Microstate (statistická mechanika) - Microstate (statistical mechanics)

Mikrostáty a makrostáty převrácení mince dvakrát. Všechny mikrostavy jsou stejně pravděpodobné, ale makrostát (H, T) je dvakrát pravděpodobnější než makrostáty (H, H) a (T, T).

v statistická mechanika, a microstate je specifická mikroskopická konfigurace a termodynamický systém že systém může v průběhu své činnosti obsadit s určitou pravděpodobností teplotní výkyvy. Naproti tomu makrostát systému odkazuje na jeho makroskopické vlastnosti, jako je jeho teplota, tlak, objem a hustota.^[1] Ošetření na statistická mechanika^[2]^[3] definovat makrostát takto: o konkrétní sadě hodnot energie, počtu částic a objemu izolovaného termodynamického systému se říká, že specifikuje jeho konkrétní makrostát. V tomto popisu se mikrostavy zobrazují jako různé možné způsoby, jak může systém dosáhnout konkrétního makrostátu.

Makrostát se vyznačuje a rozdělení pravděpodobnosti možných stavů napříč určitým statistický soubor všech microstates. Tato distribuce popisuje pravděpodobnost nalezení systému v určitém microstate. V termodynamický limit, mikrostavy navštívené makroskopickým systémem během jeho fluktuací mají všechny stejné makroskopické vlastnosti.

Mikroskopické definice termodynamických konceptů

Statistická mechanika spojuje empirické termodynamické vlastnosti systému se statistickým rozdělením souboru mikrostavů. Všechny makroskopické termodynamické vlastnosti systému lze vypočítat z funkce oddílu který shrnuje energii všech jeho mikrostavů.

Systém je kdykoli distribuován napříč souborem ${ displaystyle N}$ mikrostáty, každý označen ${ displaystyle i}$ a s pravděpodobností zaměstnání ${ displaystyle p_ {i}}$ a energie ${ displaystyle E_ {i}}$ . Pokud jsou mikrostavy kvantově mechanické povahy, pak tyto mikrostavy tvoří diskrétní množinu, jak je definováno kvantová statistická mechanika, a ${ displaystyle E_ {i}}$ je úroveň energie systému.

Vnitřní energie

Vnitřní energie makrostátu je znamenat přes všechny mikrostavy energie systému

{ displaystyle U ,: = , langle E rangle , = , sum limity _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} , E_ {i}}

Toto je mikroskopické vyjádření pojmu energie spojené s první zákon termodynamiky.

Entropie

Pro obecnější případ kanonický soubor absolutní entropie závisí výlučně na pravděpodobnosti mikrostátů a je definována jako

{ displaystyle S ,: = , - k _ { mathrm {B}} součet limity _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} , ln (p_ {i})}

kde ${ displaystyle k_ {B}}$ je Boltzmannova konstanta. Pro mikrokanonický soubor, skládající se pouze z těch mikrostavů s energií rovnou energii makrostátu, to se zjednodušuje na

{ displaystyle S = k_ {B} , ln W}

kde ${ displaystyle W}$ je počet microstates. Tento formulář pro entropii se objeví na Ludwig Boltzmann náhrobek ve Vídni.

The druhý zákon termodynamiky popisuje, jak se entropie izolovaného systému mění v čase. The třetí zákon termodynamiky je v souladu s touto definicí, protože nulová entropie znamená, že makrostát systému se redukuje na jediný mikrostav.

Teplo a práce

Teplo a práci lze rozlišit, vezmeme-li v úvahu základní kvantovou povahu systému.

U uzavřeného systému (bez přenosu hmoty), teplo ve statistické mechanice je přenos energie spojený s neuspořádaným mikroskopickým působením na systém, spojený se skoky v počtech okupací kvantových energetických hladin systému, beze změny hodnot samotných energetických hladin.^[2]

Práce je přenos energie spojený s uspořádanou, makroskopickou akcí v systému. Pokud tato akce působí velmi pomalu, pak adiabatická věta kvantové mechaniky znamená, že to nezpůsobí skoky mezi energetickými hladinami systému. V tomto případě se vnitřní energie systému změní pouze v důsledku změny energetických úrovní systému.^[2]

Mikroskopické, kvantové definice tepla a práce jsou následující:

{ displaystyle delta W = součet _ {i = 1} ^ {N} p_ {i} , dE_ {i}}

{ displaystyle delta Q = součet _ {i = 1} ^ {N} E_ {i} , dp_ {i}}

aby

{ displaystyle ~ dU = delta W + delta Q.}

Dvě výše uvedené definice tepla a práce jsou jedny z mála výrazů statistická mechanika kde termodynamické veličiny definované v kvantovém případě nenajdou analogickou definici v klasickém limitu. Důvodem je, že klasické mikrostavy nejsou definovány ve vztahu k přesnému přidruženému kvantovému mikrostavu, což znamená, že když práce změní celkovou energii dostupnou pro distribuci mezi klasickými mikrostavy systému, energetické úrovně (takřka) mikrostavů ano nenásledovat tuto změnu.

