Modus ponens - Modus ponens

v výroková logika, modus ponens (/ˈmoʊdəsˈpoʊnɛnz/; MP), také známý jako modus ponendo ponens (latinský pro „režim, který potvrzuje potvrzení“)^[1] nebo eliminace implikací nebo potvrzující předchůdce^[2], je deduktivní forma argumentu a pravidlo závěru.^[3] Lze to shrnout jako „P naznačuje Otázka P je pravda. Proto Q musí to být také pravda. “

Modus ponens úzce souvisí s jiným platný forma argumentu, modus tollens. Oba mají zjevně podobné, ale neplatné formy, jako je potvrzující důsledky, popření předchůdce, a důkaz nepřítomnosti. Konstruktivní dilema je disjunktivní verze modus ponens. Hypotetický úsudek úzce souvisí s modus ponens a někdy se o něm uvažuje jako o „dvojnásobku modus ponens."

Historie modus ponens jde zpět do starověk.^[4] První, kdo explicitně popisuje formu argumentu modus ponens byl Theophrastus.^[5] To, spolu s modus tollens, je jedním ze standardních vzorů závěrů, které lze použít k odvození řetězců závěrů, které vedou k požadovanému cíli.

Vysvětlení

Forma a modus ponens argument se podobá a sylogismus, se dvěma předpoklady a závěrem:

Li P, pak Q.

P.

Proto, Q.

První premisa je a podmiňovací způsob („if – then“), konkrétně to P naznačuje Q. Druhým předpokladem je tvrzení, že P, předchůdce podmíněného nároku. Z těchto dvou prostor lze logicky usoudit, že Q, následný podmíněného nároku.

Příklad argumentu, který odpovídá formě modus ponens:

Pokud je dnes úterý, pak John půjde do práce.

Dnes je úterý.

Proto John půjde do práce.

Tento argument je platný, ale to nemá žádný vliv na to, zda některá z tvrzení v argumentu skutečně jsou skutečný; pro modus ponens být a zvuk argument musí být premisa pravdivá pro všechny skutečné instance závěru. An argument může být platný, ale přesto nezdravý, pokud je jeden nebo více předpokladů nepravdivých; pokud je argument platný a všechny předpoklady jsou pravdivé, pak je argument správný. Například John možná půjde ve středu do práce. V tomto případě je důvod, proč John bude fungovat (protože je středa), nesprávný. Argument je znějící pouze v úterý (když John chodí do práce), ale platí každý den v týdnu. A propoziční použití argumentu modus ponens se říká, že je deduktivní.

V jednom závěru následující kalkul, modus ponens je Cut pravidlo. The věta o eliminaci řezu pro kalkul říká, že každý důkaz zahrnující Cut může být transformován (obecně konstruktivní metodou) na důkaz bez Cut, a proto je Cut přípustný.

The Curry – Howardova korespondence mezi důkazy a programy souvisí modus ponens na funkční aplikace: pokud F je funkce typu P → Q a X je typu P, pak f x je typu Q.

v umělá inteligence, modus ponens se často nazývá dopředu řetězení.

Formální notace

The modus ponens pravidlo může být napsáno v následující zápis jako

${displaystyle P o Q,; P ;; vdash ;; Q}$

kde P, Q a P → Q jsou prohlášení (nebo návrhy) ve formálním jazyce a ⊢ je metalogické to znamená symbol Q je syntaktický důsledek z P a P → Q v některých logický systém.

Odůvodnění pomocí tabulky pravdivosti

Platnost modus ponens v klasické dvouhodnotové logice lze jasně demonstrovat pomocí a pravdivostní tabulka.

V případech modus ponens předpokládáme to jako premisu p → q je pravda a p je pravda. Pouze jeden řádek tabulky pravdy - první - splňuje tyto dvě podmínky (p a p → q). Na tomto řádku q je také pravda. Proto kdykoli p → q je pravda a p je pravda, q musí být také pravda.

Postavení

Zatímco modus ponens je jedním z nejčastěji používaných formy argumentů logicky se nesmí zaměňovat za logický zákon; je to spíše jeden z přijatých mechanismů pro konstrukci deduktivních důkazů, který zahrnuje „pravidlo definice“ a „pravidlo náhrady“.^[6] Modus ponens umožňuje eliminovat a podmíněné prohlášení od a logický důkaz nebo argument (předchůdci), a tím nepřenášet tyto předchůdce vpřed ve stále se prodlužujícím řetězci symbolů; z tohoto důvodu se modus ponens někdy nazývá pravidlo odloučení^[7] nebo zákon o oddělení.^[8] Enderton například poznamenává, že „modus ponens může vyrábět kratší vzorce z delších“,^[9] a Russell podotýká, že „proces závěru nelze redukovat na symboly. Jeho jediným záznamem je výskyt [q [důsledek] ... závěrem je upuštění od skutečné premisy; je to rozpuštění implikace“ .^[10]

Odůvodnění „důvěry v závěry je přesvědčení, že pokud se obě dřívější tvrzení [předchůdci] nemýlí, konečné tvrzení [následek] se mýlí“.^[10] Jinými slovy: pokud jeden prohlášení nebo tvrzení naznačuje druhý a první výrok nebo tvrzení je pravdivé, pak platí i druhý. Li P naznačuje Q a P je tedy pravda Q je pravda.^[11]

Korespondence s jinými matematickými rámci

Počet pravděpodobnosti

Modus ponens představuje instanci Zákon celkové pravděpodobnosti který je pro binární proměnnou vyjádřen jako:

