Šikmé souřadnice - Skew coordinates

Systém šikmé souřadnice je křivočarý souřadnicový systém Kde souřadné plochy nejsou ortogonální,^[1] na rozdíl od ortogonální souřadnice.

Zkosené souřadnice mají tendenci být komplikovanější v porovnání s ortogonálními souřadnicemi, protože metrický tenzor bude mít nenulové off-diagonální komponenty, což zabrání mnoha zjednodušením vzorců pro tenzorová algebra a tenzorový počet. Nenulové off-diagonální komponenty metrického tenzoru jsou přímým výsledkem neortogonality základních vektorů souřadnic, protože podle definice:^[2]

{ displaystyle g_ {ij} = mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j}}

kde ${ displaystyle g_ {ij}}$ je metrický tenzor a ${ displaystyle mathbf {e} _ {i}}$ (kovarianta) základní vektory.

Tyto souřadnicové systémy mohou být užitečné, pokud geometrie problému dobře zapadá do šikmého systému. Například řešení Laplaceova rovnice v rovnoběžník bude nejjednodušší, když se to provede ve vhodně zkosených souřadnicích.

Kartézské souřadnice s jednou šikmou osou

Souřadnicový systém, kde X osa byla ohnuta směrem k z osa.

Nejjednodušší 3D případ šikmého souřadnicového systému je a Kartézský jedna, kde jedna z os (řekněme X osa) byla ohnuta o nějaký úhel ${ displaystyle phi}$ , zůstávající kolmo k jedné ze zbývajících dvou os. V tomto příkladu X osa kartézské souřadnice byla ohnuta směrem k z osa o ${ displaystyle phi}$ , zbývající kolmo k y osa.

Algebra a užitečné veličiny

Nechat ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}}$ , ${ displaystyle mathbf {e} _ {2}}$ , a ${ displaystyle mathbf {e} _ {3}}$ respektive být jednotkovými vektory podél ${ displaystyle x}$ , ${ displaystyle y}$ , a ${ displaystyle z}$ sekery. Ty představují kovariantní základ; výpočet jejich tečkovaných produktů dává následující komponenty metrický tenzor:

{ displaystyle g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = 1 quad; quad g_ {12} = g_ {23} = 0 quad; quad g_ {13} = cos vlevo ( { frac { pi} {2}} - phi right) = sin ( phi)}

{ displaystyle { sqrt {g}} = mathbf {e} _ {1} cdot ( mathbf {e} _ {2} times mathbf {e} _ {3}) = cos ( phi )}

což jsou množství, která budou později užitečná.

Protikladný základ je dán^[2]

{ displaystyle mathbf {e} ^ {1} = { frac { mathbf {e} _ {2} times mathbf {e} _ {3}} { sqrt {g}}} = { frac { mathbf {e} _ {2} times mathbf {e} _ {3}} { cos ( phi)}}}

{ displaystyle mathbf {e} ^ {2} = { frac { mathbf {e} _ {3} times mathbf {e} _ {1}} { sqrt {g}}} = mathbf { e} _ {2}}

{ displaystyle mathbf {e} ^ {3} = { frac { mathbf {e} _ {1} times mathbf {e} _ {2}} { sqrt {g}}} = { frac { mathbf {e} _ {1} times mathbf {e} _ {2}} { cos ( phi)}}}

Protikladný základ není příliš vhodný k použití, ale ukazuje se v definicích, takže je třeba ho zvážit. Budeme upřednostňovat psaní množství s ohledem na kovariantní bázi.

Vzhledem k tomu, že základní vektory jsou všechny konstantní, bude sčítání a odčítání vektorů jednoduše známé sčítání a odčítání po jednotlivých komponentách. Teď, pojďme

{ displaystyle mathbf {a} = součet _ {i} a ^ {i} mathbf {e} _ {i} quad { mbox {a}} quad mathbf {b} = sum _ { i} b ^ {i} mathbf {e} _ {i}}

kde součty označují součet všech hodnot indexu (v tomto případě i = 1, 2, 3). The kontrariantní a kovariantní komponenty těchto vektorů mohou být příbuzné

{ displaystyle a ^ {i} = součet _ {j} a_ {j} g ^ {ij}}

aby výslovně

{ displaystyle a ^ {1} = { frac {a_ {1} - sin ( phi) a_ {3}} { cos ^ {2} ( phi)}},}

{ displaystyle a ^ {2} = a_ {2},}

{ displaystyle a ^ {3} = { frac {- sin ( phi) a_ {1} + a_ {3}} { cos ^ {2} ( phi)}}.}

The Tečkovaný produkt z hlediska kontrariantních komponent je tedy

{ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = součet _ {i} a ^ {i} b_ {i} = a ^ {1} b ^ {1} + a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {3} b ^ {3} + sin ( phi) (a ^ {1} b ^ {3} + a ^ {3} b ^ {1})}

a co se týká kovariantních komponent

{ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = cos ^ {2} ( phi) [a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} - sin ( phi) (a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1})]}}

