Částečná izometrie - Partial isometry

v funkční analýza A parciální izometrie je lineární mapa mezi Hilbertovými prostory tak, že je izometrie na ortogonální doplněk jeho jádro.

Ortogonální doplněk jeho jádra se nazývá počáteční podprostor a jeho rozsah se nazývá konečný podprostor.

Dílčí izometrie se objevují v polární rozklad.

Všeobecné

Koncept parciální izometrie lze definovat jinými ekvivalentními způsoby. Li U je izometrická mapa definovaná v uzavřené podmnožině H₁ Hilbertova prostoru H pak můžeme definovat příponu Ž z U všem H podmínkou, že Ž být nula na ortogonálním doplňku H₁. Částečná izometrie je tedy někdy také definována jako uzavřená částečně definovaná izometrická mapa.

Částečné izometrie (a projekce) lze definovat v abstraktnějším nastavení a poloskupina s involucí; definice se shoduje s definicí v tomto dokumentu.

Provozovatel Algebry

Pro operátorské algebry jeden představuje počáteční a konečný podprostor:

{ displaystyle { mathcal {I}} W: = { mathcal {R}} W ^ {*} W, , { mathcal {F}} W: = { mathcal {R}} WW ^ {* }}

C * -Algebry

Pro C * -algebry jeden má řetězec ekvivalentů díky C * -vlastnosti:

{ displaystyle (W ^ {*} W) ^ {2} = W ^ {*} W iff WW ^ {*} W = W iff W ^ {*} WW ^ {*} = W ^ {*} iff (WW ^ {*}) ^ {2} = WW ^ {*}}

Jeden tedy definuje dílčí izometrie některým z výše uvedených a deklaruje počáteční resp. konečná projekce bude W * W resp. WW *.

Dvojice projekcí je rozdělena na vztah ekvivalence:

{ displaystyle P = W ^ {*} W, , Q = WW ^ {*}}

Hraje důležitou roli v K-teorie pro C * -algebry a v Murray -von Neumann teorie projekcí v a von Neumannova algebra.

Speciální třídy

Projekce

Jakákoli ortogonální projekce je projekce se společným počátečním a konečným podprostorem:

{ displaystyle P: { mathcal {H}} rightarrow { mathcal {H}}: quad { mathcal {I}} P = { mathcal {F}} P}

Vkládání

Jakékoli izometrické vložení je jedno s úplným počátečním podprostorem:

{ displaystyle J: { mathcal {H}} hookrightarrow { mathcal {K}}: quad { mathcal {I}} J = { mathcal {H}}}

Unitáři

Žádný nečleněný operátor je jedna s úplným počátečním a konečným podprostorem:

{ displaystyle U: { mathcal {H}} leftrightarrow { mathcal {K}}: quad { mathcal {I}} U = { mathcal {H}}, , { mathcal {F}} U = { mathcal {K}}}

(Kromě toho existuje mnohem více dílčích izometrií.)

Příklady

Nilpotents

Na dvojrozměrném komplexu Hilbertův prostor matice

{ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}}

je částečná izometrie s počátečním podprostorem

{ displaystyle {0 } oplus mathbb {C}}

a konečný podprostor

{ displaystyle mathbb {C} oplus {0 }.}

Leftshift a posun práv

Na čtvercových sumarizovatelných sekvencích operátory

{ displaystyle R: ell ^ {2} ( mathbb {N}) to ell ^ {2} ( mathbb {N}) :( x_ {1}, x_ {2}, ldots) mapsto (0, x_ {1}, x_ {2}, ldots)}

{ displaystyle L: ell ^ {2} ( mathbb {N}) to ell ^ {2} ( mathbb {N}) :( x_ {1}, x_ {2}, ldots) mapsto (x_ {2}, x_ {3}, ldots)}

které souvisí s

{ displaystyle R ^ {*} = L}

jsou částečné izometrie s počátečním podprostorem

{ displaystyle LR (x_ {1}, x_ {2}, ldots) = (x_ {1}, x_ {2}, ldots)}

a konečný podprostor:

{ displaystyle RL (x_ {1}, x_ {2}, ldots) = (0, x_ {2}, ldots)}

.

Reference

John B.Conway (1999). „Kurz teorie operátorů“, AMS Bookstore, ISBN 0-8218-2065-6
Alan L. T. Paterson (1999). "Grupoidy, inverzní poloskupiny a jejich operátorské algebry ", Springer, ISBN 0-8176-4051-7
Mark V. Lawson (1998). "Inverzní poloskupiny: teorie parciálních symetrií ". World Scientific ISBN 981-02-3316-7

externí odkazy