Matice hustoty - Density matrix - Wikipedia

Část a série na
Kvantová mechanika
${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Rušení Měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantová říše Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  (zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Heisenberg Interakce Matice Fázový prostor Schrödinger Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Stochastický Transakční
Pokročilá témata Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika

A matice hustoty je matice který popisuje statistický stav, ať už čistého nebo smíšeného, ​​systému v systému Windows kvantová mechanika. Pravděpodobnost jakéhokoli výsledku jakéhokoli dobře definovaného měření na systému lze vypočítat z matice hustoty pro tento systém. The extrémní body v sadě matic hustoty jsou čisté stavy, kterou lze také zapsat jako stavové vektory nebo vlnové funkce. Matice hustoty, které nejsou čistými stavy, jsou smíšené státy. Libovolný smíšený stav může být reprezentován jako konvexní kombinace čistých stavů, a proto jsou matice hustoty užitečné pro řešení statistické soubory různých možných příprav kvantového systému nebo situací, kdy není známa přesná příprava, jako v kvantová statistická mechanika.

Popis kvantového stavu jeho maticí hustoty je zcela obecným alternativním formalismem k popisu kvantového stavu jeho stavovým vektorem (jeho „ket ") nebo statistickým souborem kets. V praxi je však často nejvhodnější použít matice hustoty pro výpočty zahrnující smíšené stavy a použít kets pro výpočty zahrnující pouze čisté stavy. Smíšené stavy vznikají v situacích, kdy experimentátor dělá nevím, které konkrétní státy jsou manipulovány. Mezi příklady patří a soustava v tepelné rovnováze při teplotě nad absolutní nula, nebo systém s nejistou nebo náhodně se měnící historií přípravy (takže člověk neví, ve kterém čistém stavu se systém nachází). Také pokud má kvantový systém dva nebo více subsystémů, které jsou zapletený, pak se s každým subsystémem musí zacházet jako se smíšeným stavem, i když je celý systém v čistém stavu.^[1] V důsledku toho je matice hustoty také klíčovým nástrojem v kvantová dekoherence teorie, ve které je uvažován časový vývoj systému společně s vývojem jeho prostředí.^[2][3][4]

Matice hustoty je reprezentací a lineární operátor volal operátor hustoty. Matice hustoty se získá od operátora hustoty výběrem základ v podkladovém prostoru. V praxi jde o pojmy matice hustoty a operátor hustoty jsou často používány zaměnitelně. Matice i operátor jsou samoadjung (nebo Hermitian ), pozitivní semi-definitivní, z stopa jeden, a může mít nekonečno hodnost.^[5]

Dějiny

Formalismus operátorů hustoty a matic zavedl v roce 1927 John von Neumann^[6] a nezávisle, ale méně systematicky Lev Landau^[7] a později v roce 1946 Felix Bloch.^[8] Von Neumann představil matici hustoty za účelem vývoje jak kvantové statistické mechaniky, tak teorie kvantových měření. Samotná matice hustoty jmen souvisí s její klasickou korespondencí s a fázový prostor míra pravděpodobnosti (rozdělení pravděpodobnosti polohy a hybnosti) v klasice statistická mechanika, který byl představen Wignerem v roce 1932.^[5]

Naproti tomu motivací, která inspirovala Landau, byla nemožnost popsat subsystém složeného kvantového systému stavovým vektorem.^[7]

Čisté a smíšené státy

v kvantová mechanika, stav kvantového systému je reprezentován a státní vektor, označeno ${ displaystyle | psi rangle}$ (a výrazné ket psi). Kvantový systém se stavovým vektorem ${ displaystyle | psi rangle}$ se nazývá a čistý stav. Je však také možné, aby byl systém v a statistický soubor různých stavových vektorů: Může například existovat 50% pravděpodobnost, že stavový vektor je ${ displaystyle | psi _ {1} rangle}$ a 50% šance, že stavový vektor je ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$. Tento systém by byl v smíšený stav. Matice hustoty je zvláště užitečná pro smíšené stavy, protože jakýkoli stav, čistý nebo smíšený, lze charakterizovat jedinou maticí hustoty.^[9]:102