Počet

Podle definice,^[3] the spád skalární funkce F je

{ displaystyle nabla f = součet _ {i} mathbf {e} ^ {i} { frac { parciální f} { parciální q ^ {i}}} = { frac { parciální f} { částečné x}} mathbf {e} ^ {1} + { frac { částečné f} { částečné y}} mathbf {e} ^ {2} + { frac { částečné f} { částečné z}} mathbf {e} ^ {3}}

kde ${ displaystyle q_ {i}}$ jsou souřadnice X, y, z indexováno. Když to rozpoznáme jako vektor napsaný na základě kontravariantního základu, může být přepsán:

{ displaystyle nabla f = { frac {{ frac { částečné f} { částečné x}} - sin ( phi) { frac { částečné f} { částečné z}}} { cos ( phi) ^ {2}}} mathbf {e} _ {1} + { frac { částečné f} { částečné y}} mathbf {e} _ {2} + { frac {- sin ( phi) { frac { částečné f} { částečné x}} + { frac { částečné f} { částečné z}}} { cos ( phi) ^ {2}}} mathbf {e} _ {3}.}

The divergence vektoru ${ displaystyle mathbf {a}}$ je

{ displaystyle nabla cdot mathbf {a} = { frac {1} { sqrt {g}}} součet _ {i} { frac { částečný} { částečný q ^ {i}}} left ({ sqrt {g}} a ^ {i} right) = { frac { částečné a ^ {1}} { částečné x}} + { frac { částečné a ^ {2}} { částečné y}} + { frac { částečné a ^ {3}} { částečné z}}.}

a tenzoru ${ displaystyle mathbf {A}}$

{ displaystyle nabla cdot mathbf {A} = { frac {1} { sqrt {g}}} součet _ {i, j} { frac { částečný} { částečný q ^ {i} }} left ({ sqrt {g}} a ^ {ij} mathbf {e} _ {j} right) = sum _ {i, j} mathbf {e} _ {j} { frac { částečné a ^ {ij}} { částečné q ^ {i}}}.}

The Laplacian z F je

{ displaystyle nabla ^ {2} f = nabla cdot nabla f = { frac {1} { cos ( phi) ^ {2}}} vlevo ({ frac { částečné ^ {2 } f} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné z ^ {2}}} - 2 sin ( phi) { frac { částečné ^ {2} f} { částečné x částečné z}} pravé) + { frac { částečné ^ {2} f} { částečné y ^ {2}}}}

a protože kovarianční základ je normální a konstantní, vektor Laplacian je stejný jako Laplaciánův komponent vektoru zapsaného z hlediska kovariantního základu.

Zatímco jak bodový produkt, tak gradient jsou poněkud chaotické v tom, že mají další výrazy (ve srovnání s kartézským systémem) operátor advection který kombinuje bodový produkt s přechodem, se ukazuje velmi jednoduchý:

{ displaystyle ( mathbf {a} cdot nabla) = left ( sum _ {i} a ^ {i} e_ {i} right) cdot left ( sum _ {i} { frac { částečné} { částečné q ^ {i}}} mathbf {e} ^ {i} pravé) = levé ( součet _ {i} a ^ {i} { frac { částečné} { částečné q ^ {i}}} vpravo)}

které mohou být použity jak pro skalární funkce, tak pro vektorové funkce, jsou-li vyjádřeny v kovariantní bázi.

Nakonec kučera vektoru je

{ displaystyle nabla times mathbf {a} = součet _ {i, j, k} mathbf {e} _ {k} epsilon ^ {ijk} { frac { částečný a_ {j}} { částečné q ^ {i}}} =}

{ displaystyle { frac {1} { cos ( phi)}} left ( left ( sin ( phi) { frac { částečné a ^ {1}} { částečné y}} + { frac { částečné a ^ {3}} { částečné y}} - { frac { částečné a ^ {2}} { částečné z}} vpravo) mathbf {e} _ {1} + vlevo ({ frac { částečné a ^ {1}} { částečné z}} + sin ( phi) vlevo ({ frac { částečné a ^ {3}} { částečné z}} - { frac { částečné a ^ {1}} { částečné x}} pravé) - { frac { částečné a ^ {3}} { částečné x}} pravé) mathbf {e} _ {2 } + left ({ frac { částečné a ^ {2}} { částečné x}} - { frac { částečné a ^ {1}} { částečné y}} - sin ( phi) { frac { částečné a ^ {3}} { částečné y}} vpravo) mathbf {e} _ {3} vpravo).}

Reference

^ Šikmý souřadnicový systém v Mathworld
^ ^A ^b Lebedev, Leonid P. (2003). Analýza tenzoru. World Scientific. p. 13. ISBN 981-238-360-3. Citovat má prázdný neznámý parametr: | spoluautoři = (Pomoc)
^ Lebedev, Leonid P. (2003). Analýza tenzoru. World Scientific. p. 63. ISBN 981-238-360-3. Citovat má prázdný neznámý parametr: | spoluautoři = (Pomoc)

[1] Šikmý souřadnicový systém v Mathworld

[p13-2] A ^b Lebedev, Leonid P. (2003). Analýza tenzoru. World Scientific. p. 13. ISBN 981-238-360-3. Citovat má prázdný neznámý parametr: | spoluautoři = (Pomoc)

[3] Lebedev, Leonid P. (2003). Analýza tenzoru. World Scientific. p. 63. ISBN 981-238-360-3. Citovat má prázdný neznámý parametr: | spoluautoři = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]