Modus ponens - Modus ponens
Pravidla transformace |
---|
Výrokový počet |
Pravidla odvození |
Pravidla výměny |
Predikátová logika |
v výroková logika, modus ponens (/ˈmoʊdəsˈpoʊnɛnz/; MP), také známý jako modus ponendo ponens (latinský pro „režim, který potvrzuje potvrzení“)[1] nebo eliminace implikací nebo potvrzující předchůdce[2], je deduktivní forma argumentu a pravidlo závěru.[3] Lze to shrnout jako „P naznačuje Otázka P je pravda. Proto Q musí to být také pravda. “
Modus ponens úzce souvisí s jiným platný forma argumentu, modus tollens. Oba mají zjevně podobné, ale neplatné formy, jako je potvrzující důsledky, popření předchůdce, a důkaz nepřítomnosti. Konstruktivní dilema je disjunktivní verze modus ponens. Hypotetický úsudek úzce souvisí s modus ponens a někdy se o něm uvažuje jako o „dvojnásobku modus ponens."
Historie modus ponens jde zpět do starověk.[4] První, kdo explicitně popisuje formu argumentu modus ponens byl Theophrastus.[5] To, spolu s modus tollens, je jedním ze standardních vzorů závěrů, které lze použít k odvození řetězců závěrů, které vedou k požadovanému cíli.
Vysvětlení
Forma a modus ponens argument se podobá a sylogismus, se dvěma předpoklady a závěrem:
- Li P, pak Q.
- P.
- Proto, Q.
První premisa je a podmiňovací způsob („if – then“), konkrétně to P naznačuje Q. Druhým předpokladem je tvrzení, že P, předchůdce podmíněného nároku. Z těchto dvou prostor lze logicky usoudit, že Q, následný podmíněného nároku.
Příklad argumentu, který odpovídá formě modus ponens:
- Pokud je dnes úterý, pak John půjde do práce.
- Dnes je úterý.
- Proto John půjde do práce.
Tento argument je platný, ale to nemá žádný vliv na to, zda některá z tvrzení v argumentu skutečně jsou skutečný; pro modus ponens být a zvuk argument musí být premisa pravdivá pro všechny skutečné instance závěru. An argument může být platný, ale přesto nezdravý, pokud je jeden nebo více předpokladů nepravdivých; pokud je argument platný a všechny předpoklady jsou pravdivé, pak je argument správný. Například John možná půjde ve středu do práce. V tomto případě je důvod, proč John bude fungovat (protože je středa), nesprávný. Argument je znějící pouze v úterý (když John chodí do práce), ale platí každý den v týdnu. A propoziční použití argumentu modus ponens se říká, že je deduktivní.
V jednom závěru následující kalkul, modus ponens je Cut pravidlo. The věta o eliminaci řezu pro kalkul říká, že každý důkaz zahrnující Cut může být transformován (obecně konstruktivní metodou) na důkaz bez Cut, a proto je Cut přípustný.
The Curry – Howardova korespondence mezi důkazy a programy souvisí modus ponens na funkční aplikace: pokud F je funkce typu P → Q a X je typu P, pak f x je typu Q.
v umělá inteligence, modus ponens se často nazývá dopředu řetězení.
Formální notace
The modus ponens pravidlo může být napsáno v následující zápis jako
kde P, Q a P → Q jsou prohlášení (nebo návrhy) ve formálním jazyce a ⊢ je metalogické to znamená symbol Q je syntaktický důsledek z P a P → Q v některých logický systém.
Odůvodnění pomocí tabulky pravdivosti
Platnost modus ponens v klasické dvouhodnotové logice lze jasně demonstrovat pomocí a pravdivostní tabulka.
p | q | p → q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
V případech modus ponens předpokládáme to jako premisu p → q je pravda a p je pravda. Pouze jeden řádek tabulky pravdy - první - splňuje tyto dvě podmínky (p a p → q). Na tomto řádku q je také pravda. Proto kdykoli p → q je pravda a p je pravda, q musí být také pravda.