Smíšený stav se liší od a kvantová superpozice. Pravděpodobnosti ve smíšeném stavu jsou klasické pravděpodobnosti (jako v pravděpodobnostech se člověk učí v klasické teorii / statistice pravděpodobnosti), na rozdíl od kvantových pravděpodobností v kvantové superpozici. Ve skutečnosti je například kvantová superpozice čistých stavů dalším čistým stavem ${ displaystyle | psi rangle = (| psi _ {1} rangle + | psi _ {2} rangle) / { sqrt {2}}}$. V tomto případě koeficienty ${ displaystyle 1 / { sqrt {2}}}$ nejsou pravděpodobnosti, ale spíše amplitudy pravděpodobnosti.^[9]:81

Příklad: polarizace světla

Žárovka (1) emituje zcela náhodné polarizované fotony (2) s maticí hustoty smíšeného stavu:
${ displaystyle { begin {bmatrix} 0,5 a 0 0 a 0,5 konec {bmatrix}}}$.

Po průchodu svislou rovinou polarizátor (3), zbývající fotony jsou vertikálně polarizovány (4) a mají matici hustoty čistého stavu:
${ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}}}$.

Příkladem čistého a smíšeného stavu je polarizace světla. Fotony mohou mít dva helicity, což odpovídá dvěma ortogonálním kvantovým stavům, ${ displaystyle | R rangle}$ (že jo kruhová polarizace ) a ${ displaystyle | L rangle}$ (vlevo, odjet kruhová polarizace ). Foton může být také ve stavu superpozice, například ${ displaystyle (| R rangle + | L rangle) / { sqrt {2}}}$ (vertikální polarizace) nebo ${ displaystyle (| R rangle - | L rangle) / { sqrt {2}}}$ (horizontální polarizace). Obecněji to může být v jakémkoli stavu ${ displaystyle alpha | R rangle + beta | L rangle}$ (s ${ displaystyle | alpha | ^ {2} + | beta | ^ {2} = 1}$), souhlasí s lineární, oběžník nebo eliptická polarizace. Pokud projdeme ${ displaystyle (| R rangle + | L rangle) / { sqrt {2}}}$ polarizované světlo skrz a kruhový polarizátor což umožňuje buď pouze ${ displaystyle | R rangle}$ polarizované světlo, nebo pouze ${ displaystyle | L rangle}$ polarizované světlo, intenzita by se v obou případech snížila na polovinu. To by mohlo stačit zdát se jako polovina fotonů je ve stavu ${ displaystyle | R rangle}$ a druhá polovina ve stavu ${ displaystyle | L rangle}$. Ale to není správné: obojí ${ displaystyle | R rangle}$ a ${ displaystyle | L rangle}$ fotony jsou částečně absorbovány svislicí lineární polarizátor, ale ${ displaystyle (| R rangle + | L rangle) / { sqrt {2}}}$ světlo projde tímto polarizátorem bez jakékoli absorpce.

Nicméně, nepolarizované světlo (například světlo z žárovka ) se liší od jakéhokoli státu ${ displaystyle alpha | R rangle + beta | L rangle}$ (lineární, kruhová nebo eliptická polarizace). Na rozdíl od lineárně nebo elipticky polarizovaného světla prochází polarizátorem se ztrátou 50% intenzity bez ohledu na orientaci polarizátoru; a na rozdíl od kruhově polarizovaného světla jej nelze vytvořit lineárně polarizovaným s žádným vlnová deska protože náhodně orientovaná polarizace vyjde z vlnové desky s náhodnou orientací. Nepolarizované světlo ve skutečnosti nelze popsat jako žádný stav formuláře ${ displaystyle alpha | R rangle + beta | L rangle}$ v určitém smyslu. Nepolarizované světlo umět být popsány s průměrem souboru, např. že každý foton je buď ${ displaystyle | R rangle}$ s 50% pravděpodobností nebo ${ displaystyle | L rangle}$ s 50% pravděpodobností. Stejné chování by nastalo, kdyby každý foton byl buď vertikálně polarizovaný s 50% pravděpodobností, nebo horizontálně polarizovaný s 50% pravděpodobností (protože vertikálně nebo horizontálně polarizovaný stav lze vyjádřit jako lineární kombinace z ${ displaystyle | R rangle}$ a ${ displaystyle | L rangle}$ státy).

