Balení kruhu v rovnostranném trojúhelníku - Circle packing in an equilateral triangle

Balení kruhu v rovnostranném trojúhelníku je problém s balením v diskrétní matematika kde cílem je zabalit n jednotka krouží do nejmenšího možného rovnostranný trojúhelník. Optimální řešení jsou známá pro n <13 a pro všechny trojúhelníkové číslo kruhů a domněnky jsou k dispozici pro n < 28.^[1]^[2]^[3]

Domněnka o Paul Erdős a Norman Oler uvádí, že pokud $n$ je trojúhelníkové číslo, pak optimální balení $n - 1$ a ze dne $n$ kruhy mají stejnou délku strany: to je podle domněnky optimální obal pro $n - 1$ kruhy lze najít odstraněním libovolného kruhu z optimálního šestihranného balení $n$ kruhy.^[4] O této domněnce je nyní známo, že je pravdivá $n \leq 15$ .^[5]

Minimální řešení pro délku strany trojúhelníku:^[1]

Počet kruhů	Je trojúhelníkový	Délka	Plocha
1	Skutečný	${ displaystyle 2 { sqrt {3}}}$ = 3.464...	5.196...
2	Nepravdivé	${ displaystyle 2 + 2 { sqrt {3}}}$ = 5.464...	12.928...
3	Skutečný	${ displaystyle 2 + 2 { sqrt {3}}}$ = 5.464...	12.928...
4	Nepravdivé	${ displaystyle 4 { sqrt {3}}}$ = 6.928...	20.784...
5	Nepravdivé	${ displaystyle 4 + 2 { sqrt {3}}}$ = 7.464...	24.124...
6	Skutečný	${ displaystyle 4 + 2 { sqrt {3}}}$ = 7.464...	24.124...
7	Nepravdivé	${ displaystyle 2 + 4 { sqrt {3}}}$ = 8.928...	34.516...
8	Nepravdivé	${ displaystyle 2 + 2 { sqrt {3}} + { dfrac {2} {3}} { sqrt {33}}}$ = 9.293...	37.401...
9	Nepravdivé	${ displaystyle 6 + 2 { sqrt {3}}}$ = 9.464...	38.784...
10	Skutečný	${ displaystyle 6 + 2 { sqrt {3}}}$ = 9.464...	38.784...
11	Nepravdivé	${ displaystyle 4 + 2 { sqrt {3}} + { dfrac {4} {3}} { sqrt {6}}}$ = 10.730...	49.854...
12	Nepravdivé	${ displaystyle 4 + 4 { sqrt {3}}}$ = 10.928...	51.712...
13	Nepravdivé	${ displaystyle 4 + { dfrac {10} {3}} { sqrt {3}} + { dfrac {2} {3}} { sqrt {6}}}$ = 11.406...	56.338...
14	Nepravdivé	${ displaystyle 8 + 2 { sqrt {3}}}$ = 11.464...	56.908...
15	Skutečný	${ displaystyle 8 + 2 { sqrt {3}}}$ = 11.464...	56.908...

Úzce související problém spočívá v pokrytí rovnostranného trojúhelníku pevným počtem stejných kruhů, které mají co nejmenší poloměr.^[6]

Viz také

Kruh se zabalí do rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku
Malfatti kruhy, konstrukce poskytující optimální řešení pro tři kružnice v rovnostranném trojúhelníku

Reference

^ ^A ^b Melissen, Hans (1993), „Nejhustší balení shodných kruhů v rovnostranném trojúhelníku“, Americký matematický měsíčník, 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212, JSTOR 2324212, PAN 1252928.
^ Melissen, J. B. M .; Schuur, P. C. (1995), „Balení 16, 17 nebo 18 kruhů do rovnostranného trojúhelníku“, Diskrétní matematika, 145 (1–3): 333–342, doi:10.1016 / 0012-365X (95) 90139-C, PAN 1356610.
^ Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), „Hustá balení stejných disků v rovnostranném trojúhelníku: od 22 do 34 a dále“, Electronic Journal of Combinatorics, 2: Článek 1, přibl. 39 stran (elektronicky), PAN 1309122.
^ Oler, Norman (1961), „Problém konečného balení“, Kanadský matematický bulletin, 4 (2): 153–155, doi:10.4153 / CMB-1961-018-7, PAN 0133065.
^ Payan, Charles (1997), „Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une dohad d'Erdős-Oler“, Diskrétní matematika (ve francouzštině), 165/166: 555–565, doi:10.1016 / S0012-365X (96) 00201-4, PAN 1439300.
^ Nurmela, Kari J. (2000), "Konjekturálně optimální pokrytí rovnostranného trojúhelníku s až 36 stejnými kruhy", Experimentální matematika, 9 (2): 241–250, doi:10.1080/10586458.2000.10504649, PAN 1780209, S2CID 45127090.

Tento Související se základní geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[Melissen-1] A ^b Melissen, Hans (1993), „Nejhustší balení shodných kruhů v rovnostranném trojúhelníku“, Americký matematický měsíčník, 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212, JSTOR 2324212, PAN 1252928.

[2] Melissen, J. B. M .; Schuur, P. C. (1995), „Balení 16, 17 nebo 18 kruhů do rovnostranného trojúhelníku“, Diskrétní matematika, 145 (1–3): 333–342, doi:10.1016 / 0012-365X (95) 90139-C, PAN 1356610.

[3] Graham, R. L.; Lubachevsky, B. D. (1995), „Hustá balení stejných disků v rovnostranném trojúhelníku: od 22 do 34 a dále“, Electronic Journal of Combinatorics, 2: Článek 1, přibl. 39 stran (elektronicky), PAN 1309122.

[4] Oler, Norman (1961), „Problém konečného balení“, Kanadský matematický bulletin, 4 (2): 153–155, doi:10.4153 / CMB-1961-018-7, PAN 0133065.

[5] Payan, Charles (1997), „Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une dohad d'Erdős-Oler“, Diskrétní matematika (ve francouzštině), 165/166: 555–565, doi:10.1016 / S0012-365X (96) 00201-4, PAN 1439300.

[6] Nurmela, Kari J. (2000), "Konjekturálně optimální pokrytí rovnostranného trojúhelníku s až 36 stejnými kruhy", Experimentální matematika, 9 (2): 241–250, doi:10.1080/10586458.2000.10504649, PAN 1780209, S2CID 45127090.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Problémy s balením
Kruhové balení	V kruhu / rovnostranný trojúhelník / rovnoramenný pravý trojúhelník / náměstí Apollonian těsnění Věta o kruhovém balení Tammesův problém (na kouli)
Balení koule	Apollonian V kouli V kostce Ve válci Balení zblízka Problém s líbáním čísla Balení koulí (Hamming) vázáno
Ostatní balení	Zásobník Čtyřstěn Soubor
Hádanky	Conway Slothouber – Graatsma