Materiální implikace (pravidlo odvození) - Material implication (rule of inference)

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Prosince 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v výroková logika, materiální implikace^[1][2] je platný pravidlo nahrazení , který umožňuje a podmíněné prohlášení být nahrazen a disjunkce ve kterém předchůdce je negován. Toto pravidlo stanoví P znamená Q je logicky ekvivalentní na ne-P nebo Q a že kterákoli forma může nahradit druhou v logické důkazy.

${ displaystyle P to Q Leftrightarrow neg P lor Q}$

Kde "${ displaystyle Leftrightarrow}$" je metalogické symbol představující „lze v důkazu nahradit“, a P a Q jsou libovolné prohlášení.

Formální notace

The materiální implikace pravidlo může být napsáno v následující notace:

${ displaystyle (P až Q) vdash ( neg P lor Q)}$

kde ${ displaystyle vdash}$ je metalogický symbol, který to znamená ${ displaystyle ( neg P lor Q)}$ je syntaktický důsledek z ${ displaystyle (P až Q)}$ v nějakém logickém systému;

nebo v forma pravidla:

${ displaystyle { frac {P to Q} { neg P lor Q}}}$

kde platí pravidlo, že kdekoli${ displaystyle P až Q}$„se objeví na řádku důkazu, lze jej nahradit“${ displaystyle neg P lor Q}$";

nebo jako prohlášení o pravdivosti tautologie nebo teorém výrokové logiky:

${ displaystyle (P až Q) až ( neg P lor Q)}$

kde ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q}$ jsou návrhy vyjádřené v některých formální systém.

Částečný důkaz

Předpokládejme, že nám to bylo dáno ${ displaystyle P až Q}$. Pak, protože máme ${ displaystyle neg P lor P}$ podle zákon vyloučeného prostředku, z toho vyplývá (argumentovat případy), že ${ displaystyle neg P lor Q}$.

Předpokládejme, že naopak máme ${ displaystyle neg P lor Q}$. Pak pokud ${ displaystyle P}$ je pravda, že vylučuje první disjunkt, takže máme ${ displaystyle Q}$. Ve zkratce, ${ displaystyle P až Q}$^[3]. Nicméně pokud ${ displaystyle P}$ je nepravdivé, pak toto přivolání selže, protože první disjunkt ${ displaystyle neg P}$ je pravda, což nezatěžuje druhý disjunkt ${ displaystyle Q}$. Z tohoto důvodu nelze nic říci ${ displaystyle P až Q}$. Stručně řečeno, ekvivalence v případě false ${ displaystyle P}$ je pouze konvenční, a proto je formální důkaz rovnocennosti pouze částečný.

To lze také vyjádřit pomocí a pravdivostní tabulka:

Příklad

Příkladem je:

Dostáváme podmíněnou skutečnost, že pokud je to medvěd, pak může plavat. Poté jsou všechny 4 možnosti v tabulce pravdy porovnány s touto skutečností.

1st: Pokud je to medvěd, pak může plavat - T

2.: Pokud je to medvěd, pak nemůže plavat - F

3.: Pokud to není medvěd, pak může plavat - T, protože to neodporuje naší původní skutečnosti.

4th: Pokud to není medvěd, pak nemůže plavat - T (jak je uvedeno výše)

Podmíněnou skutečnost lze tedy převést na ${ displaystyle neg P vee Q}$, což je „není to medvěd“ nebo „umí plavat“, kde ${ displaystyle P}$ je výrok „je to medvěd“ a ${ displaystyle Q}$ je výrok „umí plavat“.

Reference