Binetova rovnice - Binet equation - Wikipedia

The Binetova rovnice, odvozeno od Jacques Philippe Marie Binet, poskytuje formu a centrální síla vzhledem k tvaru orbitální pohyb v letadle polární souřadnice. Rovnici lze také použít k odvození tvaru oběžné dráhy pro daný silový zákon, ale toto obvykle zahrnuje řešení druhého řádu nelineární obyčejná diferenciální rovnice. Unikátní řešení je nemožné v případě kruhový pohyb o středu síly.

Rovnice

Tvar oběžné dráhy je často pohodlně popsán z hlediska relativní vzdálenosti ${ displaystyle r}$ jako funkce úhlu ${ displaystyle theta}$ . Pro Binetovu rovnici je orbitální tvar místo toho stručněji popsán recipročním ${ displaystyle u = 1 / r}$ jako funkce ${ displaystyle theta}$ . Definujte konkrétní moment hybnosti jako ${ displaystyle h = L / m}$ kde ${ displaystyle L}$ je moment hybnosti a ${ displaystyle m}$ je hmota. Binetova rovnice, odvozená v následující části, udává sílu z hlediska funkce ${ displaystyle u ( theta)}$ :

{ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} left ({ frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u right).}

Derivace

Newtonův druhý zákon protože čistě ústřední síla je

{ displaystyle F (r) = m ({ ddot {r}} - r { dot { theta}} ^ {2}).}

The zachování momentu hybnosti to vyžaduje

{ displaystyle r ^ {2} { dot { theta}} = h = { text {stálá}}.}

Deriváty ${ displaystyle r}$ s ohledem na čas mohou být přepsány jako deriváty ${ displaystyle u = 1 / r}$ s ohledem na úhel:

{ displaystyle { begin {aligned} & { frac { mathrm {d} u} { mathrm {d} theta}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} } left ({ frac {1} {r}} right) { frac { mathrm {d} t} { mathrm {d} theta}} = - { frac { dot {r}} {r ^ {2} { dot { theta}}}} = - { frac { dot {r}} {h}} & { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} = - { frac {1} {h}} { frac { mathrm {d} { dot {r}}} { mathrm {d} t }} { frac { mathrm {d} t} { mathrm {d} theta}} = - { frac { ddot {r}} {h { dot { theta}}}} = - { frac { ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} end {zarovnáno}}}

Spojením všech výše uvedených věcí se dostáváme k

{ displaystyle F = m ({ ddot {r}} - r { dot { theta}} ^ {2}) = - m vlevo (h ^ {2} u ^ {2} { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + h ^ {2} u ^ {3} vpravo) = - mh ^ {2} u ^ {2} left ({ frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u right)}

Příklady

Keplerův problém

Tradiční Keplerův problém výpočtu oběžné dráhy zákon inverzního čtverce lze odečíst z Binetovy rovnice jako řešení diferenciální rovnice

{ displaystyle -ku ^ {2} = - mh ^ {2} u ^ {2} left ({ frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2 }}} + u vpravo)}

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u = { frac {k} {mh ^ {2}}} ekvivalent { text {constant}}> 0.}

Pokud úhel ${ displaystyle theta}$ se měří od periapsis, pak je obecné řešení pro oběžnou dráhu vyjádřené v (vzájemných) polárních souřadnicích

{ displaystyle lu = 1 + varepsilon cos theta.}

Výše uvedená polární rovnice popisuje kuželovité úseky, s ${ displaystyle l}$ the semi-latus rectum (rovná ${ displaystyle h ^ {2} / mu = h ^ {2} m / k}$ ) a ${ displaystyle varepsilon}$ the orbitální výstřednost.

Relativistická rovnice odvozená pro Schwarzschildovy souřadnice je^[1]

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u = { frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2 h ^ {2}}} + { frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2}}

kde ${ displaystyle c}$ je rychlost světla a ${ displaystyle r_ {s}}$ je Schwarzschildův poloměr. A pro Reissner – Nordströmova metrika získáme

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u = { frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2 h ^ {2}}} + { frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2} - { frac {GQ ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} c ^ { 4}}} vlevo ({ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} u + 2u ^ {3} vpravo)}

kde ${ displaystyle Q}$ je elektrický náboj a ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ je vakuová permitivita.

Inverzní Keplerův problém

Zvažte inverzní Keplerův problém. Jaký druh silového zákona vytváří nekruhový eliptická dráha (nebo obecněji nekruhový kuželovitý řez ) kolem a zaměření elipsy ?

