Modus tollens - Modus tollens
Pravidla transformace |
---|
Výrokový počet |
Pravidla odvození |
Pravidla výměny |
Predikátová logika |
v výroková logika, modus tollens (/ˈmoʊdəsˈtɒlɛnz/) (MT), také známý jako modus tollendo tollens (latinský pro „režim, který popřením popírá“)[1] a popření následku,[2] je deduktivní forma argumentu a a pravidlo závěru. Modus tollens má formu „Pokud P, pak Q. Ne Q. Proto ne P.“ Aplikace obecné pravdy spočívá v tom, že pokud je tvrzení pravdivé, pak platí i jeho kontrapozitivní. To ukazuje formulář odvození z P znamená Q na negace Q znamená negaci P je platný argument.
Historie pravidla odvození modus tollens sahá do starověku.[3] První, kdo explicitně popisuje formu argumentu modus tollens byl Theophrastus.[4]
Modus tollens úzce souvisí s modus ponens. Existují dva podobné, ale neplatné, formy argumentů: potvrzující důsledky a popření předchůdce. Viz také kontrapozice a důkaz kontrapozitivní.
Vysvětlení
Forma a modus tollens argument se podobá a sylogismus, se dvěma předpoklady a závěrem:
- Li P, pak Q.
- Ne Q.
- Proto ne P.
První premisa je a podmiňovací způsob („pokud-pak“) nárok, například P naznačuje Q. Druhým předpokladem je tvrzení, že Q, následný podmíněného nároku, tomu tak není. Z těchto dvou prostor lze logicky usoudit, že P, předchůdce podmíněného nároku také neplatí.
Například:
- Pokud pes detekuje vetřelce, bude štěkat.
- Pes neštěkal.
- Pes proto nezjistil žádného vetřelce.
Za předpokladu, že jsou obě podmínky pravdivé (pes bude štěkat, pokud detekuje vetřelce, a skutečně neštěká), vyplývá z toho, že nebyl zjištěn žádný vetřelec. Toto je platný argument, protože není možné, aby byl závěr nepravdivý, pokud jsou předpoklady pravdivé. (Je myslitelné, že mohl existovat vetřelec, kterého pes nezjistil, ale to nezpochybňuje argument; první premisa je „pokud pes detekuje důležité je, že pes detekuje nebo nedetekuje vetřelce, ne to, zda existuje.)
Další příklad:
- Pokud jsem vrah sekery, mohu použít sekeru.
- Nemůžu použít sekeru.
- Proto nejsem vrah sekery.
Další příklad:
- Pokud je Rex kuře, pak je to pták.
- Rex není pták.
- Rex proto není kuře
Vztah k modus ponens
Každé použití modus tollens lze převést na použití modus ponens a jedno použití transpozice na premisu, která je hmotnou implikací. Například:
- Li P, pak Q. (premisa - materiální implikace)
- Pokud ne Qpak ne P. (odvozeno transpozicí)
- Ne Q . (předpoklad)
- Proto ne P. (odvozeno od modus ponens)
Stejně tak každé použití modus ponens lze převést na použití modus tollens a provedení.
Formální notace
The modus tollens pravidlo lze formálně stanovit jako:
kde znamená výraz „P znamená Q“. znamená „to není případ Q“ (nebo ve zkratce „ne Q“). Pak, kdykoli "" a ""každý se jeví jako čára a důkaz, pak ""lze platně umístit na následující řádek.
The modus tollens pravidlo může být napsáno v následující notace:
kde je metalogické to znamená symbol je syntaktický důsledek z a v některých logický systém;
nebo jako prohlášení funkcionálu tautologie nebo teorém výrokové logiky:
kde a jsou návrhy vyjádřené v některých formální systém;
nebo včetně předpokladů:
ačkoli toto pravidlo nemění soubor předpokladů, není to nezbytně nutné.
Složitější přepisování zahrnuje modus tollens jsou často vidět, například v teorie množin:
(„P je podmnožinou Q. x není v Q. Proto x není v P.“)
Také v prvním pořadí predikátová logika:
(„Pro všechna x, pokud x je P, pak x je Q. y není Q. Proto y není P.“)
Přísně vzato to nejsou případy modus tollens, ale mohou být odvozeny od modus tollens pomocí několika dalších kroků.
Odůvodnění pomocí tabulky pravdivosti
Platnost modus tollens lze jasně prokázat pomocí a pravdivostní tabulka.
p | q | p → q |
---|---|---|
T | T | T |
T | F | F |
F | T | T |
F | F | T |
V případech modus tollens předpokládáme jako premisu, že p → q je pravda a q je nepravda. Existuje pouze jeden řádek tabulky pravdy - čtvrtý řádek - který splňuje tyto dvě podmínky. V tomto řádku je p nepravdivé. Proto v každém případě, kde p → q je pravda a q je nepravda, p musí být také nepravdivé.
