Pravděpodobnost dojíždění - Commuting probability - Wikipedia
V matematice a přesněji v teorie skupin, pravděpodobnost dojíždění (také zvaný stupeň komutativity nebo stupeň komutativity) a konečná skupina je pravděpodobnost že dva náhodně vybrané prvky dojíždět.[1][2] Může být použit k měření, jak blízko abelian konečná skupina je. Lze jej zobecnit na nekonečné skupiny vybavené vhodným míra pravděpodobnosti,[3] a lze je také zobecnit na jiné algebraické struktury jako prsteny.[4]
Definice
Nechat být konečná skupina. Definujeme jako průměrný počet párů prvků které dojíždějí:
Pokud se vezme v úvahu rovnoměrné rozdělení na , je pravděpodobnost, že dva náhodně vybrané prvky dojíždět. To je proč se nazývá pravděpodobnost dojíždění z .
Výsledek
- Konečná skupina je abelian právě tehdy .
- Jeden má
- kde je počet třídy konjugace z .
- Li tedy není abelian (tento výsledek se někdy nazývá věta 5/8[5]) a tato horní hranice je ostrá: existuje nekonečno konečných skupin takhle , nejmenší je dvojitá skupina řádu 8.
- Neexistuje jednotná spodní hranice . Ve skutečnosti pro každé kladné celé číslo , existuje konečná skupina takhle .
- Li není abelian, ale jednoduchý, pak (této horní hranice je dosaženo , střídavá skupina stupně 5).
Zobecnění
- Pravděpodobnost dojíždění lze definovat pro ostatní algebraické struktury jako konečné kroužky.[4]
- Pravděpodobnost dojíždění lze definovat pro nekonečno kompaktní skupiny; míra pravděpodobnosti je poté, po renormalizaci, Haarovo opatření.[3]
Reference
- ^ Gustafson, W. H. (1973). „Jaká je pravděpodobnost, že dojdou dva skupinové prvky?“. Americký matematický měsíčník. 80 (9): 1031–1034. doi:10.1080/00029890.1973.11993437.
- ^ Das, A. K .; Nath, R. K.; Pournaki, M. R. (2013). "Průzkum odhadu komutativity v konečných skupinách". Jihovýchodní Asie Bulletin matematiky. 37 (2): 161–180.
- ^ A b Hofmann, Karl H .; Russo, Francesco G. (2012). "Pravděpodobnost, že x a y dojíždí v kompaktní skupině". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 153 (3): 557–571. arXiv:1001.4856. doi:10.1017 / S0305004112000308.
- ^ A b Machale, Desmond (1976). "Komutativita v konečných kruzích". Americký matematický měsíčník. 83: 30–32. doi:10.1080/00029890.1976.11994032.
- ^ Baez, John C. (2018-09-16). „Věta 5/8“. Azimut.