Postavení
Zatímco modus ponens je jedním z nejčastěji používaných formy argumentů logicky se nesmí zaměňovat za logický zákon; je to spíše jeden z přijatých mechanismů pro konstrukci deduktivních důkazů, který zahrnuje „pravidlo definice“ a „pravidlo náhrady“.[6] Modus ponens umožňuje eliminovat a podmíněné prohlášení od a logický důkaz nebo argument (předchůdci), a tím nepřenášet tyto předchůdce vpřed ve stále se prodlužujícím řetězci symbolů; z tohoto důvodu se modus ponens někdy nazývá pravidlo odloučení[7] nebo zákon o oddělení.[8] Enderton například poznamenává, že „modus ponens může vyrábět kratší vzorce z delších“,[9] a Russell podotýká, že „proces závěru nelze redukovat na symboly. Jeho jediným záznamem je výskyt [q [důsledek] ... závěrem je upuštění od skutečné premisy; je to rozpuštění implikace“ .[10]
Odůvodnění „důvěry v závěry je přesvědčení, že pokud se obě dřívější tvrzení [předchůdci] nemýlí, konečné tvrzení [následek] se mýlí“.[10] Jinými slovy: pokud jeden prohlášení nebo tvrzení naznačuje druhý a první výrok nebo tvrzení je pravdivé, pak platí i druhý. Li P naznačuje Q a P je tedy pravda Q je pravda.[11]
Korespondence s jinými matematickými rámci
Počet pravděpodobnosti
Modus ponens představuje instanci Zákon celkové pravděpodobnosti který je pro binární proměnnou vyjádřen jako:
,
kde např. označuje pravděpodobnost a podmíněná pravděpodobnost zevšeobecňuje logickou implikaci . Předpokládat, že je ekvivalentní k být PRAVDA, a to je ekvivalentní k být FALSE. To je pak snadno vidět když a . Proto je zákon celkové pravděpodobnosti představuje zobecnění modus ponens.[12]
Subjektivní logika
Modus ponens představuje instanci binomického operátoru odpočtu v subjektivní logika vyjádřeno jako:
,
kde označuje subjektivní názor na jak je vyjádřeno zdrojem a podmíněné stanovisko zevšeobecňuje logickou implikaci . Odvozený okrajový názor na je označen . Případ kde je absolutní SKUTEČNÝ názor na je ekvivalentní zdroji říkat to je PRAVDA a případ, kdy je absolutní NEPRAVDA názor na je ekvivalentní zdroji říkat to je FALSE. Operátor odpočtu z subjektivní logika vytváří absolutní SKUTEČNĚ odvozený názor když podmíněný názor je absolutní PRAVDA a předchozí názor je absolutní PRAVDA. Subjektivní logická dedukce tedy představuje zobecnění obou modus ponens a Zákon celkové pravděpodobnosti.[13]
Údajné případy selhání
Filozof a logik Vann McGee to argumentoval modus ponens může selhat, když je následkem sama podmíněná věta.[14] Zde je příklad:
- Buď Shakespeare nebo Hobbes napsal Osada.
- Kdyby psali Shakespeare nebo Hobbes Osadapak, pokud to Shakespeare neudělal, udělal Hobbes.
- Pokud tedy Shakespeare nenapsal Osada, Udělal to Hobbes.
První premisa se zdá být dostatečně rozumná, protože Shakespeare je obecně připisován psaní Osada. Druhá premisa se také zdá být rozumná, protože s množinou Osada'Možní autoři omezeni pouze na Shakespeara a Hobbese, eliminace jednoho ponechává pouze druhého. Ale závěr, zvažovaný sám as možnými autory ne omezeno pouze na Shakespeara a Hobbese, je pochybné, protože pokud je Shakespeare vyloučen jako OsadaAutor, existuje mnohem pravděpodobnější alternativa než Hobbes.
