Modus tollens - Modus tollens

v výroková logika, modus tollens (/ˈmoʊdəsˈtɒlɛnz/) (MT), také známý jako modus tollendo tollens (latinský pro „režim, který popřením popírá“)^[1] a popření následku,^[2] je deduktivní forma argumentu a a pravidlo závěru. Modus tollens má formu „Pokud P, pak Q. Ne Q. Proto ne P.“ Aplikace obecné pravdy spočívá v tom, že pokud je tvrzení pravdivé, pak platí i jeho kontrapozitivní. To ukazuje formulář odvození z P znamená Q na negace Q znamená negaci P je platný argument.

Historie pravidla odvození modus tollens sahá do starověku.^[3] První, kdo explicitně popisuje formu argumentu modus tollens byl Theophrastus.^[4]

Modus tollens úzce souvisí s modus ponens. Existují dva podobné, ale neplatné, formy argumentů: potvrzující důsledky a popření předchůdce. Viz také kontrapozice a důkaz kontrapozitivní.

Vysvětlení

Forma a modus tollens argument se podobá a sylogismus, se dvěma předpoklady a závěrem:

Li P, pak Q.

Ne Q.

Proto ne P.

První premisa je a podmiňovací způsob („pokud-pak“) nárok, například P naznačuje Q. Druhým předpokladem je tvrzení, že Q, následný podmíněného nároku, tomu tak není. Z těchto dvou prostor lze logicky usoudit, že P, předchůdce podmíněného nároku také neplatí.

Například:

Pokud pes detekuje vetřelce, bude štěkat.

Pes neštěkal.

Pes proto nezjistil žádného vetřelce.

Za předpokladu, že jsou obě podmínky pravdivé (pes bude štěkat, pokud detekuje vetřelce, a skutečně neštěká), vyplývá z toho, že nebyl zjištěn žádný vetřelec. Toto je platný argument, protože není možné, aby byl závěr nepravdivý, pokud jsou předpoklady pravdivé. (Je myslitelné, že mohl existovat vetřelec, kterého pes nezjistil, ale to nezpochybňuje argument; první premisa je „pokud pes detekuje důležité je, že pes detekuje nebo nedetekuje vetřelce, ne to, zda existuje.)

Další příklad:

Pokud jsem vrah sekery, mohu použít sekeru.

Nemůžu použít sekeru.

Proto nejsem vrah sekery.

Další příklad:

Pokud je Rex kuře, pak je to pták.

Rex není pták.

Rex proto není kuře

Vztah k modus ponens

Každé použití modus tollens lze převést na použití modus ponens a jedno použití transpozice na premisu, která je hmotnou implikací. Například:

Li P, pak Q. (premisa - materiální implikace)

Pokud ne Qpak ne P. (odvozeno transpozicí)

Ne Q . (předpoklad)

Proto ne P. (odvozeno od modus ponens)

Stejně tak každé použití modus ponens lze převést na použití modus tollens a provedení.

Formální notace

The modus tollens pravidlo lze formálně stanovit jako:

{displaystyle {frac {P o Q, např. Q} {zde např. P}}}

kde ${displaystyle P o Q}$ znamená výraz „P znamená Q“. ${displaystyle eg Q}$ znamená „to není případ Q“ (nebo ve zkratce „ne Q“). Pak, kdykoli " ${displaystyle P o Q}$ " a " ${displaystyle eg Q}$ "každý se jeví jako čára a důkaz, pak " ${displaystyle eg P}$ "lze platně umístit na následující řádek.

The modus tollens pravidlo může být napsáno v následující notace:

{displaystyle P o Q, např. Qvdash např. P}

kde ${displaystyle vdash}$ je metalogické to znamená symbol ${displaystyle eg P}$ je syntaktický důsledek z ${displaystyle P o Q}$ a ${displaystyle eg Q}$ v některých logický systém;

nebo jako prohlášení funkcionálu tautologie nebo teorém výrokové logiky:

{displaystyle ((P o Q) země např. Q) o např. P}

kde ${displaystyle P}$ a ${displaystyle Q}$ jsou návrhy vyjádřené v některých formální systém;

nebo včetně předpokladů:

{displaystyle {frac {Gamma vdash P o Q ~~~ Gamma vdash např. Q} {Gamma vdash např. P}}}

ačkoli toto pravidlo nemění soubor předpokladů, není to nezbytně nutné.

Složitější přepisování zahrnuje modus tollens jsou často vidět, například v teorie množin:

{displaystyle Psubseteq Q}

{displaystyle xotin Q}

{displaystyle here xotin P}

(„P je podmnožinou Q. x není v Q. Proto x není v P.“)

Také v prvním pořadí predikátová logika:

{displaystyle forall x: ~ P (x) o Q (x)}

{displaystyle eg Q (y)}

{zde zobrazený styl ~ např. P (y)}

(„Pro všechna x, pokud x je P, pak x je Q. y není Q. Proto y není P.“)

Přísně vzato to nejsou případy modus tollens, ale mohou být odvozeny od modus tollens pomocí několika dalších kroků.

Odůvodnění pomocí tabulky pravdivosti

Platnost modus tollens lze jasně prokázat pomocí a pravdivostní tabulka.

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

V případech modus tollens předpokládáme jako premisu, že p → q je pravda a q je nepravda. Existuje pouze jeden řádek tabulky pravdy - čtvrtý řádek - který splňuje tyto dvě podmínky. V tomto řádku je p nepravdivé. Proto v každém případě, kde p → q je pravda a q je nepravda, p musí být také nepravdivé.