Formální důkaz
Přes disjunktivní úsudek
Krok | Tvrzení | Derivace |
---|---|---|
1 | Dáno | |
2 | Dáno | |
3 | Materiální implikace (1) | |
4 | Disjunktivní úsudek (2,3) |
Přes reductio ad absurdum
Krok | Tvrzení | Derivace |
---|---|---|
1 | Dáno | |
2 | Dáno | |
3 | Předpoklad | |
4 | Modus ponens (1,3) | |
5 | Úvod do spojení (2,4) | |
6 | Reductio ad absurdum (3,5) | |
7 | Podmíněné představení (2,6) |
Prostřednictvím kontrapozice
Krok | Tvrzení | Derivace |
---|---|---|
1 | Dáno | |
2 | Dáno | |
3 | Kontrapozice (1) | |
4 | Modus ponens (2,3) |
Korespondence s jinými matematickými rámci
Počet pravděpodobnosti
Modus tollens představuje instanci zákon celkové pravděpodobnosti zkombinováno s Bayesova věta vyjádřeno jako:
,
kde jsou podmíněné a jsou získány s (rozšířená forma) Bayesova věta vyjádřeno jako:
a .
Ve výše uvedených rovnicích označuje pravděpodobnost , a označuje základní sazba (aka. předchozí pravděpodobnost ) z . The podmíněná pravděpodobnost zobecňuje logické tvrzení , tj. kromě přiřazení PRAVDA nebo NEPRAVDA můžeme výkazu přiřadit i jakoukoli pravděpodobnost. Předpokládat, že je ekvivalentní k být PRAVDA, a to je ekvivalentní k být FALSE. To je pak snadno vidět když a . To je proto, že aby v poslední rovnici. Proto mají součinové výrazy v první rovnici vždy nulový faktor což odpovídá být FALSE. Proto je zákon celkové pravděpodobnosti zkombinováno s Bayesova věta představuje zobecnění modus tollens.[5]
Subjektivní logika
Modus tollens představuje instanci operátora únosu v subjektivní logika vyjádřeno jako:
,
kde označuje subjektivní názor na , a označuje dvojici binomických podmíněných názorů vyjádřených zdrojem . Parametr označuje základní sazba (aka předchozí pravděpodobnost ) z . Unesený okrajový názor na je označen . Podmíněné stanovisko zobecňuje logické tvrzení , tj. kromě přiřazení zdroje PRAVDA nebo NEPRAVDA může k prohlášení přiřadit jakýkoli subjektivní názor. Případ kde je absolutní SKUTEČNÝ názor je ekvivalentní zdroji říkat to je PRAVDA a případ, kdy je absolutní NEPRAVDA názor je ekvivalentní zdroji říkat to je FALSE. Operátor únosu z subjektivní logika vytváří absolutní NEPRAVDA unesený názor když podmíněný názor je absolutní PRAVDA a následný názor je absolutní NEPRAVDA. Subjektivní logická únos tedy představuje zobecnění obou modus tollens a Zákon celkové pravděpodobnosti zkombinováno s Bayesova věta.[6]
Viz také
- Důkazy o nepřítomnosti
- Latinské fráze
- Modus operandi - Pracovní návyky
- Modus ponens - Pravidlo logické inference
- Modus vivendi - Ujednání, které umožňuje konfliktním stranám koexistovat v míru
- Nenásledují
- Důkaz rozporem
- Důkaz kontrapozitivním
- Stoická logika - Systém výrokové logiky vyvinutý stoickými filozofy
Poznámky
- ^ Kámen, Jon R. (1996). Latina pro Illiterati: Exorcizing Ghosts of a Dead Language. London: Routledge. p.60. ISBN 978-0-415-91775-9.
- ^ Sanford, David Hawley (2003). If P, Then Q: Podmíněné podmínky a základy uvažování (2. vyd.). London: Routledge. p. 39. ISBN 978-0-415-28368-7.
[Modus] tollens je vždy zkratka pro modus tollendo tollens, náladu, kterou popřením popírá.
- ^ Susanne Bobzien (2002). „Vývoj Modus Ponens ve starověku“, Phronesis 47.
- ^ "Ancient Logic: Předchůdci Modus Ponens a Modus Tollens". Stanfordská encyklopedie filozofie.
- ^ Audun Jøsang 2016: str.2
- ^ Audun Jøsang 2016: str.92
Zdroje
- Audun Jøsang, 2016, Subjektivní logika; Formalismus pro uvažování pod nejistotou Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1
externí odkazy
- Modus Tollens ve Wolfram MathWorld