${displaystyle Pr (Q) = Pr (Qmid P) Pr (P) + Pr (Qmid není P) Pr (není P),}$,

kde např. ${displaystyle Pr (Q)}$ označuje pravděpodobnost ${displaystyle Q}$ a podmíněná pravděpodobnost ${displaystyle Pr (Qmid P)}$ zevšeobecňuje logickou implikaci ${displaystyle P o Q}$. Předpokládat, že ${displaystyle Pr (Q) = 1}$ je ekvivalentní k ${displaystyle Q}$ být PRAVDA, a to ${displaystyle Pr (Q) = 0}$ je ekvivalentní k ${displaystyle Q}$ být FALSE. To je pak snadno vidět ${displaystyle Pr (Q) = 1}$ když ${displaystyle Pr (Qmid P) = 1}$ a ${displaystyle Pr (P) = 1}$. Proto je zákon celkové pravděpodobnosti představuje zobecnění modus ponens.^[12]

Subjektivní logika

Modus ponens představuje instanci binomického operátoru odpočtu v subjektivní logika vyjádřeno jako:

${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A} = (omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A}) Circlescirc omega _ {P} ^ {A} ,}$,

kde ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ označuje subjektivní názor na ${displaystyle P}$ jak je vyjádřeno zdrojem ${displaystyle A}$a podmíněné stanovisko ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ zevšeobecňuje logickou implikaci ${displaystyle P o Q}$. Odvozený okrajový názor na ${displaystyle Q}$ je označen ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$. Případ kde ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ je absolutní SKUTEČNÝ názor na ${displaystyle P}$ je ekvivalentní zdroji ${displaystyle A}$ říkat to ${displaystyle P}$ je PRAVDA a případ, kdy ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ je absolutní NEPRAVDA názor na ${displaystyle P}$ je ekvivalentní zdroji ${displaystyle A}$ říkat to ${displaystyle P}$ je FALSE. Operátor odpočtu ${displaystyle circleledcirc}$ z subjektivní logika vytváří absolutní SKUTEČNĚ odvozený názor ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ když podmíněný názor ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ je absolutní PRAVDA a předchozí názor ${displaystyle omega _ {P} ^ {A}}$ je absolutní PRAVDA. Subjektivní logická dedukce tedy představuje zobecnění obou modus ponens a Zákon celkové pravděpodobnosti.^[13]

Údajné případy selhání

Filozof a logik Vann McGee to argumentoval modus ponens může selhat, když je následkem sama podmíněná věta.^[14] Zde je příklad:

Buď Shakespeare nebo Hobbes napsal Osada.

Kdyby psali Shakespeare nebo Hobbes Osadapak, pokud to Shakespeare neudělal, udělal Hobbes.

Pokud tedy Shakespeare nenapsal Osada, Udělal to Hobbes.

První premisa se zdá být dostatečně rozumná, protože Shakespeare je obecně připisován psaní Osada. Druhá premisa se také zdá být rozumná, protože s množinou Osada'Možní autoři omezeni pouze na Shakespeara a Hobbese, eliminace jednoho ponechává pouze druhého. Ale závěr, zvažovaný sám as možnými autory ne omezeno pouze na Shakespeara a Hobbese, je pochybné, protože pokud je Shakespeare vyloučen jako OsadaAutor, existuje mnohem pravděpodobnější alternativa než Hobbes.

Obecná forma protipříkladů typu McGee modus ponens je prostě ${displaystyle P, Pightarrow (Qightarrow R)}$, proto ${displaystyle Qightarrow R}$; to není podstatné ${displaystyle P}$ být disjunkcí, jako v uvedeném příkladu. Že tyto druhy případů představují selhání modus ponens zůstává logickým názorem menšiny, ale názory na to, jak by měly být případy zlikvidovány, se liší.^[15][16][17]

v deontická logika, některé příklady podmíněné povinnosti také zvyšují možnost selhání modus ponens. Jedná se o případy, kdy podmíněný předpoklad popisuje povinnost vycházející z nemorálního nebo nerozvážného jednání, např. „Pokud Doe zavraždí svou matku, měl by tak učinit jemně“, pro který by pochybný bezpodmínečný závěr zněl „Doe by měl jemně zavraždit matka."^[18] Zdálo by se, že z toho vyplývá, že pokud Doe ve skutečnosti jemně vraždí svou matku, pak pomocí modus ponens dělá přesně to, co by bezpodmínečně měl dělat. I zde není modus ponens selhání populární diagnózou, ale někdy se o ni argumentuje.^[19]

Možné omyly

Klam potvrzující důsledky je běžná nesprávná interpretace modus ponens.^[20]

Viz také

• Zhuštěné oddělení
• Latinské fráze
• Modus tollens - Pravidlo logické inference
• Modus vivendi - Ujednání, které umožňuje konfliktním stranám koexistovat v míru
• Stoická logika - Systém výrokové logiky vyvinutý stoickými filozofy
• "Co želva řekla Achillesovi - Alegorický dialog od Lewise Carrolla “

Reference

Zdroje

• Herbert B.Enderton, 2001, Matematický úvod do logického druhého vydáníHarcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN  978-0-12-238452-3.
• Audun Jøsang, 2016, Subjektivní logika; Formalismus pro uvažování pod nejistotou Springer, Cham, ISBN  978-3-319-42337-1
• Alfred North Whitehead a Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica do * 56 (druhé vydání) brožované vydání 1962, Cambridge, University Press, London UK. Žádné ISBN, žádné LCCCN.
• Alfred Tarski 1946 Úvod do logiky a metodologie dedukčních věd 2. vydání, dotisk Dover Publications, Mineola NY. ISBN  0-486-28462-X (pbk).

externí odkazy

• "Modus ponens", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Modus ponens na PhilPapers
• Modus ponens ve Wolfram MathWorld