Formální důkaz

Přes disjunktivní úsudek


Krok	Tvrzení	Derivace
1	${displaystyle Pightarrow Q}$	Dáno
2	${displaystyle eg Q}$	Dáno
3	${displaystyle eg Plor Q}$	Materiální implikace (1)
4	${displaystyle eg P}$	Disjunktivní úsudek (2,3)

Přes reductio ad absurdum


Krok	Tvrzení	Derivace
1	${displaystyle Pightarrow Q}$	Dáno
2	${displaystyle eg Q}$	Dáno
3	${displaystyle P}$	Předpoklad
4	${displaystyle Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${displaystyle Qland např. Q}$	Úvod do spojení (2,4)
6	${displaystyle eg P}$	Reductio ad absurdum (3,5)
7	${displaystyle eg Qightarrow např. P}$	Podmíněné představení (2,6)

Prostřednictvím kontrapozice


Krok	Tvrzení	Derivace
1	${displaystyle Pightarrow Q}$	Dáno
2	${displaystyle např. Q}$	Dáno
3	${displaystyle eg Qightarrow např. P}$	Kontrapozice (1)
4	${displaystyle eg P}$	Modus ponens (2,3)

Korespondence s jinými matematickými rámci

Počet pravděpodobnosti

Modus tollens představuje instanci zákon celkové pravděpodobnosti zkombinováno s Bayesova věta vyjádřeno jako:

${displaystyle Pr (P) = Pr (Pmid Q) Pr (Q) + Pr (Pmid lnot Q) Pr (lnot Q),}$ ,

kde jsou podmíněné ${displaystyle Pr (Pmid Q)}$ a ${displaystyle Pr (Pmid lnot Q)}$ jsou získány s (rozšířená forma) Bayesova věta vyjádřeno jako:

${displaystyle Pr (Pmid Q) = {frac {Pr (Qmid P), a (P)} {Pr (Qmid P), a (P) + Pr (Qmid lnot P), a (lnot P)}} ;; ;}$ a ${displaystyle ;;; Pr (Pmid lnot Q) = {frac {Pr (lnot Qmid P), a (P)} {Pr (lnot Qmid P), a (P) + Pr (lnot Qmid lnot P), a ( ne P)}}}$ .

Ve výše uvedených rovnicích ${displaystyle Pr (Q)}$ označuje pravděpodobnost ${displaystyle Q}$ , a ${displaystyle a (P)}$ označuje základní sazba (aka. předchozí pravděpodobnost ) z ${displaystyle P}$ . The podmíněná pravděpodobnost ${displaystyle Pr (Qmid P)}$ zobecňuje logické tvrzení ${displaystyle P o Q}$ , tj. kromě přiřazení PRAVDA nebo NEPRAVDA můžeme výkazu přiřadit i jakoukoli pravděpodobnost. Předpokládat, že ${displaystyle Pr (Q) = 1}$ je ekvivalentní k ${displaystyle Q}$ být PRAVDA, a to ${displaystyle Pr (Q) = 0}$ je ekvivalentní k ${displaystyle Q}$ být FALSE. To je pak snadno vidět ${displaystyle Pr (P) = 0}$ když ${displaystyle Pr (Qmid P) = 1}$ a ${displaystyle Pr (Q) = 0}$ . To je proto, že ${displaystyle Pr (lnot Qmid P) = 1-Pr (Qmid P) = 0}$ aby ${displaystyle Pr (Pmid lnot Q) = 0}$ v poslední rovnici. Proto mají součinové výrazy v první rovnici vždy nulový faktor ${displaystyle Pr (P) = 0}$ což odpovídá ${displaystyle P}$ být FALSE. Proto je zákon celkové pravděpodobnosti zkombinováno s Bayesova věta představuje zobecnění modus tollens.^[5]

Subjektivní logika

Modus tollens představuje instanci operátora únosu v subjektivní logika vyjádřeno jako:

${displaystyle omega _ {P {ilde {|}} Q} ^ {A} = (omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A}) {widetilde {circledcirc} } (a_ {P} ,, omega _ {Q} ^ {A}),}$ ,

kde ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ označuje subjektivní názor na ${displaystyle Q}$ , a ${displaystyle (omega _ {Q | P} ^ {A}, omega _ {Q | lnot P} ^ {A})}$ označuje dvojici binomických podmíněných názorů vyjádřených zdrojem ${displaystyle A}$ . Parametr ${displaystyle a_ {P}}$ označuje základní sazba (aka předchozí pravděpodobnost ) z ${displaystyle P}$ . Unesený okrajový názor na ${displaystyle P}$ je označen ${displaystyle omega _ {P {ilde {|}} Q} ^ {A}}$ . Podmíněné stanovisko ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ zobecňuje logické tvrzení ${displaystyle P o Q}$ , tj. kromě přiřazení zdroje PRAVDA nebo NEPRAVDA ${displaystyle A}$ může k prohlášení přiřadit jakýkoli subjektivní názor. Případ kde ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ je absolutní SKUTEČNÝ názor je ekvivalentní zdroji ${displaystyle A}$ říkat to ${displaystyle Q}$ je PRAVDA a případ, kdy ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ je absolutní NEPRAVDA názor je ekvivalentní zdroji ${displaystyle A}$ říkat to ${displaystyle Q}$ je FALSE. Operátor únosu ${displaystyle {widetilde {circledcirc}}}$ z subjektivní logika vytváří absolutní NEPRAVDA unesený názor ${displaystyle omega _ {P {widetilde {|}} Q} ^ {A}}$ když podmíněný názor ${displaystyle omega _ {Q | P} ^ {A}}$ je absolutní PRAVDA a následný názor ${displaystyle omega _ {Q} ^ {A}}$ je absolutní NEPRAVDA. Subjektivní logická únos tedy představuje zobecnění obou modus tollens a Zákon celkové pravděpodobnosti zkombinováno s Bayesova věta.^[6]