Pravděpodobnost dojíždění - Commuting probability - Wikipedia

V matematice a přesněji v teorie skupin, pravděpodobnost dojíždění (také zvaný stupeň komutativity nebo stupeň komutativity) a konečná skupina je pravděpodobnost že dva náhodně vybrané prvky dojíždět.^[1][2] Může být použit k měření, jak blízko abelian konečná skupina je. Lze jej zobecnit na nekonečné skupiny vybavené vhodným míra pravděpodobnosti,^[3] a lze je také zobecnit na jiné algebraické struktury jako prsteny.^[4]

Definice

Nechat ${ displaystyle G}$ být konečná skupina. Definujeme ${ displaystyle p (G)}$ jako průměrný počet párů prvků ${ displaystyle G}$ které dojíždějí:

${ displaystyle p (G): = { frac {1} { # G ^ {2}}} # vlevo {(x, y) v G ^ {2} dvojtečce xy = yx vpravo }.}$

Pokud se vezme v úvahu rovnoměrné rozdělení na ${ displaystyle G ^ {2}}$, ${ displaystyle p (G)}$ je pravděpodobnost, že dva náhodně vybrané prvky ${ displaystyle G}$ dojíždět. To je proč ${ displaystyle p (G)}$ se nazývá pravděpodobnost dojíždění z ${ displaystyle G}$.

Výsledek

• Konečná skupina ${ displaystyle G}$ je abelian právě tehdy ${ displaystyle p (G) = 1}$.
• Jeden má

${ displaystyle p (G) = { frac {k (G)} { # G}}}$

kde ${ displaystyle k (G)}$ je počet třídy konjugace z ${ displaystyle G}$.

• Li ${ displaystyle G}$ tedy není abelian ${ displaystyle p (G) leq 5/8}$ (tento výsledek se někdy nazývá věta 5/8^[5]) a tato horní hranice je ostrá: existuje nekonečno konečných skupin ${ displaystyle G}$ takhle ${ displaystyle p (G) = 5/8}$, nejmenší je dvojitá skupina řádu 8.
• Neexistuje jednotná spodní hranice ${ displaystyle p (G)}$. Ve skutečnosti pro každé kladné celé číslo ${ displaystyle n}$, existuje konečná skupina ${ displaystyle G}$ takhle ${ displaystyle p (G) = 1 / n}$.
• Li ${ displaystyle G}$ není abelian, ale jednoduchý, pak ${ displaystyle p (G) leq 1/12}$ (této horní hranice je dosaženo ${ displaystyle { mathfrak {A}} _ {5}}$, střídavá skupina stupně 5).

Zobecnění

• Pravděpodobnost dojíždění lze definovat pro ostatní algebraické struktury jako konečné kroužky.^[4]
• Pravděpodobnost dojíždění lze definovat pro nekonečno kompaktní skupiny; míra pravděpodobnosti je poté, po renormalizaci, Haarovo opatření.^[3]

Reference