Částečná funkce - Partial function

v matematika, a částečná funkce $F$ od a soubor $X$ do sady $Y$ je funkce z a podmnožina $S$ z $X$ (možná $X$ sám) $Y$ . Podmnožina $S$ , toto je doména z $F$ při pohledu na funkci se nazývá doména definice z $F$ . Li $S$ rovná se $X$ , říká se o částečné funkci celkový.

Technicky je dílčí funkce a binární relace přes dva sady který se přidruží ke každému prvku první sady nejvíce jeden prvek druhé sady; je to tedy a funkční binární relace. Zobecňuje koncept a funkce tím, že nevyžaduje, aby byly přidruženy všechny prvky první sady přesně jeden prvek druhé sady.

Částečné funkce se často používají, když není známa jejich přesná doména definice nebo je obtížné je určit. To je případ v počet, kde například kvocient dvou funkcí je dílčí funkce, jejíž definiční doména nemůže obsahovat nuly jmenovatele. Z tohoto důvodu, v počtu a obecněji v matematická analýza, částečná funkce se obecně nazývá jednoduše a funkce. v teorie vypočítatelnosti, a obecná rekurzivní funkce je částečná funkce od celých čísel po celá čísla; pro mnoho z nich ne algoritmus mohou existovat pro rozhodování, zda jsou ve skutečnosti celkem.

Když šípová notace se používá pro funkce, částečná funkce $F$ z $X$ na $Y$ je někdy psáno jako $F : X ↛ Y$ , $F : X ⇸ Y$ nebo $F : X ↪ Y$ . Neexistuje však žádná obecná konvence a druhá notace se běžněji používá pro injekční funkce.^{[Citace je zapotřebí ]}.

Konkrétně pro částečnou funkci $F : X ↛ Y$ a jakékoli $X \in X$ , jeden má buď:

$F (X) = y \in Y$ (je to jediný prvek v $Y$ ), nebo
$F (X)$ není definováno.

Například pokud $F$ je odmocnina funkce omezena na celá čísla

F : Z \to Z

, definován:

F (n) = m

pokud, a pouze pokud,

m 2 = n

, pro všechny

m, n \in Z

,

pak $F (n)$ je definováno pouze pokud $n$ je perfektní čtverec (to znamená, $0, 1, 4, 9, 16, \dots$ ). Tak, $F (25) = 5$ , ale $F (26)$ není definováno.

Základní pojmy

Příklad částečné funkce, která je injekční.

Příklad a funkce to není injekční.

Částečná funkce se říká, že je injekční, surjektivní nebo bijektivní když funkce daná omezením dílčí funkce na její definiční doménu je injektivní, surjektivní, bijektivní.

Protože funkce je triviálně surjektivní, když je omezena na svůj obraz, termín částečná bijekce označuje dílčí funkci, která je injektivní.^[1]

Injekční částečná funkce může být obrácena na injektivní částečnou funkci a částečná funkce, která je injektivní i surjektivní, má injektivní funkci jako inverzní. Kromě toho může být funkce, která je injektivní, obrácena na injektivní dílčí funkci.

Pojem proměna lze zobecnit i na dílčí funkce. A částečná transformace je funkce $F : A ⇸ B$ , kde oba $A$ a $B$ jsou podmnožiny nějaké sady $X$ .^[1]

Funkce

A funkce je binární vztah, který je funkční (také nazývané pravé jedinečné) a seriál (nazývané také celkem zleva). Toto je silnější definice než částečná funkce, která vyžaduje pouze funkční vlastnost.

Funkční prostory

Sada všech dílčích funkcí F: X ⇸ Y ze sady X do sady Y, označeno [X ⇸ Y], je sjednocení všech funkcí definovaných v podmnožinách X se stejnou doménou Y:

{displaystyle [Xot o Y] = igcup _ {Dsubseteq {X}} [D o Y],}

druhý také psal jako ${displaystyle igcup limits _ {Dsubseteq {X}} Y ^ {D}}$ . V konečném případě je jeho mohutnost

{displaystyle | [Xot o Y] | = (| Y | +1) ^ {| X |},}

protože jakoukoli částečnou funkci lze rozšířit na funkci libovolnou pevnou hodnotou C není obsažen v Y, takže je to codomain Y ∪ {C}, operace, která je injektivní (jedinečná a invertibilní podle omezení).

