Unimodulární mříž - Unimodular lattice

v geometrie a matematické teorie skupin, a unimodulární mříž je integrál mříž z určující 1 nebo -1. Pro mřížku v n-dimenzionální euklidovský prostor, to odpovídá požadavku, že objem ze všech základní doména pro mřížku je 1.

The E₈ mříž a Mřížka pijavice jsou dva slavné příklady.

Definice

A mříž je bezplatná abelianská skupina konečný hodnost s symetrická bilineární forma (·,·).
Mřížka je integrální if (·, ·) přebírá celočíselné hodnoty.
The dimenze mřížky je stejná jako její hodnost (jako a Z-modul ).
The norma mřížového prvku A je (A, A).
Mřížka je pozitivní určitý pokud je norma všech nenulových prvků kladná.
The určující mřížky je určující pro Gramová matice matice se záznamy (A_i, a_j), kde prvky A_i tvoří základ pro mříž.
Integrální mřížka je unimodulární je-li jeho determinant 1 nebo -1.
Unimodulární mřížka je dokonce nebo typ II pokud jsou všechny normy sudé, jinak zvláštní nebo typ I..
The minimální kladné určité mřížky je nejnižší nenulová norma.
Mřížky jsou často vloženy do reálného vektorového prostoru se symetrickým bilineárním tvarem. Mřížka je pozitivní určitý, Lorentzian, a tak dále, pokud je jeho vektorový prostor.
The podpis mřížky je podpis formuláře ve vektorovém prostoru.

Příklady

Tři nejdůležitější příklady unimodulárních mřížek jsou:

Mříž Z, v jedné dimenzi.
The E₈ mříž, rovnoměrná 8-dimenzionální mřížka,
The Mřížka pijavice, 24-dimenzionální dokonce unimodulární mříž bez kořenů.

Vlastnosti

Mříž je unimodulární právě tehdy, když je dvojitá mříž je integrální. Unimodulární mřížky jsou stejné jako jejich duální mřížky, a z tohoto důvodu jsou unimodulární mříže také známé jako self-dual.

Vzhledem k dvojici (m,n) nezáporných celých čísel, rovnoměrnou unimodulární mřížku podpisu (m,n) existuje tehdy a jen tehdy, když m-n je dělitelné 8, ale lichá unimodulární mřížka podpisu (m,n) vždy existuje. Zejména dokonce i unimodulární definitivní mřížky existují pouze v dimenzi dělitelné 8. Příklady ve všech přípustných podpisech uvádí II_{m, n} a Já_{m, n} stavby, resp.

The funkce theta unimodulární pozitivní určité mřížky je a modulární forma jehož váha je o polovinu vyšší. Pokud je mřížka rovnoměrná, forma má úroveň 1, a je-li mřížka lichá, má tvar Γ₀(4) struktura (tj. Je to modulární forma úrovně 4). Kvůli dimenzi vázané na prostory modulárních forem není minimální norma nenulového vektoru rovnoměrné unimodulární mřížky větší než ⎣n/ 24⎦ + 1. Dokonce unimodulární mřížka, která dosahuje této hranice, se nazývá extrémní. Extrémní i unimodulární mřížky jsou známy v příslušných rozměrech až 80,^[1] a jejich neexistence byla prokázána u rozměrů nad 163 264.^[2]

Klasifikace

U neurčitých svazů lze klasifikaci snadno popsat. Napište R^{m, n} pro m + n dimenzionální vektorový prostorR^{m + n} s vnitřním produktem (A₁, ..., A_m+n) a (b₁, ..., b_m+n) dána

{ displaystyle a_ {1} b_ {1} + cdots + a_ {m} b_ {m} -a_ {m + 1} b_ {m + 1} - cdots -a_ {m + n} b_ {m + n}. ,}

v R^{m, n} existuje jedna lichá neurčitá unimodulární mřížka až po izomorfismus, označená

Já_m,n,

který je dán všemi vektory (A₁,...,A_m+n)v R^m,n se všemi A_i celá čísla.