Proto nepolarizované světlo nelze popsat žádným čistým stavem, ale lze jej popsat jako a statistický soubor čistých stavů přinejmenším dvěma způsoby (soubor poloviny levé a poloviny pravé kruhové polarizace nebo soubor poloviční vertikální a poloviční horizontální lineární polarizace). Tyto dva soubory jsou experimentálně zcela nerozeznatelné, a proto jsou považovány za stejný smíšený stav. Jednou z výhod matice hustoty je, že pro každý smíšený stav existuje pouze jedna matice hustoty, zatímco pro každý smíšený stav existuje mnoho statistických souborů čistých stavů. Matice hustoty nicméně obsahuje všechny informace potřebné k výpočtu jakékoli měřitelné vlastnosti smíšeného stavu.^{[Citace je zapotřebí ]}

Odkud pocházejí smíšené státy? Chcete-li na to odpovědět, zvažte, jak generovat nepolarizované světlo. Jedním ze způsobů je použití systému v systému Windows tepelná rovnováha, statistická směs enormního počtu microstates, každý s určitou pravděpodobností ( Boltzmannův faktor ), díky kterému se rychle přepíná z jednoho na druhý teplotní výkyvy. Tepelná náhoda vysvětluje, proč žárovka například vyzařuje nepolarizované světlo. Druhým způsobem, jak generovat nepolarizované světlo, je zavedení nejistoty při přípravě systému, například jeho průchod dvojlomný krystal s drsným povrchem, takže mírně odlišné části paprsku získávají odlišnou polarizaci. Třetí způsob generování nepolarizovaného světla používá EPR nastavení: Radioaktivní rozpad může emitovat dva fotony pohybující se v opačných směrech, v kvantovém stavu ${ displaystyle (| R, L rangle + | L, R rangle) / { sqrt {2}}}$. Dva fotony spolu jsou v čistém stavu, ale pokud se podíváte pouze na jeden z fotonů a druhý ignorujete, chová se foton jako nepolarizované světlo.^{[Citace je zapotřebí ]}

Obecněji řečeno, smíšené stavy obvykle vznikají ze statistické směsi počátečního stavu (například v tepelné rovnováze), z nejistoty v postupu přípravy (jako jsou mírně odlišné cesty, kterými může foton cestovat) nebo z pohledu na subsystém zapletený s něco jiného.^{[9]:101–106}

Definice

Pro konečně-dimenzionální funkční prostor je nejobecnějším operátorem hustoty forma

${ displaystyle rho = součet _ {j} p_ {j} | psi _ {j} rangle langle psi _ {j} |,}$

kde koeficienty ${ displaystyle p_ {j}}$ jsou nezáporné a sečtou se k jednomu, a ${ displaystyle textstyle | psi _ {j} rangle langle psi _ {j} |}$ je vnější produkt napsáno v bra-ket notace. To představuje smíšený stav s pravděpodobností ${ displaystyle p_ {j}}$ že systém je v čistém stavu ${ displaystyle textstyle | psi _ {j} rangle}$.^{[Citace je zapotřebí ]}

Pro výše uvedený příklad nepolarizovaného světla se operátor hustoty rovná

${ displaystyle rho = { frac {1} {2}} | R rangle langle R | + { frac {1} {2}} | L rangle langle L |,}$

kde ${ displaystyle textstyle | L rangle}$ je stav fotonů s levou kruhovou polarizací a ${ displaystyle textstyle | R rangle}$ je pravo-kruhově polarizovaný fotonový stav.^{[Citace je zapotřebí ]}

