, ,}$

the transformovaná sekvence je

${ displaystyle mathbf {T} (S) = S '= {s' _ {n} } _ {n in mathbb {N}}, ,}$

kde členové transformované sekvence jsou obvykle počítáni z nějakého konečného počtu členů původní sekvence, tj.

${ displaystyle s_ {n} '= T (s_ {n}, s_ {n + 1}, dots, s_ {n + k})}$

pro některé ${ displaystyle k}$ na kterém často záleží ${ displaystyle n}$ (srov. např. Binomická transformace ). V nejjednodušším případě je ${ displaystyle s_ {n}}$ a ${ displaystyle s '_ {n}}$ jsou nemovitý nebo komplexní čísla. Obecněji mohou být prvky některých vektorový prostor nebo algebra.

V kontextu zrychlení konvergence se říká, že transformovaná sekvence konvergovat rychleji než původní sekvence, pokud

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {s '_ {n} - ell} {s_ {n} - ell}} = 0}$

kde ${ displaystyle ell}$ je limit ${ displaystyle S}$, předpokládá se, že je konvergentní. V tomto případě, zrychlení konvergence je získáno. Pokud je původní sekvence odlišný, transformace sekvence funguje jako metoda extrapolace na antilimit ${ displaystyle ell}$.

Pokud mapování ${ displaystyle T}$ je lineární v každém ze svých argumentů, tj. pro

${ displaystyle s '_ {n} = součet _ {m = 0} ^ {k} c_ {m} s_ {n + m}}$

pro některé konstanty ${ displaystyle c_ {0}, tečky, c_ {k}}$ (což může záviset na n), sekvenční transformace ${ displaystyle mathbf {T}}$ se nazývá a lineární transformace sekvence. Sekvenční transformace, které nejsou lineární, se nazývají nelineární transformace sekvence.

Příklady

Mezi nejjednodušší příklady (lineárních) sekvenčních transformací patří přesun všech prvků, ${ displaystyle s '_ {n} = s_ {n + k}}$ (resp. = 0, pokud n + k <0) pro pevné k, a skalární násobení sekvence.

Trochu méně triviální generalizace by byla diskrétní konvoluce s pevnou posloupností. Obzvláště základní formou je operátor rozdílu, což je konvoluce se sekvencí ${ displaystyle (-1,1,0, ldots),}$ a je diskrétním analogem derivátu. The binomická transformace je další lineární transformace ještě obecnějšího typu.

Příkladem nelineární transformace sekvence je Aitkenův delta-kvadratický proces, který se používá ke zlepšení rychlost konvergence pomalu konvergentní sekvence. Rozšířenou formou je Shanksova transformace. The Möbiova transformace je také nelineární transformace, možná pouze pro celočíselné sekvence.

Viz také

• Aitkenův delta-kvadratický proces
• Minimální polynomiální extrapolace
• Richardsonova extrapolace
• Sériové zrychlení
• Steffensenova metoda

Reference

• Hugh J. Hamilton, "Mertensova věta a sekvenční transformace ", AMS (1947)

externí odkazy

• Transformace celočíselných sekvencí, podstránka On-line encyklopedie celočíselných sekvencí