Vídeňská tauberiánská věta - Wieners tauberian theorem - Wikipedia

v matematická analýza, Wienerova tauberiánská věta je některý z několika souvisejících výsledků prokázaných Norbert Wiener v roce 1932.^[1] Poskytují nezbytnou a dostatečnou podmínku, za které může jakákoli funkce fungovat $L 1$ nebo $L 2$ lze aproximovat pomocí lineární kombinace z překlady dané funkce.^[2]

Neformálně, pokud Fourierova transformace funkce $F$ zmizí na určité sadě $Z$ Fourierova transformace jakékoli lineární kombinace překladů $F$ také zmizí $Z$ . Proto lineární kombinace překladů $F$ nemůže aproximovat funkci, jejíž Fourierova transformace nezmizí $Z$ .

Wienerovy věty to zpřesňují a uvádějí, že lineární kombinace překladů $F$ jsou hustý jen a jen pokud nulová sada Fourierovy transformace $F$ je prázdný (v případě $L 1$ ) nebo Lebesgueovy míry nula (v případě $L 2$ ).

Gelfand přeformuloval Wienerovu větu z hlediska komutativní C * -algebry, když uvádí, že spektrum L¹ skupinový prsten L¹(R) skupiny R reálných čísel je dvojí skupina R. Podobný výsledek platí, když R je nahrazen jakýmkoli místně kompaktní abelianská skupina.

Stav v $L 1$

Nechat $F \in L 1 (R)$ být integrovatelnou funkcí. The rozpětí překladů $F A (X)$ = $F (X + A)$ je hustá v $L 1 (R)$ právě když Fourierova transformace $F$ nemá žádné skutečné nuly.

Tauberianská formulace

Následující prohlášení je ekvivalentní předchozímu výsledku,^{[Citace je zapotřebí ]} a vysvětluje, proč je Wienerův výsledek a Tauberianova věta:

Předpokládejme Fourierovu transformaci $F \in L 1$ nemá žádné skutečné nuly a předpokládejme konvoluci $F * h$ u některých má sklon k nule $h \in L \infty$ . Pak konvoluce $G * h$ inklinuje k nule v nekonečnu pro všechny $G \in L 1$ .

Obecněji, pokud

{ displaystyle lim _ {x až infty} (f * h) (x) = A int f (x) , dx}

pro některé $F \in L 1$ Fourierova transformace, která také nemá žádné skutečné nuly

{ displaystyle lim _ {x až infty} (g * h) (x) = A int g (x) , dx}

pro všechny $G \in L 1$ .

Diskrétní verze

Wienerova věta má protějšek $l 1 (Z)$ : rozpětí překladů $F \in l 1 (Z)$ je hustá právě tehdy, pokud Fourierova transformace

{ displaystyle varphi ( theta) = součet _ {n v mathbb {Z}} f (n) e ^ {- v theta} ,}

nemá žádné skutečné nuly. Následující prohlášení jsou ekvivalentní verzí tohoto výsledku:

Předpokládejme Fourierovu transformaci $F \in l 1 (Z)$ nemá žádné skutečné nuly a pro nějakou omezenou sekvenci $h$ konvoluce $F * h$ inklinuje k nule v nekonečnu. Pak $G * h$ také má sklon k nule v nekonečnu pro všechny $G \in l 1 (Z)$ .
Nechat $φ$ být funkcí na jednotkovém kruhu s absolutně konvergentní Fourierovou řadou. Pak $1/ φ$ má absolutně konvergentní Fourierovu řadu právě tehdy $φ$ nemá nuly.

Gelfand (1941a, 1941b ) ukázal, že se jedná o ekvivalent následující vlastnosti Wienerova algebra $A (T)$ , který dokázal pomocí teorie Banachových algeber, čímž poskytl nový důkaz o výsledku Wienerova:

Maximální ideály $A (T)$ jsou všechny formy

{ displaystyle M_ {x} = vlevo {f v A ( mathbb {T}) , střední , f (x) = 0 vpravo }, quad x v mathbb {T} . ,}

Stav v $L 2$

Nechat $F \in L 2 (R)$ být integrovatelná do čtverce. Rozsah překladů $F A (X)$ = $F (X + A)$ je hustá v $L 2 (R)$ právě když skutečné nuly Fourierovy transformace $F$ tvoří množinu nula Lebesgueovo opatření.

Paralelní prohlášení v $l 2 (Z)$ je následující: rozsah překladů sekvence $F \in l 2 (Z)$ je hustá právě tehdy, když je nulová sada Fourierovy transformace

{ displaystyle varphi ( theta) = součet _ {n v mathbb {Z}} f (n) e ^ {- v theta} ,}

má nulovou Lebesgueovu míru.

Poznámky

^ Vidět Wiener (1932).
^ vidět Rudin (1991).

Reference

Gelfand, I. (1941a), „Normierte Ringe“, Rec. Matematika. (Mat. Sbornik) N.S., 9 (51): 3–24, PAN 0004726
Gelfand, I. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Matematika. (Mat. Sbornik) N.S., 9 (51): 51–66, PAN 0004727
Rudin, W. (1991), Funkční analýza, International Series in Pure and Applied Mathematics, New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-054236-8, PAN 1157815
Wiener, N. (1932), „Tauberianovy věty“, Annals of Mathematics, 33 (1): 1–100, JSTOR 1968102

externí odkazy

Shtern, A.I. (2001) [1994], „Wiener Tauberianova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[1] Vidět Wiener (1932).

[2] vidět Rudin (1991).

[1]

[2]