Různé statistické soubory se stejnou maticí hustoty

Předchozí část poskytla příklad dvou statistických souborů čistých stavů, které mají stejný operátor hustoty: nepolarizované světlo lze popsat jako 50% pravo-kruhově polarizované a 50% levo-kruhově polarizované, nebo 50% vodorovně polarizované a 50% vertikálně polarizované. Takové ekvivalentní soubory nebo směsi nelze rozlišit žádným měřením. Tuto rovnocennost lze přesně charakterizovat. To lze ilustrovat na případě konečných souborů stavů v konečně-dimenzionálním Hilbertově prostoru. Dva takové soubory ${ displaystyle left { left | psi _ {i} right rangle right }, left { left | psi _ {i} ' right rangle right }}$ definovat stejný operátor hustoty kdyby a jen kdyby tady je parciální izometrie jehož matice je ${ displaystyle U}$, s

${ displaystyle left | psi _ {i} ' right rangle { sqrt {p_ {i}'}} = sum _ {j} U_ {ij} left | psi _ {j} right rangle { sqrt {p_ {j}}} ~.}$

Jedná se jednoduše o přepracování následující skutečnosti z lineární algebry: pro dvě matice ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$, ${ displaystyle MM ^ {*} = NN ^ {*}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle M = NU}$ pro nějakou parciální izometrii ${ displaystyle U}$. V případě, že dva soubory mají stejnou velikost, matice ${ displaystyle U}$ je čtvercový a tedy jednotný. (Vidět druhá odmocnina matice pro více informací k tomuto případu.) Ketová směs nebo celek tedy má volnost, která dává stejný operátor hustoty. Pokud jsou však směsi, z nichž je směs vyrobena, omezeny na konkrétní ortonormální základ, pak původní pravděpodobnosti ${ displaystyle p_ {j}}$ jsou jednoznačně získatelné z tohoto základu, jako vlastní čísla matice hustoty.^{[Citace je zapotřebí ]}

Matematické vlastnosti a stav čistoty

V jazyce operátora je operátor hustoty a pozitivní semi-definitivní, Hermitian provozovatel stopa 1 působící na stavový prostor.^[1] Operátor hustoty popisuje a čistý uveďte, zda se jedná o hodnost jedna projekce. Podobně operátor hustoty ${ displaystyle rho}$ popisuje a čistý uveďte, zda a jen pokud

${ displaystyle rho = rho ^ {2}}$,

tj. stát je idempotentní.^[10]:73 To platí bez ohledu na to, zda je Hilbertův prostor H je konečně-dimenzionální nebo ne.^{[Citace je zapotřebí ]}

Geometricky, když stav není vyjádřitelný jako a konvexní kombinace jiných států je to čistý stát.^[1] Rodina smíšených stavů je konvexní množina a stav je čistý, pokud je extrémní bod této sady.

Vyplývá to z spektrální věta pro kompaktní samoadjunkční operátory že každý smíšený stav je spočetná konvexní kombinace čistých stavů. Toto znázornění není jedinečné. Dále Gleasonova věta stanoví, že jakékoli samo-konzistentní přiřazení pravděpodobností k výsledkům měření, kde měření jsou ortonormální základny v Hilbertově prostoru, lze zapsat jako operátor hustoty, pokud je rozměr Hilbertova prostoru větší než 2.^[11] Toto omezení dimenze lze odstranit zobecněním pojmu měření na POVM.^[12][13]

Měření

Nechat ${ displaystyle A}$ být pozorovatelný systému a předpokládejme, že soubor je ve smíšeném stavu tak, že každý z čistých stavů ${ displaystyle textstyle | psi _ {j} rangle}$ nastává s pravděpodobností ${ displaystyle p_ {j}}$. Pak se odpovídající operátor hustoty rovná

${ displaystyle rho = součet _ {j} p_ {j} | psi _ {j} rangle langle psi _ {j} |.}$

The očekávaná hodnota měření lze vypočítat rozšířením z případu čistých stavů (viz Měření v kvantové mechanice ):