Diskuse a příklady

První diagram v horní části článku představuje částečnou funkci, která je ne funkce, protože prvek 1 v levé sadě není spojen s ničím v pravé sadě. Zatímco druhý diagram představuje funkci, protože každý prvek v levé sadě je spojen s přesně jedním prvkem v pravé sadě.

Přirozený logaritmus

Zvažte přirozený logaritmus funkce mapující reálná čísla pro sebe. Logaritmus kladného reálného čísla není reálné číslo, takže přirozená logaritmická funkce nepřidružuje žádné reálné číslo v doméně k žádnému kladnému reálnému číslu v doméně. Přirozená funkce logaritmu tedy není funkcí, když se na ni díváme jako na funkci od reálných k sobě samým, ale je to částečná funkce. Pokud je doména omezena pouze na zahrnutí pozitivní reality (to znamená, že pokud je funkce přirozeného logaritmu považována za funkci od kladných reálných hodnot k reálným), pak je přirozený logaritmus funkcí.

Odečítání přirozených čísel

Odečtení přirozená čísla (nezáporné celá čísla ) lze zobrazit jako částečnou funkci:

{displaystyle f: mathbb {N} imes mathbb {N} ot o mathbb {N}}

{displaystyle f (x, y) = x-y.}

Je definován pouze tehdy, když ${displaystyle xgeq y}$ .

Spodní prvek

v denotační sémantika částečná funkce se považuje za vrácení souboru spodní prvek když to není definováno.

v počítačová věda částečná funkce odpovídá podprogramu, který vyvolá výjimku nebo smyčky navždy. The IEEE s plovoucí desetinnou čárkou standard definuje a ne-číslo hodnota, která se vrací, když je operace s plovoucí desetinnou čárkou nedefinována a výjimky jsou potlačeny, např. když je požadována druhá odmocnina záporného čísla.

V programovací jazyk kde jsou funkční parametry staticky napsané, funkce může být definována jako částečná funkce, protože jazyk typový systém nemůže vyjádřit přesnou doménu funkce, takže programátor místo toho dává nejmenší doménu, která je vyjádřitelná jako typ a obsahuje doménu definice funkce.

V teorii kategorií

v teorie kategorií, při zvažování provozu morfismus složení v konkrétní kategorie, operace složení ${displaystyle circ: operatorname {hom} (C) imes operatorname {hom} (C) o operatorname {hom} (C)}$ je funkce právě tehdy ${displaystyle operatorname {ob} (C)}$ má jeden prvek. Důvodem jsou dva morfismy ${displaystyle f: X o Y}$ a ${displaystyle g: U o V}$ lze skládat pouze jako ${displaystyle gcirc f}$ -li ${displaystyle Y = U}$ , tj. codomain of ${displaystyle f}$ musí se rovnat doméně ${displaystyle g}$ .

Kategorie množin a dílčích funkcí je ekvivalent ale ne izomorfní s kategorií špičaté sady a mapy zachovávající bod.^[2] Jedna učebnice konstatuje, že „Toto formální doplnění množin a dílčích map přidáním„ nesprávných “„ nekonečných “prvků bylo mnohokrát objeveno znovu, zejména v topologii (jednobodové zhutnění ) a v teoretická informatika."^[3]

Kategorie sad a částečných bijekcí je ekvivalentní její dvojí.^[4] Je to prototyp inverzní kategorie.^[5]

V abstraktní algebře

Částečná algebra zobecňuje pojem univerzální algebra na částečné operace. Příkladem může být a pole, ve kterém je multiplikativní inverze jedinou správnou parciální operací (protože dělení nulou není definován).^[6]

Sada všech dílčích funkcí (částečné transformace ) na dané základní sadě, X, tvoří a pravidelná poloskupina nazývá se semigroup všech dílčích transformací (nebo semigroup částečné transformace na X), obvykle označován ${displaystyle {mathcal {PT}} _ {X}}$ .^[7]^[8]^[9] Sada všech částečných bijekcí zapnuta X tvoří symetrická inverzní poloskupina.^[7]^[8]

Grafy a atlasy pro potrubí a svazky vláken

Grafy v atlasy které specifikují strukturu rozdělovače a svazky vláken jsou dílčí funkce. V případě potrubí je doménou množina bodů potrubí. V případě svazků vláken je doménou prostor svazku vláken. V těchto aplikacích je nejdůležitější konstrukcí přechodová mapa, což je složený z jednoho grafu s inverzní jiného. Počáteční klasifikace potrubí a svazků vláken je do značné míry vyjádřena omezeními na těchto přechodových mapách.