Diferenciace dvojnásobku výše uvedené polární rovnice pro elipsu dává

{ displaystyle l , { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} = - varepsilon cos theta.}

Zákon o síle tedy je

{ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} left ({ frac {- varepsilon cos theta} {l}} + { frac {1+ varepsilon cos theta} { l}} right) = - { frac {mh ^ {2} u ^ {2}} {l}} = - { frac {mh ^ {2}} {lr ^ {2}}},}

což je očekávaný zákon inverzního čtverce. Přizpůsobení orbitálu ${ displaystyle h ^ {2} / l = mu}$ na fyzické hodnoty jako ${ displaystyle GM}$ nebo ${ displaystyle k_ {e} q_ {1} q_ {2} / m}$ reprodukuje Newtonův zákon univerzální gravitace nebo Coulombův zákon, resp.

Efektivní síla pro Schwarzschildovy souřadnice je^[2]

{ displaystyle F = -GMmu ^ {2} left (1 + 3 left ({ frac {hu} {c}} right) ^ {2} right) = - { frac {GMm} {r ^ {2}}} vlevo (1 + 3 vlevo ({ frac {h} {rc}} vpravo) ^ {2} vpravo)}

.

kde druhý člen je inverzní kvartální síla odpovídající kvadrupólovým efektům, jako je úhlový posun periapsis (Lze jej také získat pomocí retardovaných potenciálů^[3]).

V parametrizovaný post-newtonovský formalismus získáme

{ displaystyle F = - { frac {GMm} {r ^ {2}}} vlevo (1+ (2 + 2 gamma - beta) vlevo ({ frac {h} {rc}} vpravo ) ^ {2} vpravo)}

.

kde ${ displaystyle gamma = beta = 1}$ pro obecná relativita a ${ displaystyle gamma = beta = 0}$ v klasickém případě.

Cotes spirály

Zákon síly inverzní krychle má formu

{ displaystyle F (r) = - { frac {k} {r ^ {3}}}.}

Tvary oběžných drah zákona inverzní krychle jsou známé jako Cotes spirály. Binetova rovnice ukazuje, že oběžné dráhy musí být řešením této rovnice

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u = { frac {ku} {mh ^ {2}}} = Cu.}

Diferenciální rovnice má tři druhy řešení, analogicky k různým kónickým úsekům Keplerovy úlohy. Když ${ displaystyle C <1}$ , řešením je epispiral, včetně patologického případu přímky, když ${ displaystyle C = 0}$ . Když ${ displaystyle C = 1}$ , řešením je hyperbolická spirála. Když ${ displaystyle C> 1}$ řešení je Poinsotova spirála.

Kruhový pohyb mimo osu

Ačkoli Binetova rovnice neposkytuje jedinečný silový zákon pro kruhový pohyb kolem středu síly, může rovnice poskytnout silový zákon, když se střed kruhu a střed síly neshodují. Uvažujme například o kruhové dráze, která prochází přímo středem síly. (Reciproční) polární rovnice pro takovou kruhovou oběžnou dráhu o průměru ${ displaystyle D}$ je

{ displaystyle D , u ( theta) = sec theta.}

Diferenciace ${ displaystyle u}$ dvakrát a s využitím Pytagorova identita dává

{ displaystyle D , { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} = sec theta tan ^ {2} theta + sec ^ {3} theta = sec theta ( sec ^ {2} theta -1) + sec ^ {3} theta = 2D ^ {3} u ^ {3} -D , u. }

Silový zákon tedy je

{ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} left (2D ^ {2} u ^ {3} -u + u right) = - 2mh ^ {2} D ^ {2} u ^ {5} = - { frac {2mh ^ {2} D ^ {2}} {r ^ {5}}}.}

Všimněte si, že řešení obecného inverzního problému, tj. Zkonstruování drah atraktivní ${ displaystyle 1 / r ^ {5}}$ silový zákon, je podstatně obtížnější problém, protože je rovnocenný řešení

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} u} { mathrm {d} theta ^ {2}}} + u = Cu ^ {3}}

což je nelineární diferenciální rovnice druhého řádu.

Viz také

Reference

^ „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 19. 6. 2010. Citováno 2010-11-15.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
^ http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - Orbitální rovnice prvního řádu
^ Behera, Harihar; Naik, P. C (2003). „Ploché časoprostorové relativistické vysvětlení perihéliálního postupu Merkuru“. arXiv:astro-ph / 0306611.

[1] „Archivovaná kopie“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 19. 6. 2010. Citováno 2010-11-15.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)

[2] ttp://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf - Orbitální rovnice prvního řádu

[3] Behera, Harihar; Naik, P. C (2003). „Ploché časoprostorové relativistické vysvětlení perihéliálního postupu Merkuru“. arXiv:astro-ph / 0306611.

[1]

[2]

[3]