${ displaystyle langle A rangle = sum _ {j} p_ {j} langle psi _ {j} | A | psi _ {j} rangle = sum _ {j} p_ {j} operatorname {tr} left (| psi _ {j} rangle langle psi _ {j} | A right) = sum _ {j} operatorname {tr} left (p_ {j} | psi _ {j} rangle langle psi _ {j} | A right) = operatorname {tr} left ( sum _ {j} p_ {j} | psi _ {j} rangle langle psi _ {j} | A right) = operatorname {tr} ( rho A),}$

kde ${ displaystyle operatorname {tr}}$ označuje stopa. Tedy známý výraz ${ displaystyle langle A rangle = langle psi | A | psi rangle}$ pro čisté stavy se nahrazuje

${ displaystyle langle A rangle = operatorname {tr} ( rho A)}$

pro smíšené státy.

Navíc pokud ${ displaystyle A}$ má spektrální rozlišení

${ displaystyle A = sum _ {i} a_ {i} | a_ {i} rangle langle a_ {i} | = sum _ {i} a_ {i} P_ {i},}$

kde ${ displaystyle P_ {i} = | a_ {i} rangle langle a_ {i} |}$, odpovídající operátor hustoty po měření je dán vztahem

${ displaystyle ; rho '= součet _ {i} P_ {i} rho P_ {i}.}$

Všimněte si, že výše uvedený operátor hustoty popisuje celý soubor po měření. Podskupina, pro kterou byla výsledkem měření konkrétní hodnota ${ displaystyle a_ {i}}$ je popsán operátorem různé hustoty

${ displaystyle rho _ {i} '= { frac {P_ {i} rho P_ {i}} { operatorname {tr} left [ rho P_ {i} right]}}.}$

To je pravda za předpokladu, že ${ displaystyle textstyle | a_ {i} rangle}$ je jedinou vlastní sítí (až fáze ) s vlastní číslo ${ displaystyle a_ {i}}$; obecněji, ${ displaystyle P_ {i}}$ v tomto výrazu by byl nahrazen operátor projekce do vlastníprostor odpovídající vlastnímu číslu ${ displaystyle a_ {i}}$.

Obecněji předpokládejme ${ displaystyle Phi}$ je funkce, která se přidruží ke každému pozorovatelnému ${ displaystyle A}$ číslo ${ displaystyle Phi (A)}$, což si můžeme představit jako „očekávanou hodnotu“ ${ displaystyle A}$. Li ${ displaystyle Phi}$ uspokojuje některé přirozené vlastnosti (například udávání kladných hodnot kladným operátorům), pak existuje jedinečná matice hustoty ${ displaystyle rho}$ takhle

${ displaystyle Phi (A) = operatorname {tr} ( rho A)}$

pro všechny ${ displaystyle A}$.^[1] To znamená, že jakoukoli rozumnou „skupinu očekávaných hodnot“ lze reprezentovat maticí hustoty. Toto pozorování naznačuje, že matice hustoty jsou nejobecnějším pojmem kvantového stavu.

Entropie

The von Neumannova entropie ${ displaystyle S}$ směsi lze vyjádřit pomocí vlastních čísel ${ displaystyle rho}$ nebo z hlediska stopa a logaritmus operátora hustoty ${ displaystyle rho}$. Od té doby ${ displaystyle rho}$ je pozitivní semi-definitivní operátor, má a spektrální rozklad takhle ${ displaystyle rho = textový styl součet _ {i} lambda _ {i} | varphi _ {i} rangle langle varphi _ {i} |}$, kde ${ displaystyle | varphi _ {i} rangle}$ jsou ortonormální vektory, ${ displaystyle lambda _ {i} geq 0}$, a ${ displaystyle textstyle sum lambda _ {i} = 1}$. Pak entropie kvantového systému s hustotní maticí ${ displaystyle rho}$ je

${ displaystyle S = - součet _ {i} lambda _ {i} ln lambda _ {i} = - operatorname {tr} ( rho ln rho).}$

