Metalogic - Metalogic - Wikipedia

Metalogic je studium metateorie z logika. Zatímco logika studuje jak logické systémy lze použít ke konstrukci platný a zvuk argumenty, metalogické studie vlastností logických systémů.^[1] Logika se týká pravd, které lze odvodit pomocí logického systému; metalogický se týká pravd, které lze odvodit o the jazyky a systémy, které se používají k vyjadřování pravd.^[2]

Základními předměty metalogického studia jsou formální jazyky, formální systémy a jejich interpretace. Studium interpretace formálních systémů je obor matematická logika který je známý jako teorie modelů a studium deduktivní systémy je větev, která je známá jako teorie důkazů.

Přehled

Formální jazyk

A formální jazyk je organizovaná sada symboly, jejíž symboly přesně definují tvar a místo. Takový jazyk lze tedy definovat bez odkaz do významy jeho výrazů; může existovat dříve výklad je mu přiřazeno - tedy dříve, než má jakýkoli význam. Logika prvního řádu je vyjádřen v nějakém formálním jazyce. Formální gramatika určuje, které symboly a sady symbolů jsou vzorce ve formálním jazyce.

Formální jazyk lze formálně definovat jako množinu A řetězců (konečných sekvencí) na pevné abecedě α. Někteří autoři, včetně Rudolf Carnap, definujte jazyk jako uspořádaný pár <α, A>.^[3] Carnap také vyžaduje, aby se každý prvek α musel vyskytovat alespoň v jednom řetězci A.

Pravidla formace

Pravidla formace (také zvaný formální gramatika) jsou přesným popisem dobře formulované vzorce formálního jazyka. Jsou synonymem pro soubor z struny přes abeceda formálního jazyka, které tvoří dobře formulované vzorce. Nepopisuje však jejich sémantika (tj. co znamenají).

Formální systémy

A formální systém (také nazývaný a logický početnebo logický systém) se skládá z formálního jazyka společně s a deduktivní aparát (také nazývaný a deduktivní systém). Dedukční aparát může sestávat ze sady pravidla transformace (také zvaný odvozovací pravidla) nebo soubor axiomy, nebo mít obojí. Formální systém je zvyklý odvodit jeden výraz z jednoho nebo více dalších výrazů.

A formální systém lze formálně definovat jako uspořádané trojité <α, ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d>, kde ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d je vztah přímé derivovatelnosti. Tento vztah je chápán komplexně smysl tak, že primitivní věty formálního systému jsou brány jako přímo odvozitelné z prázdná sada vět. Přímá derivovatelnost je vztah mezi větou a konečnou, případně prázdnou množinou vět. Axiomy jsou vybrány tak, aby každý člen z prvního místa ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d je členem ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ a každý člen na druhém místě je konečnou podmnožinou ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ .

A formální systém lze také definovat pouze s relací ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d. Tím lze vynechat ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ a α v definicích tlumočený formální jazyk, a interpretovaný formální systém. Tuto metodu však může být obtížnější pochopit a použít.^[3]

Formální důkazy

A formální důkaz je posloupnost dobře formulovaných vzorců formálního jazyka, z nichž poslední je a teorém formálního systému. Věta je a syntaktický důsledek všech dobře formulovaných vzorců, které mu v systému kontroly předcházejí. Aby se dobře formulovaný vzorec kvalifikoval jako součást důkazu, musí to vyplývat z použití pravidla deduktivního aparátu nějakého formálního systému na předchozí dobře formulované vzorce v posloupnosti důkazů.

Výklady

An výklad formálního systému je přiřazení významů symbolům a pravdivostní hodnoty k větám formálního systému. Studium interpretací se nazývá Formální sémantika. Poskytnutí výkladu je synonymem pro budování a Modelka.

Důležité rozdíly

Jazyk metajazyka – objekt

V metalogice se někdy nazývají formální jazyky objektové jazyky. Jazyk používaný k vytváření prohlášení o jazyce objektu se nazývá a metajazyk. Tento rozdíl je klíčovým rozdílem mezi logikou a metalogikou. Zatímco se logika zabývá důkazy ve formálním systému, vyjádřený v nějakém formálním jazyce, metalogické zabývá doklady o formálním systému které jsou vyjádřeny v metajazyku o nějakém objektovém jazyce.

Syntax – sémantika

V metalogice „syntax“ souvisí s formálními jazyky nebo formálními systémy bez ohledu na jejich interpretaci, zatímco „sémantika“ má co do činění s interpretacemi formálních jazyků. Pojem „syntaktický“ má o něco širší rozsah než „teoretický důkaz“, protože jej lze použít na vlastnosti formálních jazyků bez jakýchkoli dedukčních systémů, stejně jako na formální systémy. „Sémantický“ je synonymem pro „model-teoretický“.

