Symetrický vztah - Symmetric relation

Binární vztahy

	Symetrický	Antisymetrický	Connex	Opodstatněné	Připojí se	Setká se
Vztah ekvivalence	✓	✗	✗	✗	✗	✗
Předobjednávka (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗
Částečná objednávka	✗	✓	✗	✗	✗	✗
Celková předobjednávka	✗	✗	✓	✗	✗	✗
Celková objednávka	✗	✓	✓	✗	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	✓	✓	✗	✗
Dobře kvazi-objednávání	✗	✗	✗	✓	✗	✗
Dobře objednané	✗	✓	✓	✓	✗	✗
Mříž	✗	✓	✗	✗	✓	✓
Připojit-semilattice	✗	✓	✗	✗	✓	✗
Seznamte se s semilattice	✗	✓	✗	✗	✗	✓

A✓"označuje, že vlastnost sloupce je vyžadována v definici řádku."
Například definice vztahu ekvivalence vyžaduje, aby byl symetrický.
Všechny definice mlčky vyžadují tranzitivita a reflexivita.

A symetrický vztah je typ binární relace. Příkladem je vztah „se rovná“, protože pokud A = b je tedy pravda b = A je také pravda. Formálně binární relace R přes soubor X je symetrický, pokud:

{ displaystyle forall a, b v X (aRb Leftrightarrow bRa).}

Li R^T představuje konverzovat z R, pak R je symetrický právě tehdy R = R^T.

Symetrie, spolu s reflexivita a tranzitivita, jsou tři definující vlastnosti souboru vztah ekvivalence.

Příklady

V matematice

"je rovný" (rovnost ) (vzhledem k tomu, že „je menší než“ není symetrické)
"je srovnatelný do ", pro prvky a částečně objednaná sada
„... a ... jsou liché“:

Mimo matematiku

„je ženatý“ (ve většině právních systémů)
„je plně biologický sourozenec“
"je homofonní z"
„je spolupracovníkem“
„je týmový kolega z“

Vztah k asymetrickým a antisymetrickým vztahům

Podle definice nemůže být neprázdný vztah symetrický a asymetrický (kde pokud A je spojen s b, pak b nemůže souviset s A (stejně)). Relace však nemůže být ani symetrická, ani asymetrická, což je případ výrazů „je menší nebo rovno“ a „živí se“).

Symetrické a antisymetrický (kde je jediný způsob A může souviset s b a b být ve vztahu A je pokud A = b) jsou ve skutečnosti na sobě nezávislé, jak ukazují tyto příklady.

Matematické příklady
	Symetrický	Ne symetrické
Antisymetrický	rovnost	„je menší nebo rovno“
Není antisymetrický	shoda v modulární aritmetika	„je dělitelné“ přes množinu celých čísel

Nematematické příklady
	Symetrický	Ne symetrické
Antisymetrický	„je stejná osoba jako a je ženatý“	„je množné číslo“
Není antisymetrický	„je úplným biologickým sourozencem“	"kořisti na"

Vlastnosti

Symetrický a tranzitivní vztah je vždy kvazireflexní.

Symetrický, přechodný a reflexivní vztah se nazývá vztah ekvivalence.

Jedním ze způsobů, jak pojmout symetrický vztah v teorii grafů, je to, že symetrický vztah je hrana, přičemž dva vrcholy hrany jsou dvě entity, které jsou tak příbuzné. Symetrické vztahy a neorientované grafy jsou tedy kombinačně ekvivalentními objekty.