Důvodem pro použití částečných funkcí namísto funkcí je umožnit, aby obecné globální topologie byly reprezentovány spojením lokálních oprav, které popisují globální strukturu. „Patche“ jsou domény, kde jsou definovány grafy.

Viz také

Analytické pokračování - Rozšíření oblasti analytické funkce (matematika)
Funkce s více hodnotami - Zobecnění funkce, která může produkovat několik výstupů pro každý vstup
Hustě definovaný operátor - Funkce, která je definována téměř všude (matematika)

Reference

^ ^A ^b Christopher Hollings (2014). Matematika za železnou oponou: Historie algebraické teorie poloskupin. Americká matematická společnost. p. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Lutz Schröder (2001). "Kategorie: prohlídka zdarma". In Jürgen Koslowski a Austin Melton (ed.). Kategorické perspektivy. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.
^ Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Kurz matematické logiky pro matematiky. Springer Science & Business Media. p. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
^ Francis Borceux (1994). Příručka kategorické algebry: svazek 2, Kategorie a struktury. Cambridge University Press. p. 289. ISBN 978-0-521-44179-7.
^ Marco Grandis (2012). Homologická algebra: souhra homologie s distribučními mřížemi a pravoslavnými poloskupinami. World Scientific. p. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.
^ Peter Burmeister (1993). "Částečné algebry - úvodní průzkum". In Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi (eds.). Algebry a objednávky. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.
^ ^A ^b Alfred Hoblitzelle Clifford; G. B. Preston (1967). Algebraická teorie poloskupin. Svazek II. American Mathematical Soc. p. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.
^ ^A ^b Peter M. Higgins (1992). Techniky teorie poloskupin. Oxford University Press, Incorporated. p. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
^ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Pologrupy klasických konečných transformací: Úvod. Springer Science & Business Media. str.16 a 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

Martin Davis (1958), Vyčíslitelnost a neřešitelnost„McGraw – Hill Book Company, Inc, New York. Publikováno Dover v roce 1982. ISBN 0-486-61471-9.
Stephen Kleene (1952), Úvod do meta-matematiky, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Nizozemsko, 10. tisk s přidanými opravami 7. tisku (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
Harold S. Stone (1972), Úvod do počítačové organizace a datových struktur„McGraw – Hill Book Company, New York.

[Hollings2014-251-1] A ^b Christopher Hollings (2014). Matematika za železnou oponou: Historie algebraické teorie poloskupin. Americká matematická společnost. p. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[KoslowskiMelton2001-2] Lutz Schröder (2001). "Kategorie: prohlídka zdarma". In Jürgen Koslowski a Austin Melton (ed.). Kategorické perspektivy. Springer Science & Business Media. p. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[KoblitzZilber2009-3] Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Kurz matematické logiky pro matematiky. Springer Science & Business Media. p. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.

[Borceux1994-4] Francis Borceux (1994). Příručka kategorické algebry: svazek 2, Kategorie a struktury. Cambridge University Press. p. 289. ISBN 978-0-521-44179-7.

[Grandis2012-5] Marco Grandis (2012). Homologická algebra: souhra homologie s distribučními mřížemi a pravoslavnými poloskupinami. World Scientific. p. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.

[RosenbergSabidussi1993-6] Peter Burmeister (1993). "Částečné algebry - úvodní průzkum". In Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi (eds.). Algebry a objednávky. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.

[CliffordPreston1967-7] A ^b Alfred Hoblitzelle Clifford; G. B. Preston (1967). Algebraická teorie poloskupin. Svazek II. American Mathematical Soc. p. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.

[Higgins1992-8] A ^b Peter M. Higgins (1992). Techniky teorie poloskupin. Oxford University Press, Incorporated. p. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.

[GanyushkinMazorchuk2008-9] Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Pologrupy klasických konečných transformací: Úvod. Springer Science & Business Media. str.16 a 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]