Neexistují žádné neurčité ani unimodulární mřížky, pokud

m − n je dělitelné 8,

v takovém případě existuje jedinečný příklad až do izomorfismu, označený

II_m,n.

To je dáno všemi vektory (A₁,...,A_m+n)v R^m,n takové, že buď všechny A_i jsou celá čísla nebo jsou to celá čísla plus 1/2 a jejich součet je sudý. Mříž II_8,0 je stejný jako E₈ mříž.

Pozitivní definitivní unimodulární mřížky byly klasifikovány až do dimenze 25. Existuje jedinečný příklad Já_n,0 v každé dimenzi n méně než 8 a dva příklady (Já_8,0 a II_8,0) v dimenzi 8. Počet svazů se mírně zvyšuje až do dimenze 25 (kde je jich 665), ale za dimenzí 25 Hmotnostní vzorec Smith-Minkowski-Siegel znamená, že počet se s dimenzí velmi rychle zvyšuje; například v dimenzi 32 je jich více než 80 000 000 000 000 000.

V jistém smyslu jsou unimodulární mřížky až do dimenze 9 řízeny E₈, a až do dimenze 25 jsou ovládány mřížkou Leech, což odpovídá jejich neobvykle dobrému chování v těchto dimenzích. Například Dynkinův diagram vektorů normy-2 unimodulárních mřížek v rozměru do 25 lze přirozeně identifikovat s konfigurací vektorů v Leechově mřížce. Divoký nárůst počtu nad 25 dimenzí lze připsat skutečnosti, že tyto mřížky již nejsou ovládány mřížkou Leech.

Dokonce i pozitivní definitivní unimodulární mříž existuje pouze v rozměrech dělitelných 8. V dimenzi 8 je jedna (dále jen E₈ mřížka), dva v rozměru 16 (E₈² a II_16,0) a 24 v dimenzi 24, nazývané Niemeierovy svazy (příklady: Mřížka pijavice, II_24,0, II_16,0 + II_8,0, II_8,0³). Za 24 dimenzí se počet velmi rychle zvyšuje; ve 32 dimenzích je jich více než miliarda.

Unimodular mřížky s ne kořeny (vektory normy 1 nebo 2) byly klasifikovány až do dimenze 28. Neexistuje žádný z dimenzí menších než 23 (kromě nulové mřížky!). V dimenzi 23 je jeden (tzv krátká mřížka pijavice), dva v rozměru24 (Leechova mřížka a lichá mřížka pijavice), a Bacher & Venkov (2001) ukázaly, že v rozměrech 25, 26, 27, 28 jsou 0, 1, 3, 38. Kromě toho se počet velmi rychle zvyšuje; v dimenzi 29 je nejméně 8 000. V dostatečně vysokých dimenzích nemá většina unimodulárních svazů žádné kořeny.

Jediným nenulovým příkladem dokonce pozitivních určitých unimodulárních mřížek bez kořenů v dimenzi menší než 32 je Leechova mřížka v dimenzi 24. V dimenzi 32 existuje více než deset milionů příkladů a nad dimenzí 32 se jejich počet velmi rychle zvyšuje.

Následující tabulka z (Král 2003 ) udává počet (nebo nižší meze) sudých nebo lichých unimodulárních mřížek v různých dimenzích a ukazuje velmi rychlý růst začínající krátce po dimenzi 24.

Dimenze	Zvláštní mřížky	Zvláštní mřížky žádné kořeny	Dokonce i mříže	Dokonce i mříže žádné kořeny
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (např₈ mříž)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E₈², D₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (kratší mřížka pijavice)
24	273	1 (lichá mřížka pijavice)	24 (Niemeier svazy)	1 (mřížka pijavice)
25	665	0
26	≥ 2307	1
27	≥ 14179	3
28	≥ 327972	38
29	≥ 37938009	≥ 8900
30	≥ 20169641025	≥ 82000000
31	≥ 5000000000000	≥ 800000000000
32	≥ 80000000000000000	≥ 10000000000000000	≥ 1160000000	≥ 10900000

Kromě 32 dimenzí se čísla zvyšují ještě rychleji.