Tato definice znamená, že von Neumannova entropie jakéhokoli čistého stavu je nulová.^[14]:217 Li ${ displaystyle rho _ {i}}$ jsou státy, které mají podporu v ortogonálních podprostorech, pak von Neumannova entropie konvexní kombinace těchto stavů,

${ displaystyle rho = součet _ {i} p_ {i} rho _ {i},}$

je dána von Neumannovými entropiemi států ${ displaystyle rho _ {i}}$ a Shannonova entropie rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle p_ {i}}$:

${ displaystyle S ( rho) = H (p_ {i}) + součet _ {i} p_ {i} S ( rho _ {i}).}$

Když státy ${ displaystyle rho _ {i}}$ nemají ortogonální podpěry, součet na pravé straně je přísně větší než von Neumannova entropie konvexní kombinace ${ displaystyle rho}$.^[9]:518

Daný operátor hustoty ${ displaystyle rho}$ a projektivní měření jako v předchozí části, stav ${ displaystyle rho '}$ definovaná konvexní kombinací

${ displaystyle rho '= součet _ {i} P_ {i} rho P_ {i},}$

který lze interpretovat jako stav vytvořený provedením měření, ale nezaznamenávající, který výsledek nastal,^[15]:159 má von Neumannovu entropii větší než entropie ${ displaystyle rho}$, kromě případů, kdy ${ displaystyle rho = rho '}$. Je však možné pro ${ displaystyle rho '}$ produkoval a zobecněný měření, nebo POVM, mít nižší von Neumannovu entropii než ${ displaystyle rho}$.^[9]:514

Systémy a subsystémy

Další motivace pro uvažování matic hustoty pochází z uvažování systémů a jejich subsystémů. Předpokládejme, že máme dva kvantové systémy, popsané Hilbertovými prostory ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$. Kompozitní systém je pak tenzorový produkt ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1} otimes { mathcal {H}} _ {2}}$ dvou Hilbertových prostorů. Předpokládejme, že nyní je složený systém v čistém stavu ${ displaystyle psi in { mathcal {H}} _ {1} otimes { mathcal {H}} _ {2}}$. Li ${ displaystyle psi}$ má zvláštní formulář ${ displaystyle psi = psi _ {1} krát psi _ {2}}$, pak můžeme rozumně říci, že stav prvního subsystému je ${ displaystyle psi _ {1}}$. V tomto případě říkáme, že tyto dva systémy nejsou zamotané. Obecně však ${ displaystyle psi}$ se nerozloží jako jediný tenzorový produkt vektorů v ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$. Li ${ displaystyle psi}$ nelze rozložit jako jediný tenzorový součin stavů v komponentních systémech, říkáme, že oba systémy jsou zapletené. V takovém případě neexistuje rozumný způsob, jak spojit čistý stav ${ displaystyle psi _ {1} v { mathcal {H}} _ {1}}$ státu ${ displaystyle psi in { mathcal {H}} _ {1} otimes { mathcal {H}} _ {2}}$.^[1]

Pokud například máme vlnovou funkci ${ displaystyle psi (x_ {1}, x_ {2})}$ popisující stav dvou částic, neexistuje přirozený způsob konstrukce vlnové funkce (tj. čistý stav) ${ displaystyle psi _ {1} (x_ {1})}$ který popisuje stavy první částice - pokud ${ displaystyle psi (x_ {1}, x_ {2})}$ stane se produktem funkce ${ displaystyle psi _ {1} (x_ {1})}$ a funkce ${ displaystyle psi _ {2} (x_ {2})}$.

Výsledkem předchozí diskuse je, že i když je celkový systém v čistém stavu, různé subsystémy, které jej tvoří, budou obvykle ve smíšených stavech. Proto je použití matic hustoty nevyhnutelné.