Obecná forma protipříkladů typu McGee modus ponens je prostě , proto ; to není podstatné být disjunkcí, jako v uvedeném příkladu. Že tyto druhy případů představují selhání modus ponens zůstává logickým názorem menšiny, ale názory na to, jak by měly být případy zlikvidovány, se liší.[15][16][17]
v deontická logika, některé příklady podmíněné povinnosti také zvyšují možnost selhání modus ponens. Jedná se o případy, kdy podmíněný předpoklad popisuje povinnost vycházející z nemorálního nebo nerozvážného jednání, např. „Pokud Doe zavraždí svou matku, měl by tak učinit jemně“, pro který by pochybný bezpodmínečný závěr zněl „Doe by měl jemně zavraždit matka."[18] Zdálo by se, že z toho vyplývá, že pokud Doe ve skutečnosti jemně vraždí svou matku, pak pomocí modus ponens dělá přesně to, co by bezpodmínečně měl dělat. I zde není modus ponens selhání populární diagnózou, ale někdy se o ni argumentuje.[19]
Možné omyly
Klam potvrzující důsledky je běžná nesprávná interpretace modus ponens.[20]
Viz také
- Zhuštěné oddělení
- Latinské fráze
- Modus tollens - Pravidlo logické inference
- Modus vivendi - Ujednání, které umožňuje konfliktním stranám koexistovat v míru
- Stoická logika - Systém výrokové logiky vyvinutý stoickými filozofy
- "Co želva řekla Achillesovi - Alegorický dialog od Lewise Carrolla “
Reference
- ^ Kámen, Jon R. (1996). Latina pro Illiterati: Exorcizing Ghosts of a Dead Language. London: Routledge. p.60. ISBN 0-415-91775-1.
- ^ „Oxfordský odkaz: potvrzení předchůdce“. Oxfordská reference.
- ^ Enderton 2001: 110
- ^ Susanne Bobzien (2002). "Vývoj Modus Ponens ve starověku", Phronesis 47, č. 4, 2002.
- ^ "Ancient Logic: Předchůdci Modus Ponens a Modus Tollens". Stanfordská encyklopedie filozofie.
- ^ Alfred Tarski 1946: 47. Také Enderton 2001: 110ff.
- ^ Tarski 1946: 47
- ^ „Modus ponens - encyklopedie matematiky“. encyclopediaofmath.org. Citováno 5. dubna 2018.
- ^ Enderton 2001: 111
- ^ A b Whitehead a Russell 1927: 9
- ^ Jago, Mark (2007). Formální logika. Humanitní e-knihy LLP. ISBN 978-1-84760-041-7. Externí odkaz v
| vydavatel =
(Pomoc) - ^ Audun Jøsang 2016: 2
- ^ Audun Jøsang 2016: 92
- ^ Vann McGee (1985). "Protiklad k Modus Ponens", The Journal of Philosophy 82, 462–471.
- ^ Sinnott-Armstrong, Moor a Fogelin (1986). "Obrana Modus Ponens", The Journal of Philosophy 83, 296–300.
- ^ D. E. Over (1987). "Předpoklad a předpokládané protiklady Modus Ponens", Analýza 47, 142–146.
- ^ Bledin (2015). "Modus Ponens Defended", The Journal of Philosophy 112, 462–471.
- ^ „Deontic Logic“. 21. dubna 2010. Citováno 30. ledna 2020. Stanfordská encyklopedie filozofie.
- ^ Např., Kolodny a MacFarlane (2010). "Ifs and Oughts", The Journal of Philosophy 107, 115–143.
- ^ „Klam | Internetová encyklopedie filozofie“. tjp.utm.edu. Citováno 6. března 2020.
Zdroje
- Herbert B.Enderton, 2001, Matematický úvod do logického druhého vydáníHarcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3.
- Audun Jøsang, 2016, Subjektivní logika; Formalismus pro uvažování pod nejistotou Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1
- Alfred North Whitehead a Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica do * 56 (druhé vydání) brožované vydání 1962, Cambridge, University Press, London UK. Žádné ISBN, žádné LCCCN.
- Alfred Tarski 1946 Úvod do logiky a metodologie dedukčních věd 2. vydání, dotisk Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk).
externí odkazy
- "Modus ponens", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Modus ponens na PhilPapers
- Modus ponens ve Wolfram MathWorld