II25,1 - II25,1

V matematice II_25,1 je dokonce 26-dimenzionální Lorentzian unimodulární mříž. Má několik neobvyklých vlastností, které vyplývají z Conwayova objevu, že má normu nula Weyl vektor. Zejména úzce souvisí s Mřížka pijavice Λ a má Conway skupina Co1 na vrcholu své skupiny automorfismu.

Konstrukce

Psát si R^{m, n} pro m + n dimenzionální vektorový prostorR^{m + n} s vnitřním produktem (A₁,...,A_{m + n}) a (b₁,...,b_{m + n}) dána

A₁b₁+...+A_mb_m − A_{m + 1}b_{m + 1} − ... − A_{m + n}b_{m + n}.

Mříž II_25,1 je dán všemi vektory (A₁,...,A₂₆)v R^25,1 takové, že buď všechny A_i jsou celá čísla nebo jsou všechna celá čísla plus 1/2 a jejich součet je sudý.

Reflexní skupina

Mříž II_25,1 je izomorfní s Λ⊕H, kde:

• Λ je Mřížka pijavice,
• H je dvourozměrná sudá Lorentzova mříž, generovaná 2 vektory 0 normy z a w s vnitřním produktem –1,

a dva summandy jsou ortogonální. Můžeme tedy psát vektory II_25,1 jako (λ,m, n) = λ +mz+nw s λ v Λ a m,n celá čísla, kde (λ,m, n) má normu λ² –2mn. Abychom dali výslovně izomorfismus, dovolme ${ displaystyle w = (0,1,2,3, tečky, 22,23,24; 70)}$, a ${ displaystyle z = (1,0,2,3, tečky, 22,23,24; 70)}$, takže podprostor ${ displaystyle H}$ generováno uživatelem ${ displaystyle w}$ a ${ displaystyle z}$ je 2-dimenzionální i Lorentzian mříž. Pak ${ displaystyle H ^ { perp}}$ je izomorfní s ${ displaystyle w ^ { perp} / w}$ a obnovíme jednu z definic Λ.

Conway ukázal, že kořeny (vektory normy 2) mající vnitřní součin –1 s w= (0,0,1) jsou jednoduché kořeny reflexní skupiny. Jedná se o vektory (λ, 1, λ²/ 2–1) pro λ v Leechově mřížce. Jinými slovy, jednoduché kořeny lze identifikovat s body Leechovy mřížky a navíc se jedná o izometrii ze sady jednoduchých kořenů do Leechovy mřížky.

Reflexní skupina je hyperbolická reflexní skupina působící na 25rozměrný hyperbolický prostor. Základní doména reflexní skupiny má 1 + 23 + 284 orbitů vrcholů takto:

• Jeden vrchol v nekonečnu odpovídající Weylovu vektoru s normou 0.
• 23 oběžných drah vrcholů v nekonečnu, které splňují konečný počet tváří základní domény. Tyto vrcholy odpovídají hlubokým otvorům v Leechově mřížce a existuje 23 oběžných drah, které odpovídají 23 Niemeierovým mřížkám jiným než Leechova mřížka. Jednoduché kořeny, které se setkávají s jedním z těchto vrcholů, tvoří afinní Dynkinův diagram hodnosti 24.
• 284 oběžných drah vrcholů v hyperbolickém prostoru. To odpovídá 284 oběžným dráhám mělkých děr leechské mřížky. Jednoduché kořeny, které se setkávají s kterýmkoli z těchto vrcholů, tvoří sférický Dynkinův diagram pozice 25.

Automorfická skupina

Conway (1983) popsal automorfickou skupinu Aut (II_25,1) z II_25,1 jak následuje.

• Nejprve Aut (II_25,1) je produktem skupiny objednávky 2 generované –1 podskupinou index 2 Aut⁺(II_25,1) automorfismů zachovávajících směr času.
• Skupina Aut⁺(II_25,1) má normální podskupinu Ref generovanou jejími odrazy, jejíž jednoduché kořeny odpovídají vektorům mřížky pijavice.
• Skupina Aut⁺(II_25,1) / Ref je izomorfní se skupinou afinních automorfismů Leechovy mřížky Λ, a má tedy normální podskupinu překladů isomorfních na Λ =Z²⁴a kvocient je izomorfní ke skupině všech automorfismů Leechovy mřížky, která je dvojitým krytem Skupina Conway Spol₁, sporadická jednoduchá skupina.

Vektory

Každý nenulový vektor II_25,1 lze zapsat jednoznačně jako kladný celočíselný násobek primitivního vektoru, takže ke klasifikaci všech vektorů stačí klasifikovat primitivní vektory.

Pozitivní normové vektory

Jakékoli dva pozitivní normativní primitivní vektory se stejnou normou jsou konjugovány ve skupině automorfismu.

Normální nulové vektory

Existuje 24 oběžných drah vektorů primitivní normy 0, což odpovídá 24 Niemeierovy svazy. Korespondence je uvedena následovně: pokud z je normou 0 vektor, pak mřížka z^⊥/z je 24-dimenzionální dokonce unimodulární mříž, a proto je jednou z Niemeierových mřížek.

Niemeierova mřížka odpovídající normě 0 Weylův vektor reflexní skupiny II_25,1 je mřížka Leech.

Norma –2 vektory

Existuje 121 oběžných drah vektorů proti normy –2, což odpovídá 121 třídám izomorfismu 25dimenzionálních sudých mřížek L determinantu 2. V této korespondenci mříž L je izomorfní s ortogonálním doplňkem vektoru proti.

Norma –4 vektory

Existuje 665 oběžných drah vektorů proti normy –4, což odpovídá 665 25-dimenzionálním třídám izomorfismu unimodulární mřížky L. V této korespondenci je sublattice indexu 2 sudých vektorů mřížky L je izomorfní s ortogonálním doplňkem vektoru proti.

Jiné vektory

Existují podobné, ale stále komplikovanější popisy vektorů normy –2n pro n= 3, 4, 5, ... a počet oběžných drah těchto vektorů se zvyšuje poměrně rychle.

Reference

• Conway, John Horton (1983), „Skupina automorfismu 26dimenzionální, dokonce unimodulární Lorentzovské mřížky“, Journal of Algebra, 80 (1): 159–163, doi:10.1016 / 0021-8693 (83) 90025-X, ISSN  0021-8693, PAN  0690711
• Conway, John Horton; Parker, R. A .; Sloane, N. J. A. (1982), „Krycí poloměr mřížky pijavice“, Sborník královské společnosti A, 380 (1779): 261–290, doi:10.1098 / rspa.1982.0042, ISSN  0080-4630, PAN  0660415
• Conway, John Horton; Sloane, N. J. A. (1982), „Dvacet tři konstrukcí pro mřížku pijavice“, Sborník královské společnosti A, 381 (1781): 275–283, doi:10.1098 / rspa.1982.0071, ISSN  0080-4630, PAN  0661720
• Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1999). Balení koule, svazy a skupiny. (3. vyd.) S dalšími příspěvky E. Bannai, R. E. Borcherds, John Leech, Simon P. Norton, A. M. Odlyzko, Richard A. Parker, L. Queen a B. B. Venkov. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98585-9.
• Ebeling, Wolfgang (2002) [1994], Mříže a kódy, Advanced Lectures in Mathematics (revidované vydání), Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN  978-3-528-16497-3, PAN  1938666