Na druhou stranu, ať už je kompozitní systém v čistém nebo smíšeném stavu, můžeme dokonale sestavit matici hustoty, která popisuje stav ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1}}$. Matici hustoty složeného systému dvou systémů označte pomocí ${ displaystyle rho}$. Pak řekněme stav ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1}}$, je popsán a operátor se sníženou hustotou, dané „částečnou stopou“ z ${ displaystyle rho}$ přes ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$.^[1]

Pokud je stav ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1} otimes { mathcal {H}} _ {2}}$ shodou okolností je matice hustoty speciální formy ${ displaystyle rho = rho _ {1} mnohokrát rho _ {2}}$ kde ${ displaystyle rho _ {1}}$ a ${ displaystyle rho _ {2}}$ jsou matice hustoty ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {1}}$ a ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$, pak částečná stopa ${ displaystyle rho}$ s ohledem na ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {2}}$ je jen ${ displaystyle rho _ {1}}$. Typický ${ displaystyle rho}$ nebude však této formy.

Von Neumannova rovnice pro vývoj času

Stejně jako Schrödingerova rovnice popisuje, jak se čisté stavy vyvíjejí v čase, von Neumannova rovnice (také známý jako Liouville – von Neumannova rovnice) popisuje, jak se operátor hustoty vyvíjí v čase (ve skutečnosti jsou obě rovnice ekvivalentní v tom smyslu, že je lze odvodit od druhé.) Von Neumannova rovnice diktuje, že^[16][17]

${ displaystyle i hbar { frac { částečné rho} { částečné t}} = [H, rho] ~,}$

kde závorky označují a komutátor.

Všimněte si, že tato rovnice platí pouze tehdy, když je operátor hustoty považován za v Schrödingerův obrázek, i když se zdá, že tato rovnice na první pohled napodobuje Heisenbergovu pohybovou rovnici v Heisenbergův obrázek, s rozhodujícím rozdílem znaménka:

${ displaystyle i hbar { frac {dA ^ {(H)}} {dt}} = - left [H, A ^ {(H)} right] ~,}$

kde ${ displaystyle A ^ {(H)} (t)}$ je nějaký Heisenbergův obrázek operátor; ale na tomto obrázku je matice hustoty nezávisí na časea relativní znaménko zajišťuje, že časová derivace očekávané hodnoty ${ displaystyle langle A rangle}$ vyjde stejné jako na Schrödingerově obrázku.^[1]

Pokud je Hamiltonián nezávislý na čase, lze snadno vyřešit von Neumannovu rovnici, čímž se získá

${ displaystyle rho (t) = e ^ {- iHt / hbar} rho (0) e ^ {iHt / hbar}.}$

Pro obecnější Hamiltonian, pokud ${ displaystyle G (t)}$ je propagátor vlnových funkcí v určitém intervalu, pak je časový vývoj matice hustoty ve stejném intervalu dán vztahem

${ displaystyle rho (t) = G (t) rho (0) G (t) ^ { dýka}.}$

„Quantum Liouville“, Moyalova rovnice

Operátor matice hustoty může být také realizován v fázový prostor. Pod Wigner mapa, matice hustoty se transformuje na ekvivalent Funkce Wigner,

${ displaystyle W (x, p) , { stackrel { mathrm {def}} {=}} , { frac {1} { pi hbar}} int _ {- infty} ^ { infty} psi ^ {*} (x + y) psi (xy) e ^ {2ipy / hbar} , dy.}$

Rovnice pro časový vývoj Wignerovy funkce je pak Wignerova transformace výše uvedené von Neumannovy rovnice,

${ displaystyle { frac { částečné W (q, p, t)} { částečné t}} = - { {W (q, p, t), H (q, p) } }, }$

kde ${ displaystyle H (q, p)}$ je Hamiltonian a ${ displaystyle { { cdot, cdot } }}$ je Věrný držák, transformace kvanta komutátor.

Evoluční rovnice pro Wignerovu funkci je pak analogická s její klasickou mezí, Liouvilleova rovnice z klasická fyzika. Na hranici mizející Planckovy konstanty ${ displaystyle hbar}$, ${ displaystyle W (q, p, t)}$ redukuje na klasickou Liouvilleovu funkci hustoty pravděpodobnosti v fázový prostor.