Mikrostát ve fázovém prostoru

Klasický fázový prostor

Popis klasického systému F stupně svobody lze uvést ve smyslu a 2F dimenzionální fázový prostor, jehož souřadnicové osy se skládají z F zobecněné souřadnice q_i systému a jeho F generalizovaná hybnost p_i. Mikrostát takového systému bude specifikován jediným bodem ve fázovém prostoru. Ale pro systém s velkým počtem stupňů volnosti jeho přesný mikrostav obvykle není důležitý. Fázový prostor lze tedy rozdělit na buňky o velikosti h₀= Δq_iΔp_i , každý zpracován jako mikrostav. Nyní jsou mikrostáty diskrétní a počítatelné^[4] a vnitřní energie U již nemá přesnou hodnotu, ale je mezi U a U + δU, s ${ textstyle delta U ll U}$ .

Počet microstates Ω že uzavřený systém může obsadit, je úměrný objemu jeho fázového prostoru:

{ displaystyle Omega (U) = { frac {1} {h_ {0} ^ { mathcal {F}}}} int mathbf {1} _ { delta U} (H (x) - U) prod _ {i = 1} ^ { mathcal {F}} dq_ {i} dp_ {i}}

kde

{ textstyle mathbf {1} _ { delta U} (H (x) -U)}

je Funkce indikátoru. Je 1, pokud je funkce Hamilton H (x) na místě x = (q, p) ve fázovém prostoru je mezi U a U + δU a 0, pokud ne. Konstanta

{ textstyle { frac {1} {h_ {0} ^ { mathcal {F}}}}}

dělá Ω (U) bezrozměrný. Pro ideální plyn je

{ displaystyle Omega (U) propto { mathcal {F}} U ^ {{ frac { mathcal {F}} {2}} - 1} delta U}

.^[5]

V tomto popisu jsou částice rozlišitelné. Pokud dojde k výměně polohy a hybnosti dvou částic, bude nový stav reprezentován jiným bodem ve fázovém prostoru. V tomto případě bude jeden bod představovat mikrostav. Pokud podmnožina M částice jsou od sebe nerozeznatelné, pak M! možné permutace nebo možné výměny těchto částic se budou počítat jako součást jednoho mikrostavu. Sada možných mikrostavů se také odráží v omezeních termodynamického systému.

Například v případě jednoduchého plynu o N částice s celkovou energií U obsažené v krychli objemu PROTI, ve kterém nelze vzorek plynu experimentálně odlišit od žádného jiného vzorku, bude mikrostat sestávat z výše uvedeného N! body ve fázovém prostoru a množina mikrostavů bude omezena tak, aby všechny souřadnice polohy měly ležet uvnitř pole a hybnost ležet na hypersférické ploše v souřadnicích hybnosti poloměru U. Pokud se naopak systém skládá ze směsi dvou různých plynů, jejichž vzorky lze od sebe odlišit, řekněme A a B, pak se zvýší počet mikrostavů, protože dva body, ve kterých an A a B částice jsou vyměňovány ve fázovém prostoru, již nejsou součástí stejného mikrostavu. Dvě částice, které jsou identické, lze přesto rozlišit například na základě jejich umístění. (Vidět konfigurační entropie.) Pokud schránka obsahuje identické částice a je v rovnováze a je vložena přepážka rozdělující objem na polovinu, jsou nyní částice v jedné krabici odlišitelné od částic ve druhé krabici. Ve fázovém prostoru je N / 2 částice v každém boxu jsou nyní omezeny na objem V / 2a jejich energie omezena na U / 2a počet bodů popisujících jeden mikrostav se změní: popis fázového prostoru není stejný.

To má důsledky v obou Gibbsův paradox a správné počítání Boltzmanna. Pokud jde o Boltzmannovo počítání, je to početnost bodů ve fázovém prostoru, která účinně snižuje počet mikrostavů a činí entropii rozsáhlou. Pokud jde o Gibbův paradox, důležitým výsledkem je, že zvýšení počtu mikrostatů (a tedy zvýšení entropie) vyplývající z vložení přepážky přesně odpovídá snížení počtu mikrostatů (a tedy snížení entropie) vyplývající ze snížení objemu dostupného pro každou částici, čímž se získá čistá změna entropie na nulu.

Viz také

Reference

^ Macrostates a Microstates Archivováno 03.03.2012 na Wayback Machine
^ ^A ^b ^C Reif, Frederick (1965). Základy statistické a tepelné fyziky. McGraw-Hill. s. 66–70. ISBN 978-0-07-051800-1.
^ Pathria, RK (1965). Statistická mechanika. Butterworth-Heinemann. p. 10. ISBN 0-7506-2469-8.
^ „Statistický popis fyzikálních systémů“.
^ Bartelmann, Matthias (2015). Theoretische Physik. Springer Spektrum. str. 1142–1145. ISBN 978-3-642-54617-4.

externí odkazy

Některé ilustrace mikrostavů vs. makrostátů

[1] Macrostates a Microstates Archivováno 03.03.2012 na Wayback Machine

[Reif-2] A ^b ^C Reif, Frederick (1965). Základy statistické a tepelné fyziky. McGraw-Hill. s. 66–70. ISBN 978-0-07-051800-1.

[3] Pathria, RK (1965). Statistická mechanika. Butterworth-Heinemann. p. 10. ISBN 0-7506-2469-8.

[4] „Statistický popis fyzikálních systémů“.

[5] Bartelmann, Matthias (2015). Theoretische Physik. Springer Spektrum. str. 1142–1145. ISBN 978-3-642-54617-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]