Použití - zmínka

V metalogii mají slova „použití“ a „zmínka“ v podstatném i slovesném tvaru technický význam, aby bylo možné identifikovat důležitý rozdíl.^[2] The použití - uveďte rozdíl (někdy označované jako rozdíl slov jako slov) je rozdíl mezi použitím slovo (nebo frázi) a za zmínku to. Obvykle je uvedeno, že výraz je zmíněn spíše než použit uzavřením do uvozovek, vytištěním kurzívou nebo nastavením samotného výrazu na řádek. Uzavření výrazu do uvozovek nám dává název výrazu, například:

„Metalogic“ je název tohoto článku.

Tento článek je o metalogice.

Typ - token

The rozlišení typu tokenu je rozdíl v metalogii, který odděluje abstraktní pojem od objektů, které jsou konkrétními instancemi tohoto pojmu. Například konkrétní kolo ve vaší garáži je symbolem typ věci známé jako „Kolo“. Zatímco kolo ve vaší garáži je v určitou dobu na určitém místě, neplatí to pro „kolo“, jak je použito ve větě: „Kolo se v poslední době stává populárnějším. “Toto rozlišení se používá k objasnění významu symboly z formální jazyky.

Dějiny

Metalogické otázky byly kladeny od doby Aristoteles.^[4]^[5]Vyšetřování základů logiky však začalo vzkvétat až s nástupem formálních jazyků na konci 19. a na počátku 20. století.^[4]^[6] V roce 1904 David Hilbert zjistil, že při vyšetřování základy matematiky že se předpokládají logické pojmy, a tedy simultánní popis metalogických a metamathematical byly vyžadovány zásady. Dnes jsou metalogická a metamatematika do značné míry synonyma a obě byly podstatně zahrnuty matematická logika na akademické půdě. Možný alternativní, méně matematický model lze nalézt ve spisech Charles Sanders Peirce a další semiotici.

Výsledek

Výsledky v metalogice se skládají z takových věcí jako formální důkazy předvádění konzistence, úplnost, a rozhodnutelnost zejména formální systémy.

Mezi hlavní výsledky v metalogii patří:

Důkaz o nepočítatelnosti množiny mocnin přirozených čísel (Cantorova věta 1891)
Löwenheim – Skolemova věta (Leopold Löwenheim 1915 a Thoralf Skolem 1919)
Důkaz konzistence pravdivosti a funkčnosti výroková logika (Emil Post 1920)
Důkaz sémantické úplnosti pravdově funkční výrokové logiky (Paul Bernays 1918),^[7] (Emil Post 1920)^[2]
Důkaz syntaktické úplnosti pravdově funkční výrokové logiky (Emil Post 1920)^[2]
Důkaz rozhodnutelnosti pravdivostně-funkční výrokové logiky (Emil Post 1920)^[2]
Důkaz o konzistenci první objednávky monadická predikátová logika (Leopold Löwenheim 1915)
Důkaz sémantické úplnosti monadické predikátové logiky prvního řádu (Leopold Löwenheim 1915)
Důkaz rozhodnutelnosti monadické predikátové logiky prvního řádu (Leopold Löwenheim 1915)
Důkaz o konzistenci predikátové logiky prvního řádu (David Hilbert a Wilhelm Ackermann 1928)
Důkaz sémantické úplnosti prvního řádu predikátová logika (Gödelova věta o úplnosti 1930)
Důkaz věta o eliminaci řezu pro následný počet (Gentzen Hauptsatz 1934)
Důkaz nerozhodnutelnosti predikátové logiky prvního řádu (Církevní věta 1936)
Gödelova první věta o neúplnosti 1931
Gödelova druhá věta o neúplnosti 1931
Tarskiho věta o nedefinovatelnosti (Gödel a Tarski ve 30. letech)

Viz také

Reference

^ Harry Gensler, Úvod do logiky, Routledge, 2001, s. 336.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Press, 1973
^ ^A ^b Rudolf Carnap (1958) Úvod do symbolické logiky a jejích aplikací, str. 102.
^ ^A ^b Logika, vysvětlitelnost a budoucnost porozumění. spisy.stephenwolfram.com.
^ Nový druh vědy [1]
^ Nový druh vědy [2]
^ Hao Wang, Úvahy o Kurtu Gödelovi

externí odkazy

Média související s Metalogic na Wikimedia Commons
Dragalin, A.G. (2001) [1994], "Meta-logika", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[1] Harry Gensler, Úvod do logiky, Routledge, 2001, s. 336.

[metalogic-2] A ^b ^C ^d ^E Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Press, 1973

[itslaia-3] A ^b Rudolf Carnap (1958) Úvod do symbolické logiky a jejích aplikací, str. 102.

[wolfram_writings-4] A ^b Logika, vysvětlitelnost a budoucnost porozumění. spisy.stephenwolfram.com.

[NKS_note_d-5] Nový druh vědy [1]

[NKS_note_c-6] Nový druh vědy [2]

[reflections-7] Hao Wang, Úvahy o Kurtu Gödelovi

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]