Klasickou Liouvilleovu rovnici lze vyřešit pomocí metoda charakteristik pro parciální diferenciální rovnice, přičemž charakteristické rovnice jsou Hamiltonovy rovnice. Moyal rovnice v kvantové mechanice podobně připouští formální řešení, pokud jde o kvantové charakteristiky, předpokládaný na Produ −produkt fázového prostoru, ačkoli ve skutečné praxi se řešení hledá podle různých metod.

Ukázkové aplikace

Matice hustoty jsou základním nástrojem kvantové mechaniky a objevují se alespoň příležitostně v téměř jakémkoli typu kvantově-mechanického výpočtu. Některé konkrétní příklady, kde jsou matice hustoty obzvláště užitečné a běžné, jsou následující:

• Kvantová dekoherence Teorie obvykle zahrnuje neizolované kvantové systémy vyvíjející zapletení s jinými systémy, včetně měřicích přístrojů. Matice hustoty značně usnadňují popis procesu a výpočet jeho důsledků. Kvantová dekoherence vysvětluje, proč systém interagující s prostředím přechází z čistého stavu, který vykazuje superpozice, do smíšeného stavu, nekoherentní kombinace klasických alternativ. Tento přechod je zásadně reverzibilní, protože kombinovaný stav systému a prostředí je stále čistý, ale pro všechny praktické účely nevratný, protože prostředí je velmi velký a složitý kvantový systém a není možné zvrátit jejich interakci. Dekoherence je tedy velmi důležitá pro vysvětlení klasický limit kvantové mechaniky, ale nedokáže vysvětlit kolaps vlnové funkce, protože všechny klasické alternativy jsou stále přítomny ve smíšeném stavu a kolaps vlnové funkce vybírá pouze jednu z nich.^[18]
• Podobně v kvantový výpočet, teorie kvantové informace a další pole, kde je hlučná příprava stavu a může docházet k oddělování, se často používají matice hustoty. Kvantová tomografie je proces, při kterém se vzhledem k souboru dat představujících výsledky kvantových měření vypočítá matice hustoty odpovídající těmto výsledkům měření.^[19][20]
• Při analýze systému s mnoha elektrony, například atom nebo molekula, nedokonalou, ale užitečnou první aproximací je zacházet s elektrony jako nesouvisí nebo každý s nezávislou vlnovou funkcí s jednou částicemi. Toto je obvyklý výchozí bod při stavbě Slater determinant v Hartree – Fock metoda. Pokud existují ${ displaystyle N}$ elektrony vyplňující ${ displaystyle N}$ jednočásticové vlnové funkce ${ displaystyle | psi _ {i} rangle}$, pak sbírka ${ displaystyle N}$ elektrony dohromady lze charakterizovat maticí hustoty ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} | psi _ {i} rangle langle psi _ {i} |}$.

C * -algebraická formulace stavů

Nyní je všeobecně přijímáno, že popis kvantové mechaniky, ve kterém všichni operátoři s vlastním adjunktem představují pozorovatelné, je neudržitelný.^[21][22] Z tohoto důvodu jsou pozorovatelné identifikovány prvky abstraktu C * -algebra A (tj. bez výrazného vyjádření algebry operátorů) a státy jsou pozitivní lineární funkcionály na A. Použitím GNS konstrukce, můžeme obnovit Hilbertovy prostory, které si uvědomují A jako subalgebra operátorů.

Geometricky, čistý stav na C * -algebře A je stav, který je extrémním bodem množiny všech stavů A. Vlastnostmi konstrukce GNS tyto stavy odpovídají neredukovatelné reprezentace z A.

Stavy C * -algebry kompaktní operátory K.(H) přesně odpovídají operátorům hustoty, a tedy čistým stavům K.(H) jsou přesně čisté stavy ve smyslu kvantové mechaniky.

Je vidět, že C * -algebraická formulace zahrnuje jak klasické, tak kvantové systémy. Když je systém klasický, z algebry pozorovatelných se stane abelianská C * -algebra. V takovém případě se státy stanou mírou pravděpodobnosti, jak je uvedeno v úvodu.

Viz také

Poznámky a odkazy