Aplikace

Druhý kohomologická skupina uzavřené jednoduše připojeno orientované topologické 4-potrubí je unimodulární mříž. Michael Freedman ukázal, že tato mřížka téměř určuje potrubí: existuje jedinečné takové potrubí pro každou sudou unimodulární mřížku a přesně dvě pro každou lichou unimodulární mřížku. Zejména pokud vezmeme mřížku jako 0, znamená to Poincarého domněnka pro 4-dimenzionální topologické potrubí. Donaldsonova věta uvádí, že pokud je potrubí hladký a mřížka je kladně definitivní, pak to musí být součet kopií Z, takže většina z těchto potrubí nemá žádné hladká struktura. Jedním z takových příkladů je Rozdělovač E8.

Reference

^ Nebe, Gabriele; Sloane, Neil. „Unimodular Lattices, together with a Table of the Best such Lattices“. Online katalog svazů. Citováno 2015-05-30.
^ Nebe, Gabriele (2013). „The Boris Venkov's Theory of Lattices and Spherical Designs“. Wan, Wai Kiu; Fukshansky, Lenny; Schulze-Pillot, Rainer; et al. (eds.). Diophantine metody, svazy a aritmetická teorie kvadratických forem. Současná matematika. 587. Providence, RI: Americká matematická společnost. s. 1–19. arXiv:1201.1834. Bibcode:2012arXiv1201.1834N. PAN 3074799.

Bacher, Roland; Venkov, Boris (2001), „Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28“ [Unimodulární integrální mřížky bez kořenů v rozměrech 27 a 28], Martinet, Jacques (ed.), Réseaux euclidiens, navrhuje sphériques et formes modulaires [Euklidovské mřížky, sférické vzory a modulární formy], Monogr. Ensign. Matematika. (francouzsky), 37, Ženeva: L'Enseignement Mathématique, s. 212–267, ISBN 2-940264-02-3, PAN 1878751, Zbl 1139.11319, archivovány z originál dne 28. 9. 2007
Conway, J.H.; Sloane, N.J.A. (1999), Balení koulí, svazy a skupinyGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290„S příspěvky od Bannai, E .; Borcherds, R.E .; Leech, J .; Norton, S.P .; Odlyzko, A.M .; Parker, R.A .; Queen, L .; Venkov, B. B. (třetí vydání), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98585-9, PAN 0662447, Zbl 0915.52003
King, Oliver D. (2003), „Hromadný vzorec pro unimodulární mřížky bez kořenů“, Matematika výpočtu, 72 (242): 839–863, arXiv:math.NT / 0012231, Bibcode:2003MaCom..72..839K, doi:10.1090 / S0025-5718-02-01455-2, PAN 1954971, Zbl 1099.11035
Milnor, Johne; Husemoller, Dale (1973), Symetrické bilineární formuláře, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-88330-9, ISBN 3-540-06009-X, PAN 0506372, Zbl 0292.10016
Serre, Jean-Pierre (1973), Kurz aritmetiky, Postgraduální texty z matematiky, 7, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4684-9884-4, ISBN 0-387-90040-3, PAN 0344216, Zbl 0256.12001
Freedman, Michael H. (1982), „Topologie čtyřrozměrných variet“, J. Diferenciální Geom., 17 (3): 357–453, doi:10,4310 / jdg / 1214437136

externí odkazy

Neil Sloane je katalog unimodulárních svazů.
OEIS posloupnost A005134 (počet n-rozměrných unimodulárních mřížek)

[1] Nebe, Gabriele; Sloane, Neil. „Unimodular Lattices, together with a Table of the Best such Lattices“. Online katalog svazů. Citováno 2015-05-30.

[2] Nebe, Gabriele (2013). „The Boris Venkov's Theory of Lattices and Spherical Designs“. Wan, Wai Kiu; Fukshansky, Lenny; Schulze-Pillot, Rainer; et al. (eds.). Diophantine metody, svazy a aritmetická teorie kvadratických forem. Současná matematika. 587. Providence, RI: Americká matematická společnost. s. 1–19. arXiv:1201.1834. Bibcode:2012arXiv1201.1834N. PAN 3074799.

[1]

[2]